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Strömungslehre - Vertikalkraft

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Strömungslehre

Vertikalkraft

Um die Druckkräfte auf Behälterwände zu bestimmen, muss man die Vertikalkräfte und die Horizontalkräfte berücksichtigen, welche auf die Wände wirken. In diesem Abschnitt werden die Vertikalkräfte betrachtet. Die Vertikalkräfte wirken auf ein horizontales Flächenelement der Wand eines Behälters. Berechnet werden können diese Vertikalkräfte mit der folgenden Formel:

Methode

$F_z = \rho_{Fluid} \; g \; V_{Körper}$    Vertikalkräfte

Die Vertikalkraft spiegelt die Gewichtskraft der über dem Körper (bzw. Behälter) stehenden oder gedachten Wassersäule wider.

Merke

Für das Volumen des Körpers bzw. der Wand wird grundsätzlich eine Breite von einem Meter angenommen. Sollte in der Aufgabenstellung die Breite (manchmal auch Tiefe) der Wand nicht mit angegeben sein, so nimmt man $b = 1m$. Es ist also unbedingt darauf zu achten, ob in der Aufgabenstellung die Breite (bzw. Tiefe) mit angegeben ist.

Anwendungsbeispiel: Vertikalkraft

Vertikalkraft
Vertikalkraft

Beispiel

Gegeben sei das obige Becken mit Wasser gefüllt. Innerhalb des Beckens befindet sich ein Körper (rechteckig). Es soll die Auftriebskraft (Vertikalkomponente) $F_z$ des Körpers berechnet werden.

Es gilt:

$\rho_{H_2O} = 999,97 kg/m^3$

$g = 9,81 m/s^2$

Die Abmessungen des Rechtecks sind wie folgt:

$h = 7 m$, $l = 3m$ und $b = 1 m$.

Es existieren nun zwei Möglichkeiten, um die Vertikalkraft zu berechnen. Die erste Möglichkeit ist ganz einfach die Gewichtskraft der durch das Rechteck verdrängten Wassermenge zu bestimmen. Hier ist das verdrängte Volumen des Wassers gleich dem Volumen des Rechtecks. Berücksichtigt werden muss zusätzlich die Dichte der Flüssigkeit und die Fallbeschleunigung. Es wird die obige Formel verwendet:

$F_z = F_A =  \rho_{Wasser} \; g \; V_{Rechteck}$ 

$F_z = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 7m \cdot 1 m = 206.003,82 N = 206 kN$.

Eine andere Möglichkeit ist die Vertikalkraft oberhalb des Rechtecks zu bestimmen und zusätzlich dazu die Vertikalkraft an der Unterseite des Rechtecks. Wie bereits beim hydrostatischen Druck erlernt, ist es für den Druck unerheblich, ob Verdeckungen existieren. Der Druck ist genau so groß an der Unterseite des Rechtecks, als wäre das Rechteck nicht vorhanden. Das bedeutet also, dass der Druck unterhalb des Rechtecks nur von der senkrechten Höhe zur Wasseroberfläche abhängig ist:

Vertikalkraft
Vertikalkraft

Es wird zunächst die Vertikalkraft an der Oberseite des Rechtecks bestimmt:

$F_{{z}_{ob}} = \rho_{Wasser} \; g \; V_{Oberseite}$

$F_{{z}_{ob}} = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 3m \cdot 1 m = 88.287,35 N$.

Für die Unterseite gilt:

$F_{{z}_{un}} = \rho_{Wasser} \; g \; V_{Unterseite}$

$F_{{z}_{un}} = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 10m \cdot 1 m = 294.291,17 N$.

Für die Unterseite muss der untere Teil des Rechtecks betrachtet werden und dann die gesamte Höhe bis zur Wasseroberfläche (deswegen 10 m). 

Da beide entgegengesetzt wirken, gilt:

$F_z = F_{{z}_{un}} - F_{{z}_{ob}} = 294.291,17 N - 88.287,35 N = 206.003,82 N = 206 kN$.

Man sieht also ganz deutlich, dass das Ergebnis dasselbe ist.

Alternative Vorgehensweise

Manchmal ist es sinnvoll, die Vertikalkraft mit der folgenden Formel zu bestimmen:

Methode

$F_V = p_s \cdot A_{proj}$.

Bei der obigen Formel muss man dann eine projizierte Fläche $A_{proj}$ betrachten, welche die Wand widerspiegelt. Dazu muss die Wand horizontal projiziert werden. Dies geschieht, indem die Fläche ganz einfach mittels Kosinus oder Sinus multipliziert wird. Der Druck $p_s$ ist dabei der Druck im Flächenschwerpunkt:

$p_s = \rho \; g \; h_s$

Wobei $h_s$ den senkrechten Abstand des Schwerpunktes der Fläche hin zur Flüssigkeitsoberfläche darstellt. Wie das funktioniert, wird in den folgenden Abschnitten gezeigt.

Grund für diese Formel ist, dass es bei manchen Flächen (z.B. Druck auf eine kreisförmige Türklappe in der Wand) nicht so einfach ist das Wasservolumen oberhalb dieser Fläche zu bestimmen. Dann muss man auf diese Formel hier zurückgreifen.