Hydrostatisches Paradoxon

Das hydrostatische Pradoxon besagt einfach, dass der hydrostatische Druck (also derjenige Druck, welchen die Flüssigkeit ausübt) nur abhängig von der Höhe zur Wasseroberfläche ist. Was das genau bedeutet, wird in diesem Abschnitt näher betrachtet werden.

Der hydrostatische Druck einer Flüssgikeit ist abhängig von der Höhe der Flüssigkeitssäule $h$. Betrachten wir also ein und dieselbe Flüssigkeit (z.B. Wasser), so ist der hydrostatische Druck unabhängig davon wie das Gefäß geformt ist:

Hydrostatisches Paradoxon

In der Grafik sind drei Behälter gegeben, die unterschiedlich geformt sind. Der hydrostatische Druck am Boden der Behälter ist für alle Behälter gleich, weil die Höhe $h$ der Flüssigkeitssäule oberhalb der Böden für alle gleich ist. 

Druckkraft auf den Bodenbehälter

Wir wollen in einem nächsten Schritt die Druckkraft auf den Behälterboden bestimmen. Hier müssen wir nun eine weitere Voraussetzung treffen, damit der Druck am Behälterboden für alle Gefäße identisch ist:

• Flüssigkeitssäule konstant
• Dichte konstant
• Bodenquerschnitt konstant.

Ist also der hydrostatische Druck für alle Behälter identisch (selbe Flüssigkeit und selbe Flüssigkeitshöhe), so bedeutet dies nicht sofort, dass auch die Druckkraft auf den Behälterboden für diese Behälter gleich ist:

hydrostatische Druckkraft

Die Druckkraft wird berechnet durch:

$p = \frac{F}{A}$

Umstellen nach $F$:

$F = p \cdot A$

mit

$p = \rho \cdot g \cdot h$

ergibt sich dann:

Anhand der Gleichung wird sofort klar, dass die Druckkraft abhängig vom Querschnitt ist. Es ergibt sich also am Behälterboden derselbe hydrostatische Druck für alle oben abgebildeten Behälter, infolge derselben Flüssigkeitssäule $h$. Allerdings wirkt dieser hydrostatische Druck $p$ nun auf unterschiedliche Bodenquerschnitte $A$. Demnach ist natürlich die resultierende Druckkraft für alle oben abgebildeten Behälter unterschiedlich. Eine identische Druckkraft wird also nur dann resultieren, wenn auch die Querschnitte der Böden gleich sind. Dabei ist es auch hier nicht relevant, wie die Gefäße geformt sind, wichtig für eine identische Druckkraft ist nur, dass der hydrostatische Druck gleich ist und die Querschnittsabmessungen des Behälterbodens identisch sind:

Hydrostatische Druckkraft für alle Gefäße gleich

Der hydrostatische Druck ist für alle Behälter gleich, wenn

• dieselbe Flüssigkeit betrachtet wird (Dichte konstant)
• derselbe Ort Ausgangspunkt der Betrachtung ist (Fallbeschleunigung konstant)
• dieselbe Flüssigkeitssäule vorliegt (Höhe konstant)
  
  

Die hydrostatische Bodenkraft ist für alle Behälter gleich, wenn

• der hydrostatische Druck für alle Behälter am Boden gleich ist ($h,g,\rho$ = konstant)
• und zusätzlich der Bodenquerschnitt aller Behälter gleich ist.

Beispiel: Hydrostatisches Paradoxon

Das Gefäß 1 besitzt eine Druckkraft:

$F_Z^1 = p \cdot A = \rho \; g \; h \cdot A$.

Die Fläche auf welche die Kraft drückt, ist die Bodenfläche mit:

$A = 5m \cdot 1m$.

Es ergibt sich also eine Druckkraft auf den Boden von:

$F_Z^1 = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 5m \cdot 1m = 147.145,59 N$.

Das Gefäß 2 besitzt die Druckkraft:

$F_Z^2 = p \cdot A_{proj} = \rho \; g \; h \cdot A$.

$F_Z^2 = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 5m \cdot 1m = 147.145,59 N$.

Beide Gefäße besitzen trotz unterschiedlicher Gefäßformen denselben Bodendruck. Der Grund dafür liegt darin, dass das über den Bodenflächen $A$ gedachte Volumen $V = A \cdot h$ gleich groß ist.

Die obige Aussage trifft auch hier zu. Die beiden obigen Behälter besitzen unterschiedliche Volumina an Wasser. Demnach sind die Gewichtskräfte des Wassers für beide Behälter auch unterschiedlich groß. Allerdings ist die Druckkraft auf den Boden für beide gleich groß.

Die Gewichtskraft des Wassers berechnet sich durch:

$F_G = \rho \; g \; V$.

Für den linken Behälter wird nun das Volumen herangezogen:

$V_l = 5m \cdot 2m \cdot 1m + 1m \cdot 0,5 m \cdot 1m = 10,5 m^3$.

Die Gewichtskraft des Wassers im linken Behälter beträgt:

$F_G = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 10,5m^3 = 103.002 N$.

Für den rechten Behälter gilt:

$F_G = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 15m^3 = 147.145,59 N$.

Man sieht also ganz deutlich, dass die Druckkraft auf den Boden des linken Behälters größer ist als die tatsächliche Wasserkraft. Bei dem zweiten Behälter stimmen die Kräfte überein. Wie kann das sein?

Bei dem ersten Behälter wurden bei der Berechnung der Bodendruckkraft die Auftriebskräfte vernachlässigt, welche an den oberen linken und rechten Seiten angreifen. Werden diese mitberücksichtigt, so ergibt sich für den linken Behälter genau die Gewichtskraft der Wasserkraft. 

Die Auftriebskraft berechnet sich durch:

$F_A = \rho \; g \; V$.

bzw.

$F_A = \rho \; g \; h \cdot A$.

Die Fläche auf welche die Auftriebskraft wirkt beträgt:

$A = x \cdot y  = (5m - 0,5m) \cdot 1m  = 4,5m^2$.

Die Höhe wird wieder bestimmt von der Fläche, auf welcher die Auftriebskraft bis zur Flüssigkeitsoberfläche wirkt. In diesem Fall:

$h = 1m$.

Insgesamt ergibt sich eine Auftriebskraft von:

$F_A = -999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 4,5m^3 = -44.143,68 N$.

Das Minuszeichen wird verwendet, da die Auftriebskraft nach oben (in Richtung der negativen $z$-Achse) gerichtet ist. Wird diese Auftriebskraft nun mit der Bodendruckkraft addiert, so erhält man genau die Gewichtskraft des Wassers:

$F_Z = 147.145,59 N + -44.143,68 N = 103.002 N$.