Einzelverluste (turbulente Strömungen)

In diesem Abschnitt werden zunächst die Einzelverluste eingeführt, welche an Ein- und Auslässen, Rohrkrümmern, Ventilen, Reduzierstücken oder Verzweigungen auftreten. An diesen entstehen durch Strömungsablösungen turbulente Verwirbelungen, welche Strömungsenergie verbrauchen. Dies ist der Fall bei Querschnittsänderungen, Strömungsumlenkungen, Strömungsverzweigungen und in Armaturen. Generell werden diese Verluste über empirische Zusammenhänge bestimmt. Bei den Einzelverlusten ist der Verlustbeiwert $\xi$ ein empirisch bestimmter Wert, welcher Tabellenwerken zu entnehmen ist. Dieser Verlustbeiwert $\xi$ wird dann mit dem Term der kinetischen Energie der verschiedenen bernoullischen Gleichungen (Höhengleichung, Druckgleichung, Energiegleichung) multipliziert. Berücksichtigt wird dieser gesamte Term dann auf der Seite der Gleichung, welche den Index $2$ innehat.

Einzelverlust für die verschiedenen bernoullischen Gleichungen

Wie bereits oben erwähnt wird der Verlustbeiwert $\xi$ mit dem Term der kinetischen Energie der verschiedenen bernoullischen Gleichungen multipliziert. 

Für die bernoullischen Gleichungen sieht der Einzelverlust, welcher berücksichtigt werden muss, dann folgendermaßen aus:

Die Einzelverluste in die verschiedenen bernoullischen Gleichungen eingesetzt, wobei die Strömung von $1$ nach $2$ fließt, ergibt dann:

(1) $\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}}$.

(2) $ \small{g \; z_1 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho + p_1 =  g \; z_2 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + p_2 + \xi \frac{\rho \; w_2^2}{2}}$.

(3) $ \small{g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho} =  g \; z_2 + \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{p_2}{\rho} +  \xi \frac{w_2^2}{2}}$.

Häufig werden die Einzelverluste auch über den Druckverlust $\triangle p_v$ ausgedrückt. Das bedeutet für die verschiedenen bernoullischen Gleichungen:

$h_v = \xi \frac{w^2}{2 \; g} = \frac{\triangle p_v}{g \; \rho}$.      Höhengleichung

$e_v = \xi \frac{w^2}{2} = \frac{\triangle p_v}{\rho}$.       Energiegleichung

Die Druckgleichung erhält dann natürlich nur den Zusatz $\triangle p_v$.

Insgesamt ergibt sich dann:

(1) $\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \frac{\triangle p_v}{g \; \rho}}$.

(2) $ \small{g \; z_1 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho + p_1 =  g \; z_2 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + p_2 + \triangle p_v}$.

(3) $ \small{g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho} =  g \; z_2 + \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{p_2}{\rho} +  \frac{\triangle p_v}{\rho}}$.

mit

$\triangle p_v = \xi \frac{\rho \; w^2}{2}$

Einige Verlustbeiwerte

Der Verlustbeiwert $\xi$ ist anhand von Laboruntersuchungen für die unterschiedlichen Ein- und Auslässe sowie Rohrkümmer, Ventile und Abzweigungen ermittelt worden und kann Tabellenwerken entnommen werden. In den folgenden Tabellen sind einige Verlustbeiwerte aufgeführt.

Weiterhin werden Rohrkrümmer (Kreisrohr) betrachtet, welche unterschiedliche Winkel aufweisen können und damit auch verschiedene Verlustbeiwerte besitzen:

Die obige Tabelle wird wie folgt gelesen:

Ist der Krümmungsradius $r$ gleich dem Durchmesser $d$ des Rohrs ($r = d$) mit einem Umlenkwinkel von 45°, so ist der dazugehörige empirische Verlustbeiwert $\xi = 0,140$.

Beispiel 1: Einzelverluste

Um den Druck $p_2$ zu bestimmen, muss die Bernoulli-Gleichung aufgestellt werden unter Berücksichtigung des Verlustbeiwertes eines Rohrkrümmers mit einem Winkel von 22,5° (siehe obige Tabelle):

$\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}}$.

Da es sich um ein horizontales Rohr handelt, ist $z_1 = z_2 $ und damit heben sich diese auf:

$\small{\frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} = \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}}$.

Einsetzen der Werte ergibt:

$\small{\frac{1}{2} \; \frac{2^2 \frac{m^2}{s^2}}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{50.000 Pa}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} = \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{p_2}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} + 0,045 \cdot \frac{w_2^2}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}}$.

Es existieren innerhalb der Gleichung nun zwei Unbekannte: $w_2$ und $p_2$. Um $w_2$ zu bestimmen, kann man die Kontinuitätsgleichung heranziehen:

$w_1 A_1 = w_2 A_2$.

$A_1 = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 0,15^2 = 0,071 m^2$.

$A_2 = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 0,25^2 = 0,196 m^2$.

$w_2 = \frac{w_1 A_1}{A_2} = \frac{2 m/s \cdot 0,071m^2}{0,196 m^2} = 0,724 m/s$.

Einsetzen in die obige Gleichung und auflösen nach $p_2$ ergibt:

$\small{\frac{1}{2} \; \frac{2^2 \frac{m^2}{s^2}}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{50.000 Pa}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} = \frac{1}{2} \; \frac{0,724^2 \frac{m^2}{s^2}}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{p_2}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} + 0,045 \cdot \frac{0,724^2 \frac{m^2}{s^2}}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}}$.

$p_2 = 51.726,07 Pa = 52 kPa$.

Beispiel 2: Einzelverluste

Bestimmung der Geschwindigkeit

Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, kann die Kontinuitätsgleichung herangezogen werden:

$w_A \cdot A_A = w_B \cdot A_B$.

Es gilt $A_A = A_B $:

$w_A = w_B = 3 m/s$.

Bestimmung des Drucks

Um den Druck $p_A$ zu bestimmen wird die Bernoulli-Gleichung angewandt. Hierbei müssen zusätzlich die Verlustbeiwerte berücksichtigt werden:

$\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}}$.

Es gilt: $z_1 = z_A = 5m$, $z_2 = 0$, $p_B = p_{atmos} = 101.000 Pa$, $w_1 = w_A = 3 m/s$, $w_2 = w_B = 3 m/s$, $g = 9,81 m/s^2$, $g = 1.000 kg/m^3$.

Einsetzen der Werte und auflösen nach $p_1 = p_A$:

$\small{5m + \frac{1}{2} \; \frac{3^2 \frac{m^2}{s^2}}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{p_A}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 1.000 \frac{kg}{m^3}} =  \frac{1}{2} \; \frac{3^2 \frac{m^2}{s^2}}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{101.000 Pa}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 1.000 \frac{kg}{m^3}} + (0,09 + 0,07) \cdot \frac{3^2 \frac{m^2}{s^2}}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}}$

$p_A = 52.670 Pa$.