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Strömungslehre

Druckkräfte auf eben geneigte nicht-rechteckige Flächen

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden wie man die Resultierende sowie ihre Wirkungslinie für eben geneigte nicht-rechteckige Flächen bestimmt. Hierzu wird zunächst die resultierende Druckkraft bestimmt, welche senkrecht auf der schrägen Wand steht. Um die Wirkungslinie der resultierenden Druckkraft zu bestimmen, wird der Druckmittelpunkt herangezogen. Es ist natürlich auch möglich zuvor eine Aufteilung in Horizontalkraft und Vertikalkraft vorzunehmen. Bei nicht-rechteckigen Flächen ist dies aber teilweise um einiges umständlicher, trotz dessen wird auch dieses Vorgehen am Ende aufgezeigt. Für Klausuren empfiehlt sich aber grundsätzlich die erste Vorgehensweise.

Bei Druckkräften auf eben geneigte nicht - rechteckige Flächen verläuft

  • die Wirkungslinie der Horizontalkraft durch den Druckmittelpunkt,
  • die Wirkungslinie der Vertikalkraft durch den Schwerpunkt des Wasservolumens oberhalb der eben geneigten nicht-rechteckigen Fläche,
  • die Wirkungslinie der Resultierenden durch den Druckmittelpunkt.

Merke

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Bei nicht-rechteckigen eben geneigten Flächen geht die Wirkungslinie der Horizontalkraft nicht mehr durch den Schwerpunkt der Dreieckslast der projizierten Fläche. Hier muss in jedem Fall der Druckmittelpunkt bestimmt werden.

Beispiel: Nicht-rechteckige Flächen

Beispiel nicht rechteckige Fläche

Beispiel

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Gegeben sei das obige Wasserbecken, welches eine schräge rechteckige Wand besitzt. Innerhalb dieser Wand befindet sich eine Tür, welche sich aus einem halbkreisförmigen und einem rechteckigen Querschnitt zusammensetzt. Für diese Tür (rot gekennzeichnet) soll die Resultierende und ihre Wirkungslinie bestimmt werden. 

Bestimmung der Resultierenden

Die Resultierende steht senkrecht auf der betrachteten Fläche und geht durch den Druckmittelpunkt. Bei der resultierenden Druckkraft wird der Druck im Flächenschwerpunkt herangezogen und mit der Fläche der Tür multipliziert:

$F_R = p_s \cdot A$.

$F_R = \rho \; g \; h_s \cdot A$.

Die gesamte Fläche der Tür ist (zusammengesetzt aus Rechteck und Halbkreis):

$A = 4m \cdot 2,5m +  \pi \cdot (2m)^2 \cdot \frac{1}{2} = 16,28m^2$.

Es gilt noch $h_s$, also den senkrechten Abstand des Schwerpunktes zur Flüssigkeitsoberfläche zu bestimmen. Sowohl Rechteck als auch Halbkreis haben ihren Schwerpunkt auf der gestrichelten Linie (Hälfte der Fläche). Demnach ist der Gesamtschwerpunkt auch irgendwo auf dieser Linie. Das ist zunächst ausreichend, um den senkrechten Abstand des Schwerpunktes hin zur Flüssigkeitsoberfläche zu bestimmen. Der schräge Abstand beträgt 6 m. Es soll aber der senkrechte Abstand betrachtet werden, also:

$h_s = 6m \cdot \sin(30°) = 3m.$

senkrechter Abstand

Die Resultierende ergibt sich durch:

Methode

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$F_R = 999,97 \frac{m}{s2} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 16,28m = 479.106,03 N $.

Druckmittelpunkt bestimmen

Die resultierende Druckkraft geht durch den Druckmittelpunkt. Dieser soll im Weiteren bestimmt werden. Zunächst wird der Schwerpunkt der Fläche bestimmt, um dann den Abstand von diesem Schwerpunkt hin zum Druckmittelpunkt berechnen zu können. Der Schwerpunkt der Fläche setzt sich zusammen aus dem Schwerpunkt des Rechteckes und dem Schwerpunkt des Halbkreises. Das Rechteck hat seinen Schwerpunkt in der Mitte, also bei $y_s = 1,25m$ (Formeln sind Tabellen zu entnehmen). Der Halbkreis hat seinen Schwerpunkt ebenfalls mittig auf der $y$-Achse bei $y_s = 2,5m + \frac{4 \cdot 2m}{3 \pi}$. Mit der folgenden Formel für zusammengesetzte Flächen ergibt sich der Schwerpunkt der Gesamtfläche:

$S = \frac{y_s \cdot A_i}{\sum A_i}$.

Für das Rechteck ist $y_s \cdot A_i$:

Rechteck = $1,25m \cdot 2,5 m \cdot 4m$.

Für den Halbkreis ist der Term $y_s \cdot A_i$:

Halbkreis = $[2,5 m + \frac{4 \cdot 2m}{3 \pi}] \cdot \pi \cdot (2m)^2 \frac{1}{2}$.

Insgesamt ergibt sich:

$S = \frac{1,25m \cdot 4m \cdot 2,5m + [2,5m + \frac{4 \cdot 2m}{3 \pi}] \pi \cdot (2m)^2 \frac{1}{2}}{4 m \cdot 2,5 m + \pi \cdot (2m)^2 \cdot \frac{1}{2}} = 2,06 m$.

Schwerpunkt

Der Schwerpunkt liegt also in $y$-Richtung bei 2,06 m.

Um nun den Druckmittelpunkt bestimmen zu können, wird ein $\eta, \xi$-Koordinatensystem eingeführt, welches genau durch den Schwerpunkt der Fläche verläuft:

Koordinatensystem

Es kann nun mittels der folgenden Formel der Abstand des Druckmittelpunktes zum Schwerpunkt mittels der $\eta$-Achse und der $\xi$-Achse bestimmt werden:

Methode

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$\eta_D = \frac{I_{\xi,S}}{\eta_S \; A}$.

$\eta_D$ liefert den Abstand vom Schwerpunkt zum Druckmittelpunkt hin.

Flächenträgheitsmoment $I_{\xi,S}$ für Rechteck und Halbkreis ist Tabellenwerken zu entnehmen:

$I_{\xi,S} = \frac{4m^3 \cdot 2,5m}{12} + \frac{(2m)^4 \cdot \pi}{8} = 7,12m^4$.

$\eta_S$ ist der Abstand vom Schwerpunkt zur Flüssigkeitsoberfläche in $\eta$-Richtung:

$\eta_S = 6m$.

Fläche ist:

$A = 4m \cdot 2,5m +  \pi \cdot (2m)^2 \cdot \frac{1}{2} = 16,28m^2$.


Insgesamt ergibt sich:

Methode

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$\eta_D = \frac{7,12m^4}{6m \cdot 16,28m^2} = 0,073 m$.

Der Druckmittelpunkt liegt also 0,073 m vom Schwerpunkt entfernt in Richtung $\eta$-Achse.

Methode

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$\xi_D = \frac{I_{\eta \xi}}{\xi_S \; A}$

$\xi_D$ liefert den Abstand vom Schwerpunkt zum Druckmittelpunkt hin.

Die $\xi$-Achse stellt eine Symmetrieachse dar. Das bedeutet, dass hier das Deviationsmoment (auch: Zentrifugalmoment) null wird:

$I_{\eta \xi} = 0$.

Insgesamt wird also der gesamte Term null:

$\xi_D = 0$.

Es existiert also kein Abstand vom Schwerpunkt für den Druckmittelpunkt in $\xi$-Richtung. Das bedeutet, dass der Druckmittelpunkt auf der $\eta$-Achse liegt.

Druckmittelpunkt schräge Wände
 Druckmittelpunkt

 

Die resultierende Druckkraft verläuft durch diesen Druckmittelpunkt und steht senkrecht auf der Fläche:

Resultierende

Die obige Grafik zeigt ganz deutlich, dass die resultierende Druckkraft senkrecht auf der Fläche steht und durch den Druckmittelpunkt verläuft. Soll nun der senkrechte Abstand des Druckmittelpunktes zur Flüssigkeitsoberfläche angegeben werden, so rechnet man:

$D = 4 m + S + 0,22 m = 4 m + 2 m + 0,073 m = 6,073 m$ (schräger Abstand zur Flüssigkeitsoberfläche). 

$D = 6,073 m \sin(30°) = 3,0365 m$.

Der senkrechte Abstand des Druckmittelpunktes zur Flüssigkeitsoberfläche beträgt 3,0365 m.

Bestimmung der Horizontalkraft und Vertikalkraft aus der Resultierenden

Die Horizontalkraft und die Vertikalkraft kann auch aus der Resultierenden bestimmt werden. Hierzu muss man natürlich zunächst einmal wissen, wie genau im Koordinatensystem diese Kräfte angeordnet sind:

Komponenten

Die obige Grafik zeigt die Horizontalkomponente $F_H$, welche in $x$-Richtung zeigt und die Vertikalkomponente, welche in $z$-Richtung zeigt. Die Vertikalkomponente zeigt in diesem Beispiel nach unten, da nur ein vertikaler Druck nach unten auf die Klappe existiert. Es wurde noch die Türklappe hinzugefügt, welche einen 30°-Winkel zur Horizontalen ($x$-Achse) aufweist. Außerdem die Hilfslinie (schwarz gestrichelt), welche einen 90°-Winkel zur Türklappe aufweist, genau wie auch die Resultierende. Mit diesem Wissen kann man nun den Winkel der Resultierenden zur Vertikalkomponente (30°) und zur Horizontalkomponente (60° = 90° - 30°) ermitteln und dann die Komponenten bestimmen:

$F_H = F_R \cos(60°) = F_R \sin(30°) = 479.106,03 N \cos(60°) = 239.553,15 N$.

$F_V = F_R \cos(30°) = F_R \sin(60°) = 479.106,03 N \cos(30°) = 414.917,99 N$.

Die Richtung der Resultierenden kann man berechnen, aber auch bereits so ersehen. Da die Resultierende im 90°-Winkel auf der Türklappe stehen muss und die Türklappe zur $x$-Achse einen 30°-Winkel aufweist, muss die Resultierende zur Horizontalen einen 60°-Winkel aufweisen. Man kann das Ganze aber auch berechnen mit:

$\alpha = \tan^{-1} \frac{F_V}{F_H}$

$\alpha = 60°$.

Richtung

Merke

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Hinweis: Es muss immer darauf geachtet werden, welcher Winkel gesucht wird. Wird der Winkel der Resultierenden zur Horizontalen gesucht, so ergibt sich obiges Rechenschema. Will man den Winkel zur Vertikalen, so kann man einfach 90° abzüglich des obigen Winkels rechnen. 

Alternative Vorgehensweise

Wie bereits oben erwähnt, kann man zunächst die Vertikal- und Horizontalkraft bestimmen und dann daraus die Resultierende. Hierzu verwendet man bei nicht-rechteckigen Flächen für die Vertikalkraft die Formel:

$F_V = p_s \cdot A_{proj}$.

Der Grund dafür liegt darin, dass das Wasservolumen oberhalb der Tür schwer zu berechnen ist, da es sich hier um eine nicht-rechteckige Fläche handelt. Deshalb wird die Tür horizontal projiziert. Das Vorgehen ist bereits aus den vorherigen Kapiteln mit der Horizontalkraft bekannt. Nur dass bei der Horizontalkraft die Tür vertikal projiziert wird.

Zunächst wird die Horizontalkraft bestimmt:

$F_H = \rho \; g \; h_s \cdot A_{proj}$.

Die Tür hat eine Fläche von $A = 16,28m^2$. Diese Fläche soll nun vertikal projiziert werden:

$A_{proj} = 16,28 m^2 \cdot \sin(30°) = 8,14m^2$.

Der senkrechte Abstand vom Schwerpunkt der Fläche hin zur Flüssigkeitsoberfläche $h_s$ beträgt:

$h_s = 6m \cdot \sin(30°) = 3m$.

Insgesamt beträgt die Horizontalkraft:

$F_H = 999,97 \frac{kg}{m^3} cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 8,14m^2 = 239.553 N$.

Im nächsten Schritt wird nun die Vertikalkraft ermittelt:

$F_V = \rho \; g \; h_s \cdot A_{proj}$.

Die Tür hat eine Fläche von $A = 16,28m^2$. Diese Fläche soll nun horizontal projiziert werden:

$A_{proj} = 16,28 m^2 \cdot \cos(30°) = 14,098894 m^2$.

Der senkrechte Abstand vom Schwerpunkt der Fläche hin zur Flüssigkeitsoberfläche $h_s$ beträgt:

$h_s = 6m \cdot \sin(30°) = 3m$.

Insgesamt beträgt die Vertikalkraft:

$F_V = 999,97 \frac{kg}{m^3} cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 14,098894 m^2 = 414.918 N$.

Die Resultierende kann dann mit der folgenden Formel bestimmt werden:

$F_R = \sqrt{F_H^2 + F_V^2} = \sqrt{(239.553 N)^2 + (414.918 N)^2} = 479.106,03 N$.

Die Wirkungslinien der Resultierenden und Horizontalkraft verlaufen durch den Druckmittelpunkt. Die Berechnung ist wie oben durchzuführen. Die Wirkungslinie der Vertikalkraft verläuft durch den Schwerpunkt der Fläche des Flüssigkeitsvolumens oberhalb der Tür.