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Strömungslehre - Fluidspannungen

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Strömungslehre

Fluidspannungen

Die Strömungslehre beschäftigt sich mit der Lehre ruhender Fluide und bewegter Fluide. Zu den ruhenden Fluiden zählen die Hydrostatik und die Aerostatik, zu den bewegten Fluiden die Hydrodynamik und die Aerodynamik. In diesem Abschnitt soll auf die Fluidspannungen eingegangen werden und gezeigt werden, dass in einem ruhenden Fluid der Druck in einem Punkt in alle Richtungen gleich groß ist.

Fluidspannungen

Wie bereits erwähnt treten Normalspannungen auf. Diese Normalspannungen stellen den Druck $p$ dar. Es stellt sich nun die Frage, ob diese Druckspannungen richtungsabhängig sind. Ist der Druck in einer idealen Flüssigkeit an einem Punkt in alle Richtungen gleich? Ist also der Druck richtungsunabhängig? Oder ist der Druck richtungsabhängig und damit unterschiedlich groß? Man stelle sich dazu ein infinitesimal kleines Fluidelement vor, welches aus einem Fluid herausgeschnitten wurde. An dieses Fluidelement greifen die drei unterschiedlichen Drücke $p_x$, $p_z$ und $p_y$ sowie $p_{\alpha}$ an.

Fluidspannungen
Fluidspannungen

In der obigen Grafik sind die drei Drücke $p_x$, $p_y$ und $p_z$ in die Achsenrichtungen $x,y,z$ eingezeichnet sowie der winkelabhängige Druck $p_{\alpha}$. Es werden nun die drei Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt, um herauszufinden, ob die vier betrachteten Drücke alle gleich groß sind (richtungsunabhängig), obwohl diese in unterschiedliche Richtungen zeigen oder ob die vier betrachteten Drücke unterschiedlich groß sind (richtungsabhängig). Das Fluidelement muss man sich als sehr klein vorstellen, so dass davon ausgegangen wird, dass sich dieses Element zu einem Punkt approximieren lässt. Das bedeutet ganz einfach, dass die Drücke hier alle auf einen Punkt zeigen, allerdings aus unterschiedlicher Richtung. Das ist deshalb wichtig, weil unterschiedliche Tiefen innerhalb eines Fluids auch unterschiedliche Drücke aufweisen. Deswegen wird hier von einer Tiefe für alle betrachteten Drücke ausgegangen. Es soll also geklärt werden, ob die Drücke in einem bestimmten Punkt trotz unterschiedlicher Richtungen gleich groß sind.

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

$\rightarrow : p_x \cdot dz \; dy - p_{\alpha} \cos(\alpha) \cdot dy \; \frac{dz}{\cos(\alpha)} = 0$.

Merke

Berechnung:

Der Druck $p_x$ wirkt auf die gesamte Fläche $dz \; dy$. Der Druck $p_{\alpha}$ drückt auf die Fläche $dy \; \frac{dz}{\cos(\alpha)}$. Die lange schräge Seite wurde mittels Dreiecksberechnung im rechtwinkligen Dreieck bestimmt. Der Druck $p_{\alpha}$ musste noch mit $-\cos(\alpha)$ multipliziert werden, um diesen in $x$-Richtung zu zerlegen.

$p_x \cdot dz \; dy - p_{\alpha} \cdot dy \; dz = 0$

$p_x \cdot dz \; dy = p_{\alpha} \cdot dy \; dz $

Methode

$p_x = p_{\alpha}$

Die beiden Drücke sind gleich groß, obwohl sie eine unterschiedliche Richtung aufweisen. Damit aber bewiesen werden kann, dass der Druck wirklich richtungsunabhängig für einen bestimmten Punkt ist, wird noch die Gleichgewichtsbedingung für die $z$-Richtung betrachtet (hier muss noch die Gewichtskraft des Fluids $F_G$ mitberücksichtigt werden, da diese vertikal gerichtet ist).

Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung

$\uparrow : -F_G + p_z \cdot dx \; dy - p_{\alpha} \sin(\alpha) \cdot dy \; \frac{dz}{\cos(\alpha)} = 0$.

Die Gewichtskraft $F_G$ kann auch geschrieben werden als $F_G = \rho \; g \; V$ (wird später noch erläutert) mit $\rho$ = Dichte, $g$ = Erdbeschleunigung und $V$ = Volumen. Das Volumen des betrachteten Fluidelements ist $V = \frac{dx \; dy \; dz}{2}$. Daraus folgt:

$-\rho \; g \;  \frac{dx \; dy \; dz}{2} + p_z \cdot dx \; dy - p_{\alpha} \sin(\alpha) \cdot dy \; \frac{dz}{\cos(\alpha)} = 0$.


Es gilt außerdem:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{dx}{dz}$

$ -\rho \; g \;  \frac{dx \; dy \; dz}{2} + p_z \cdot dx \; dy - p_{\alpha} \cdot dy \; dz \tan(\alpha) = 0$.

$ -\rho \; g \;  \frac{dx \; dy \; dz}{2} + p_z \cdot dx \; dy - p_{\alpha} \cdot dy \; dz \frac{dx}{dz} = 0$.

$ -\rho \; g \;  \frac{dx \; dy \; dz}{2} + p_z \cdot dx \; dy - p_{\alpha} \cdot dy \; dx= 0$.

$ -\rho \; g \;  \frac{dz}{2} + p_z - p_{\alpha} = 0$.


Da das Element infinitesimal klein sein soll, insgesamt die Seiten also gegen null konvergieren, gilt: 

$\lim_{dz \to 0} [ -\rho \; g \;  \frac{dz}{2} + p_z - p_{\alpha}] = 0$

$p_z - p_{\alpha} = 0$

Methode

$p_z = p_{\alpha}$

Es gilt also insgesamt $p_x = p_z = p_{\alpha}$. Die Drücke in einem bestimmten Punkt sind also richtungsunabhängig und damit für jede beliebige Richtung gleich. Man kann das Ganze nun auch noch für die $y$-Richtung durchführen und erhält am Ende ebenfalls

Methode

$p_y = p_{\alpha}$

Merke

In einem ruhenden Fluid ist der Druck in einem Punkt in alle Richtungen gleich groß (Pascalsches Gesetz).

Druck in Abhängigkeit von der Tiefe

In der obigen Grafik ist nochmals verdeutlicht, dass der Druck eines ruhenden Fluids in einem bestimmten Punkt (bzw. in einer bestimmten Tiefe), egal aus welcher Richtung dieser angreift, immer gleich groß ist. In 10 Meter Tiefe ist der Druck überall gleich ($p_{x1} = p_{z1}$). In 40 Meter Tiefe ist der Druck auch überall gleich ($p_{x2} = p_{z2}$). Allerdings ist der Druck in 10 Metern Tiefe unterschiedlich groß zu dem Druck in 40 Metern Tiefe. Es stellt sich nun die Frage, ob der Druck in 40 Meter Tiefe niedriger oder höher ist als in 10 Meter Tiefe. Dieser Frage wird im folgenden Abschnitt nachgegangen.