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Strömungslehre - Hydrostatisches Paradoxon

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Strömungslehre

Hydrostatisches Paradoxon

Das hydrostatische Pradoxon besagt einfach, dass der hydrostatische Druck (also derjenige Druck, welchen die Flüssigkeit ausübt) nur abhängig von der Höhe zur Wasseroberfläche ist. Was das genau bedeutet, wird in diesem Abschnitt näher betrachtet werden.

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Der hydrostatische Druck wird berechnet durch: $p(h) = \rho \; g \; h$.

Stellen wir uns einen Taucher vor, welcher im Ozean taucht. Wir betrachten den Druck auf den Oberkopf des Tauchers, welcher sich 10 Meter unter der Wasseroberfläche befindet. Dieser Druck beträgt:

$p(h) = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 10 m = 98.097,06 Pa$

Stellen wir jetzt den 2m großen Taucher in einen Wassertank, welcher eine Höhe von 2m aufweist. Der Oberkopf des Tauchers berührt also gerade den Tankdeckel. Befestigen wir nun einen dünnen (z.B. 5mm) Schlauch an der Oberseite des Tanks. Der Schlauch sei 10m lang und wird senkrecht nach oben gehalten und komplett mit Wasser gefüllt. Die Flüssigkeitssäule über den Kopf des Tauchers beträgt also ebenfalls 10 Meter. Der Druck der sich hieraus ergibt, beträgt:

$p(h) = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 10 m = 98.097,06 Pa$

Das bedeutet, dass auf den Oberkopf des Tauchers derselbe Druck wirkt wie im Ozean. 

Druckkraft auf den Bodenbehälter

Wir betrachten als nächstes zwei Behälter, welche eine unterschiedliche Form aufweisen. Es soll gezeigt werden, dass die Druckkraft auf den Behälterboden für beide Gefäße gleich ist, auch wenn das Volumen des Wasser sich unterscheidet. Es gilt:

  • Dichte ist konstant.
  • Bodenquerschnitt ist konstant.
  • Fallbeschleunigung ist konsant.


Die Druckkraft wird berechnet durch:

$p = \frac{F}{A}$

Umstellen nach $F$:

$F = p \cdot A$

mit

$p = \rho \cdot g \cdot h$

ergibt sich dann:

Methode

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$F_z = \rho \; g \; h \cdot A$.

An der Formel kann man bereits erkennen, dass der hydrostatische Druck abhängig ist von der Höhe, also der Flüssigkeitssäule über dem Boden. Wenn die gleiche Flüssigkeit betrachtet wird ($\rho = const.)$, die Gefäße sich am selben Ort befinden ($g = 9,81 m/s^2$) und der Bodenquerschnitt $A$ gleich ist, dann ist der hydrostatische Druck auf den Behälterboden gleich, unabhängig davon wie das Gefäß geformt ist, also unabhängig von der Wassermenge welche sich im Gefäß befindet.

Beispiel: Hydrostatisches Paradoxon

Hydrostatisches Paradoxon

Beispiel

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Gegeben seien die obigen beiden Gefäße mit gleichem Bodenquerschnitt und gleicher Flüssigkeitshöhe und derselben Breite $y = b = 1m$. Beide Gefäße sind mit Wasser gefüllt. Wie groß ist die Druckkraft auf den Boden der beiden Gefäße? 

Das Gefäß 1 besitzt eine Druckkraft:

$F_Z^1 = p \cdot A = \rho \; g \; h \cdot A$.

Die Fläche auf welche die Kraft drückt, ist die Bodenfläche mit:

$A = 5m \cdot 1m$.

Es ergibt sich also eine Druckkraft auf den Boden von:

$F_Z^1 = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 5m \cdot 1m = 147.145,59 N$.

Das Gefäß 2 besitzt die Druckkraft:

$F_Z^2 = p \cdot A_{proj} = \rho \; g \; h \cdot A$.

$F_Z^2 = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 5m \cdot 1m = 147.145,59 N$.

Druckkraft auf den Boden

Beide Gefäße besitzen trotz unterschiedlicher Gefäßformen denselben Bodendruck. Der Grund dafür liegt darin, dass das über den Bodenflächen $A$ gedachte Volumen $V = A \cdot h$ gleich groß ist.

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Die Druckkraft auf den Behälterboden kann größer (oder kleiner) als die Gewichtskraft des Wassers im Behälter sein.

Die obige Aussage trifft auch hier zu. Die beiden obigen Behälter besitzen unterschiedliche Volumina an Wasser. Demnach sind die Gewichtskräfte des Wassers für beide Behälter auch unterschiedlich groß. Allerdings ist die Druckkraft auf den Boden für beide gleich groß.

Die Gewichtskraft des Wassers berechnet sich durch:

$F_G = \rho \; g \; V$.

Für den linken Behälter wird nun das Volumen herangezogen:

$V_l = 5m \cdot 2m \cdot 1m + 1m \cdot 0,5 m \cdot 1m = 10,5 m^3$.

Die Gewichtskraft des Wassers im linken Behälter beträgt:

$F_G = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 10,5m^3 = 103.002 N$.

Für den rechten Behälter gilt:

$F_G = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 15m^3 = 147.145,59 N$.

Man sieht also ganz deutlich, dass die Druckkraft auf den Boden des linken Behälters größer ist als die tatsächliche Wasserkraft. Bei dem zweiten Behälter stimmen die Kräfte überein. Wie kann das sein?

Bei dem ersten Behälter wurden bei der Berechnung der Bodendruckkraft die Auftriebskräfte vernachlässigt, welche an den oberen linken und rechten Seiten angreifen. Werden diese mitberücksichtigt, so ergibt sich für den linken Behälter genau die Gewichtskraft der Wasserkraft. 

Auftriebskraft

Die Auftriebskraft berechnet sich durch:

$F_A = \rho \; g \; V$.

bzw.

$F_A = \rho \; g \; h \cdot A$.

Die Fläche auf welche die Auftriebskraft wirkt beträgt:

$A = x \cdot y  = (5m - 0,5m) \cdot 1m  = 4,5m^2$.

Die Höhe wird wieder bestimmt von der Fläche, auf welcher die Auftriebskraft bis zur Flüssigkeitsoberfläche wirkt. In diesem Fall:

$h = 1m$.

Insgesamt ergibt sich eine Auftriebskraft von:

$F_A = -999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 4,5m^3 = -44.143,68 N$.

Das Minuszeichen wird verwendet, da die Auftriebskraft nach oben (in Richtung der negativen $z$-Achse) gerichtet ist. Wird diese Auftriebskraft nun mit der Bodendruckkraft addiert, so erhält man genau die Gewichtskraft des Wassers:

$F_Z = 147.145,59 N + -44.143,68 N = 103.002 N$.