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Strömungslehre - Beispiel: Hydrostatischer Bodendruck bei unterschiedlichen Querschnitten

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Strömungslehre

Beispiel: Hydrostatischer Bodendruck bei unterschiedlichen Querschnitten

Beispiel

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Es sollen im Folgenden zwei Behälter betrachtet werden, welche mit Wasser gefüllt sind und unterschiedliche Querschnitte besitzen. Beide Behälter sind gleich hoch gefüllt (20 m). Wobei gilt:

$\rho_{H_2O} = 999,97 kg/m^3$

$p_b = 101 kPa$

$g = 9,81 m/s^2$.

Wie groß ist der Druck auf dem Boden des Behälters?

Bevor man mit der Rechnung beginnt, kann man schon mal die Überlegung durchführen, ob die Drücke aufgrund des unterschiedlichen Querschnittes auch unterschiedlich groß sein müssen, obwohl die Höhe der Flüssigkeitssäule bei beiden gleich ist (20 m). Da es sich bei beiden Fluiden um Wasser handelt, müssen die Drücke gleich groß sein. Warum ist das so? Es wird von einem inkompressiblen Fluid ausgegangen (Dichte ist konstant). Auch die Fallbeschleunigung ist konstant, da sich beide Gefäße am selben Ort befinden. Das bedeutet also, dass lediglich durch die Höhe eine Druckänderung resultieren kann. Da beide die gleiche Höhe aufweisen, ist auch der Druck auf dem Behälterboden für beide Behälter gleich groß. Wenn man sich nochmals die Dichte vor Augen hält $\rho = \frac{m}{V}$, dann ist bei konstanter Dichte auch der Bruch konstant. Das bedeutet wiederum, dass der Behälter 1 eine Masse von z.B. 10 kg fasst und der Behälter 2 eine Masse von z.B. 5 kg. Da es sich aber um ein und dasselbe Fluid handelt, wird das Wasser im Behälter 1 doppelt soviel Volumen einnehmen wie das Wasser im Behälter 2. Demnach resultiert für beide dieselbe Dichte. Und damit ist auch der Querschnitt irrelevant.

Berechnung des hydrostatischen Drucks:

$p(h) = \rho \; g \; h$

$p(h) = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 20 m = 196.194 Pa$.

Der Druck beträgt in beiden Behältern am Boden 196.194 Pa.