ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Strömungslehre
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse

Lagrange-/Euler-Darstellung

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Es existieren zwei unterschiedliche Möglichkeiten, um die Bewegung eines Fluids kinematisch zu erklären: 

1. Lagrange Darstellung

Lagrange - Darstellung

Entsprechend der Punktmechanik wird bei dieser Methode der Weg jedes Fluidteilchens (-elementes) – wenigstens jedoch eines stellvertretend für alle – bezüglich eines Koordinatensystems analytisch beschrieben. Die sich dadurch ergebenden LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen sind oft sehr kompliziert und erfordern deshalb erheblichen mathematischen Aufwand. Aus diesem Grunde wird die LAGRANGEsche Betrachtungsweise nur in Sonderfällen angewendet.

Gegeben sei der Ortsvektor $r_0$ eines Fluidteilchens zur Zeit $t = t_0$. Zur Zeit $t$ ist der Ortsvektor dann

$\vec{r} = [x(x_0, y_0, z_0, t], \; y(x_0, y_0, z_0, t), \; z(x_0, y_0, z_0, t)]$.

Zur Bestimmung der Geschwindigkeit dieses Fluidteilchens berechnet man:

Methode

$\vec{w} = \frac{d \vec{r}}{dt} = [\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}] = [w_x, w_y, w_z]$.

Anwendungsbeispiel: Lagrange Darstellung

Beispiel

Gegeben sei der Ortsvektor zur Zeit $t = t_0$ mit $r_0 = [x_0 = 0, y_0 = 0, z_0 = 0]$ und der Ortsvektor $\vec{r}$ zur Zeit $t$ mit $\vec{r} [x = 4t, y = y_0, z = z_0]$. Wie groß ist die Geschwindigkeit $w$ des Fluidteilchens?

Berechnet wird die Geschwindigkeit durch Ableitung des Ortsvektors $\vec{r}$ nach $t$:

$\vec{w} = \frac{d \vec{r}}{dt} $.

Für den Vektor $\vec{r}$ müssen noch die Werte $y_0 = 0$ und $z_0 = 0$ eingesetzt werden:

$\vec{r} [x = 4t, y = 0, z = 0]$

Ableiten nach $t$ ergibt:

$\vec{w} = \frac{d \vec{r}}{dt}  = [4, 0, 0]$.


Das bedeutet also:

$w_x = 4 m/s$,  $w_y = 0 m/s$,  $w_z = 0 m/s$.

2. Eulersche Darstellung

Eulersche Darstellung

Während LAGRANGE alle Strömungsgrößen jeweils an ein Fluidteilchen(-Gruppe) bindet, beschreibt EULER diese Größen nur orts- und zeitabhängig. Für vorgegebene Stellen (einzelne oder mehrere) des festgelegten Koordinatensystems werden Geschwindigkeit $w$, Beschleunigung $a$, Dichte $\rho$ , Temperatur $T$ analytisch dargestellt und in Beziehung zueinander gesetzt. Die Werte beziehen sich nicht auf das einzelne, sondern jedes Teilchen (Element), das am betreffenden Punkt (Bezugsstelle) ist bzw. hinkommt → Feldgrößen. Das lokale Einzelschicksal der Fluidteilchen interessiert demnach nicht, sondern lediglich das Verhalten der ständig wechselnden Fluidteilchen, welche die festgelegte Stelle passieren. Die Größen $w$, $a$, $\rho$, $T$ sind in der allgemeinsten Form durch Funktionen des Ortes sowie der Zeit festgelegt und gelten für alle Teilchen, die den Ort erreichen. Die sich ergebenden EULERschen Bewegungsgleichungen sind einfacher und bilden überwiegend die Grundlage der Strömungsmechanik.

Die Geschwindigkeitsverteilung im Raum an einem beliebigen Punkt (x,y,z) zur Zeit $t$ beträgt:

$\vec{w} = [w_x(x,y,z,t), w_y(x,y,z,t), w_z(x,y,z,t)]$.

Die Komponenten $w_x$, $w_y$ und $w_z$ (Komponentendarstellung in $x$,$y$,$z$-Richtung der Geschwindigkeit $\vec{w}$) werden berechnet durch:

Methode

$w_x = \frac{dx}{dt}$,  $w_y = \frac{dy}{dt}$,  $w_z = \frac{dz}{dt}$.

Es wird im Weiteren die Eulersche Darstellungsform gewählt. Neben den Ortskoordinaten ist im allgemeinen Fall auch die Zeit $t$ eine unabhängige Variable, d.h. es werden die Zustandsgrößen an einem Punkt des Strömungsfeldes betrachtet und es wird beschrieben, wie sich diese dort mit der Zeit ändern. Ändern sich die Zustandswerte an einem Punkt im Laufe der Zeit nicht, dann liegt eine stationäre Strömung vor. Ändern sich hingegen die Zustandswerte an einem Punkt im Laufe der Zeit, dann handelt es sich um eine instationäre Strömung.

Merke

Im Folgenden werden nur inkompressible Fluide (Dichte konstant) betrachtet. 

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Während alle Strömungsgrößen jeweils an ein Fluidteilchen(-Gruppe) bindet, beschreibt diese Größen nur orts- und zeitabhängig
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Lagrange-/Euler-Darstellung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Strömungslehre.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses StrömungslehreStrömungslehre
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Strömungslehre

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Strömungslehre
    • Einleitung zu Kurs: Strömungslehre
  • Grundlagen der Strömungslehre
    • Einleitung zu Grundlagen der Strömungslehre
    • Aggregatzustände
    • Dichte
    • Kompressibilität
    • Viskosität
    • Ideales Fluid
    • Reales Fluid
  • Hydrostatik
    • Einleitung zu Hydrostatik
    • Fluidspannungen
    • Hydrostatischer Druck
      • Einleitung zu Hydrostatischer Druck
      • Beispiel: Hydrostatischer Druck
      • Beispiel: U-Rohr-Manometer
      • Beispiel: Hydrostatischer Bodendruck bei unterschiedlichen Querschnitten
    • Hydrostatisches Paradoxon
    • Hydrostatische Auftriebskraft
    • Druckkräfte auf ebene rechteckige Behälterwände
      • Einleitung zu Druckkräfte auf ebene rechteckige Behälterwände
      • Vertikalkraft
      • Horizontalkraft
      • Resultierende und Wirkungslinie
      • Anwendungsbeispiel: Druckkräfte auf Behälterwände
    • Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
    • Druckkräfte auf eben geneigte nicht rechteckige Flächen
    • Druckkräfte auf gekrümmte Flächen
    • Geschichtete Fluide
  • Kinematik einer Strömung
    • Stationäre und instationäre Strömungen
    • Bahnkurven und Stromlinien
    • Lagrange-/Euler-Darstellung
    • Stromfaden und Stromröhre
  • Hydrodynamik
    • Einleitung zu Hydrodynamik
    • Reibungsfreie Strömungen
      • Einleitung zu Reibungsfreie Strömungen
      • Stromfadentheorie (eindimesionale Strömung)
      • Kontinuitätsgleichung (stationäre Strömung)
      • Bernoullische Energiegleichung (stationär)
      • Spezialfälle der Bernoullischen Energiegleichung
    • Reibungsbehaftete Strömungen
      • Einleitung zu Reibungsbehaftete Strömungen
      • Einzelverluste (turbulente Strömungen)
      • Verluste in Rohrleitungen (streckenabhängige)
        • Einleitung zu Verluste in Rohrleitungen (streckenabhängige)
        • Kinematische Zähigkeit
        • Äquivalente Sandrauhigkeit
        • Moody-Diagramm
      • Berechnung der gesamten Verluste in Rohrleitungen
        • Einleitung zu Berechnung der gesamten Verluste in Rohrleitungen
        • Laminare Strömung (kreisförmiger Querschnitt)
        • Turbulente Strömungen (kreisförmiger Querschnitt)
        • Strömungen nicht-kreisförmiger Querschnitte
        • Iterative Bestimmung der Rohrreibungszahl Lambda
    • Rohrleitungen mit Pumpen
      • Einleitung zu Rohrleitungen mit Pumpen
      • Pumpen bei reibungsfreien Strömungen
      • Pumpen bei reibungsbehafteten Strömungen
  • Impulssatz und Drallsatz
    • Einleitung zu Impulssatz und Drallsatz
    • Impulssatz
      • Einleitung zu Impulssatz
      • Stützkraftkonzept
      • Vertikale und horizontale Gleichgewichtsbedingung
    • Drallsatz (Impulsmomentensatz)
  • Ebene Strömungen
    • Einleitung zu Ebene Strömungen
    • Wiederholung: Stromlinienkonzept
    • Stromfunktion
      • Einleitung zu Stromfunktion
      • Beispiel: Stromfunktion
    • Potentialfunktion
    • Quelle und Senke (Divergenz)
    • Wirbelstärke
  • 61
  • 9
  • 58
  • 135
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Strömungslehre

    Ein Kursnutzer am 17.03.2016:
    "Optimal bis jetzt :)"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen