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Strömungslehre - Lagrange- / Euler-Darstellung

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Strömungslehre

Lagrange- / Euler-Darstellung

Es existieren zwei unterschiedliche Möglichkeiten, um die Bewegung eines Fluids kinematisch zu erklären: 

1. Lagrange Darstellung

Lagrange - Darstellung

Entsprechend der Punktmechanik wird bei dieser Methode der Weg jedes Fluidteilchens (-elementes) – wenigstens jedoch eines stellvertretend für alle – bezüglich eines Koordinatensystems analytisch beschrieben. Die sich dadurch ergebenden LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen sind oft sehr kompliziert und erfordern deshalb erheblichen mathematischen Aufwand. Aus diesem Grunde wird die LAGRANGEsche Betrachtungsweise nur in Sonderfällen angewendet.

Gegeben sei der Ortsvektor $r_0$ eines Fluidteilchens zur Zeit $t = t_0$. Zur Zeit $t$ ist der Ortsvektor dann

$\vec{r} = [x(x_0, y_0, z_0, t], \; y(x_0, y_0, z_0, t), \; z(x_0, y_0, z_0, t)]$.

Zur Bestimmung der Geschwindigkeit dieses Fluidteilchens berechnet man:

Methode

$\vec{w} = \frac{d \vec{r}}{dt} = [\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}] = [w_x, w_y, w_z]$.

Anwendungsbeispiel: Lagrange Darstellung

Beispiel

Gegeben sei der Ortsvektor zur Zeit $t = t_0$ mit $r_0 = [x_0 = 0, y_0 = 0, z_0 = 0]$ und der Ortsvektor $\vec{r}$ zur Zeit $t$ mit $\vec{r} [x = 4t, y = y_0, z = z_0]$. Wie groß ist die Geschwindigkeit $w$ des Fluidteilchens?

Berechnet wird die Geschwindigkeit durch Ableitung des Ortsvektors $\vec{r}$ nach $t$:

$\vec{w} = \frac{d \vec{r}}{dt} $.

Für den Vektor $\vec{r}$ müssen noch die Werte $y_0 = 0$ und $z_0 = 0$ eingesetzt werden:

$\vec{r} [x = 4t, y = 0, z = 0]$

Ableiten nach $t$ ergibt:

$\vec{w} = \frac{d \vec{r}}{dt}  = [4, 0, 0]$.


Das bedeutet also:

$w_x = 4 m/s$,  $w_y = 0 m/s$,  $w_z = 0 m/s$.

2. Eulersche Darstellung

Eulersche Darstellung

Während LAGRANGE alle Strömungsgrößen jeweils an ein Fluidteilchen (-Gruppe) bindet, beschreibt EULER diese Größen nur orts- und zeitabhängig. Für vorgegebene Stellen (einzelne oder mehrere) des festgelegten Koordinatensystems werden Geschwindigkeit $w$, Beschleunigung $a$, Dichte $\rho$, Temperatur $T$ analytisch dargestellt und in Beziehung zueinander gesetzt. Die Werte beziehen sich nicht auf das einzelne, sondern jedes Teilchen (Element), das am betreffenden Punkt (Bezugsstelle) ist bzw. hinkommt → Feldgrößen. Das lokale Einzelschicksal der Fluidteilchen interessiert demnach nicht, sondern lediglich das Verhalten der ständig wechselnden Fluidteilchen, welche die festgelegte Stelle passieren. Die Größen $w$, $a$, $\rho$, $T$ sind in der allgemeinsten Form durch Funktionen des Ortes sowie der Zeit festgelegt und gelten für alle Teilchen, die den Ort erreichen. Die sich ergebenden EULERschen Bewegungsgleichungen sind einfacher und bilden überwiegend die Grundlage der Strömungsmechanik.

Die Geschwindigkeitsverteilung im Raum an einem beliebigen Punkt (x,y,z) zur Zeit $t$ beträgt:

$\vec{w} = [w_x(x,y,z,t), w_y(x,y,z,t), w_z(x,y,z,t)]$.

Die Komponenten $w_x$, $w_y$ und $w_z$ (Komponentendarstellung in $x$,$y$,$z$-Richtung der Geschwindigkeit $\vec{w}$) werden berechnet durch:

Methode

$w_x = \frac{dx}{dt}$,  $w_y = \frac{dy}{dt}$,  $w_z = \frac{dz}{dt}$.

Es wird im Weiteren die Eulersche Darstellungsform gewählt. Neben den Ortskoordinaten ist im allgemeinen Fall auch die Zeit $t$ eine unabhängige Variable, d.h. es werden die Zustandsgrößen an einem Punkt des Strömungsfeldes betrachtet und es wird beschrieben, wie sich diese dort mit der Zeit ändern. Ändern sich die Zustandswerte an einem Punkt im Laufe der Zeit nicht, dann liegt eine stationäre Strömung vor. Ändern sich hingegen die Zustandswerte an einem Punkt im Laufe der Zeit, dann handelt es sich um eine instationäre Strömung.

Merke

Im Folgenden werden nur inkompressible Fluide (Dichte konstant) betrachtet.