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Strömungslehre

Einzelverluste (turbulente Strömungen)

In diesem Abschnitt werden zunächst die Einzelverluste eingeführt, welche an Ein- und Auslässen, Rohrkrümmern, Ventilen, Reduzierstücken oder Verzweigungen auftreten. An diesen entstehen durch Strömungsablösungen turbulente Verwirbelungen, welche Strömungsenergie verbrauchen. Dies ist der Fall bei Querschnittsänderungen, Strömungsumlenkungen, Strömungsverzweigungen und in Armaturen. Generell werden diese Verluste über empirische Zusammenhänge bestimmt. Bei den Einzelverlusten ist der Verlustbeiwert $\xi$ ein empirisch bestimmter Wert, welcher Tabellenwerken zu entnehmen ist. Dieser Verlustbeiwert $\xi$ wird dann mit dem Term der kinetischen Energie der verschiedenen bernoullischen Gleichungen (Höhengleichung, Druckgleichung, Energiegleichung) multipliziert. Berücksichtigt wird dieser gesamte Term dann auf der Seite der Gleichung, welche den Index $2$ innehat.

Merke

Eine Strömung fließt von $1$ nach $2$. Dabei ist es unerheblich, ob die Strömung von rechts nach links oder von links nach rechts fließt. Der Index $2$ ist immer das Ende der Strömungsrichtung.

Einzelverlust für die verschiedenen bernoullischen Gleichungen

Wie bereits oben erwähnt wird der Verlustbeiwert $\xi$ mit dem Term der kinetischen Energie der verschiedenen bernoullischen Gleichungen multipliziert. 

Für die bernoullischen Gleichungen sieht der Einzelverlust, welcher berücksichtigt werden muss, dann folgendermaßen aus:

Methode

(1) $h_v = \xi \frac{w^2}{2 \; g}$.    Höhenverlust (für Höhengleichung)

Methode

(2) $\triangle p_v = \xi \frac{\rho \; w^2}{2}$   Druckverlust (für Druckgleichung)

Methode

(3) $e_v = \xi \frac{w^2}{2}$   Energieverlust (für Energiegleichung)


Die Einzelverluste in die verschiedenen bernoullischen Gleichungen eingesetzt, wobei die Strömung von $1$ nach $2$ fließt, ergibt dann:

(1) $\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}}$.

(2) $ \small{g \; z_1 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho + p_1 =  g \; z_2 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + p_2 + \xi \frac{\rho \; w_2^2}{2}}$.

(3) $ \small{g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho} =  g \; z_2 + \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{p_2}{\rho} +  \xi \frac{w_2^2}{2}}$.

Häufig werden die Einzelverluste auch über den Druckverlust $\triangle p_v$ ausgedrückt. Das bedeutet für die verschiedenen bernoullischen Gleichungen:

$h_v = \xi \frac{w^2}{2 \; g} = \frac{\triangle p_v}{g \; \rho}$.      Höhengleichung

$e_v = \xi \frac{w^2}{2} = \frac{\triangle p_v}{\rho}$.       Energiegleichung

Die Druckgleichung erhält dann natürlich nur den Zusatz $\triangle p_v$.

Insgesamt ergibt sich dann:

(1) $\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \frac{\triangle p_v}{g \; \rho}}$.

(2) $ \small{g \; z_1 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho + p_1 =  g \; z_2 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + p_2 + \triangle p_v}$.

(3) $ \small{g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho} =  g \; z_2 + \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{p_2}{\rho} +  \frac{\triangle p_v}{\rho}}$.

mit

$\triangle p_v = \xi \frac{\rho \; w^2}{2}$

Einige Verlustbeiwerte

Der Verlustbeiwert $\xi$ ist anhand von Laboruntersuchungen für die unterschiedlichen Ein- und Auslässe sowie Rohrkümmer, Ventile und Abzweigungen ermittelt worden und kann Tabellenwerken entnommen werden. In den folgenden Tabellen sind einige Verlustbeiwerte aufgeführt.

Verlustbeiwerte für Einlässe

Weiterhin werden Rohrkrümmer (Kreisrohr) betrachtet, welche unterschiedliche Winkel aufweisen können und damit auch verschiedene Verlustbeiwerte besitzen:

Verlustbeiwerte Rohrkrümmer

Die obige Tabelle wird wie folgt gelesen:

Ist der Krümmungsradius $r$ gleich dem Durchmesser $d$ des Rohrs ($r = d$) mit einem Umlenkwinkel von 45°, so ist der dazugehörige empirische Verlustbeiwert $\xi = 0,140$.

Beispiel 1: Einzelverluste

Einzelverluste Rohrkrümmer

Beispiel

Gegeben sei das obige horizontale Rohr (Draufsicht von oben), welches um 22,5° gekrümmt ist. Die auftretenden Reibungs- und Verengungsverluste werden mit dem Verlustbeiwert $\xi_2$ berücksichtigt. Wie groß ist der Druck $p_2$ (an der Stelle $2$)?

Es sind die folgenden Werte gegeben:

$p_1 = 50 kPa$, $w_1 = 2 \frac{m}{s}$, $d_1 = 0,3 m$, $d_2 = 0,5 m$, $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$, $\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$.

Um den Druck $p_2$ zu bestimmen, muss die Bernoulli-Gleichung aufgestellt werden unter Berücksichtigung des Verlustbeiwertes eines Rohrkrümmers mit einem Winkel von 22,5° (siehe obige Tabelle):

$\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}}$.

Da es sich um ein horizontales Rohr handelt, ist $z_1 = z_2 $ und damit heben sich diese auf:

$\small{\frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} = \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}}$.

Einsetzen der Werte ergibt:

$\small{\frac{1}{2} \; \frac{2^2 \frac{m^2}{s^2}}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{50.000 Pa}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} = \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{p_2}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} + 0,045 \cdot \frac{w_2^2}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}}$.

Es existieren innerhalb der Gleichung nun zwei Unbekannte: $w_2$ und $p_2$. Um $w_2$ zu bestimmen, kann man die Kontinuitätsgleichung heranziehen:

$w_1 A_1 = w_2 A_2$.

$A_1 = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 0,15^2 = 0,071 m^2$.

$A_2 = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 0,25^2 = 0,196 m^2$.

$w_2 = \frac{w_1 A_1}{A_2} = \frac{2 m/s \cdot 0,071m^2}{0,196 m^2} = 0,724 m/s$.

Einsetzen in die obige Gleichung und auflösen nach $p_2$ ergibt:

$\small{\frac{1}{2} \; \frac{2^2 \frac{m^2}{s^2}}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{50.000 Pa}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} = \frac{1}{2} \; \frac{0,724^2 \frac{m^2}{s^2}}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{p_2}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} + 0,045 \cdot \frac{0,724^2 \frac{m^2}{s^2}}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}}$.

$p_2 = 51.726,07 Pa = 52 kPa$.

Beispiel 2: Einzelverluste

Einzelverluste Verlustbeiwert

Beispiel

Gegeben sei das obige Rohr mit konstantem Querschnitt und einem Durchmesser von $d = 0,5m$. Durch das Rohr fließt eine Flüssigkeit mit der Dichte $\rho = 1.000 kg/m^3$. Die Verlustbeiwerte seien $\xi_1 = 0,09$ und $\xi_2 = 0,07$. Die Einflussgeschwindigkeit sei $w_A = 3m/s$. Der Auslass $B$ sei mit der Umgebung verbunden. Der Umgebungsdruck beträgt $p_{atmos} = 101 kPa$. Außerdem gilt $z_A = 5m$. Wie hoch ist die Geschwindigkeit $w_B$ und wie groß ist der Druck $p_A$?

Bestimmung der Geschwindigkeit

Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, kann die Kontinuitätsgleichung herangezogen werden:

$w_A \cdot A_A = w_B \cdot A_B$.

Es gilt $A_A = A_B $:

$w_A = w_B = 3 m/s$.

Bestimmung des Drucks

Um den Druck $p_A$ zu bestimmen wird die Bernoulli-Gleichung angewandt. Hierbei müssen zusätzlich die Verlustbeiwerte berücksichtigt werden:

$\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}}$.

Es gilt: $z_1 = z_A = 5m$, $z_2 = 0$, $p_B = p_{atmos} = 101.000 Pa$, $w_1 = w_A = 3 m/s$, $w_2 = w_B = 3 m/s$, $g = 9,81 m/s^2$, $g = 1.000 kg/m^3$.

Einsetzen der Werte und auflösen nach $p_1 = p_A$:

$\small{5m + \frac{1}{2} \; \frac{3^2 \frac{m^2}{s^2}}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{p_A}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 1.000 \frac{kg}{m^3}} =  \frac{1}{2} \; \frac{3^2 \frac{m^2}{s^2}}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{101.000 Pa}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 1.000 \frac{kg}{m^3}} + (0,09 + 0,07) \cdot \frac{3^2 \frac{m^2}{s^2}}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}}$

$p_A = 52.670 Pa$.

Merke

Die Einzelverluste $\xi_i$ werden einfach miteinander addiert.