Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren

Viele Größen in der Physik, wie zum Beispiel die Kraft und die Geschwindigkeit, weisen nicht nur einen Betrag auf, sondern haben auch eine Richtung. Diese Größen werden dann als Vektoren dargestellt. Die folgenden Abschnitte behandeln den Umgang mit Vektoren. Wir betrachten in diesem Zusammenhang:

• Vektoraddition und -subtraktion,
• Länge von Vektoren
• Skalarprodukt/Vektorprodukt 
• Spatprodukt

Definition: Vektoren

Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. 

• Vektor $\vec{a}$ in einem $n$-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \\ . \\ . \\ . \\ a_n \end{array} \right)$
  
  
• Vektor in einem 3-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z  \end{array} \right)$
  
  
• Vektor in einem 2-dimensionalen Raum:  $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array} \right)$
  
  

Vektoren in der $x,y$-Ebene können wie folgt dargestellt werden:

Vektoren in der Ebene

In Worten: Vom Ursprung des Vektors bis zur Spitze des Vektors werden die Schritte in $x$- und $y$-Richtung betrachtet. Dabei werden die Schritte in positive Koordinatenrichtung positiv und die Schritte in negative Koordinatenrichtung negativ berücksichtigt. An erster Stelle stehen immer die Schritte in $x$-Richtung, an der zweiten Stelle die Schritte in $y$-Richtung und (bei Vektoren im Raum) an der dritten Stelle die Schritte in $z$-Richtung. Für die obigen Vektoren gilt also:

$\vec{blau} = (2,3)$

$\vec{orange} = (-1,4)$

Ortsvektoren

Beginnen Vektoren im Koordinatenursprung, so spricht man von Ortsvektoren. Diese Ortsvektoren können dazu genutzt werden Punkte im Raum zu bezeichnen. So kann z.B. der Ort des Punktes $A(3,3)$ durch den Vektor 

$\vec{a} = \vec{OA}$

dargestellt werden. Diesen Vektor nennt man den zum Punkt $A(3,3)$ gehörenden Ortsvektor. $O$ bezeichnet dabei den Koordinatenursprung $(0,0)$, der für alle Ortsvektoren den Startpunkt bildet und $A$ ist der Punkt auf welchen der Vektor zeigt. Ortsvektoren weisen dieselben Koordinaten auf, wie der Punkt selber, da die Schritte in Richtung der Koordinatenachsen vom Ursprung des Koordinatensystems ausgehen:

Ortsvektoren

• Ortsvektoren können nicht parallel verschoben oder mit einem Skalar multipliziert werden
• Ortsvektoren beginnen im Koordinatenursprung
• Für jeden Punkt existiert genau ein Ortsvektor

Richtungsvektoren

Im Gegensatz zu Ortsvektoren beginnen die Richtungsvektoren nicht im Koordinatenursprung, sondern stellen die Verbindung zwischen zwei Ortsvektoren dar:

Richtungsvektor - Verbindung zwischen zwei Ortsvektoren

Der obige Richtungsvektor wird mit $\vec{BA}$ bezeichnet, weil dieser im Punkt $B$ beginnt auf den Punkt $A$ zeigt.

Die Koordinaten des Richtungsvektors $\vec{BA}$ können nun entweder grafisch ermittelt werden oder rechnerisch. Die grafische Vorgehensweise ist jedoch häufig recht aufwendig, weshalb die rechnerische Lösung vorgezogen wird. In der obigen Grafik können die Koordinaten in $x$- und $y$-Richtung des Richtungsvektors hingegen einfach grafisch ermittelt werden:

$\vec{BA} = (5, -1)$

Um vom Ursprung des Vektors (B) zur Spitze (A) zu gelangen, müssen 5 Schritte in positive $x$-Richtung und 1 Schritt in negative $y$-Richtung gemacht werden. 

Vektor aus zwei Punkten: Richtungsvektor

Die beiden zugehörigen Ortsvektoren sind

$\vec{a} = \vec{OA} =\left( \begin{array}{c} 1\\ 4 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \vec{OB} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

Es ist deutlich zu erkennen, dass die Koordinaten der Ortsvektoren mit den Koordinaten des jeweiligen Punktes übereinstimmen. Grund dafür ist, dass der Ortsvektor im Koordinatenurspung beginnt und die Schritte in $x$- und $y$-Richtung von dort aus vorgenommen werden, so wie auch für den Punkt im Koordinatensystem.

Wir betrachten als nächsten den Richtungsvektor, der vom Punkt $A$ auf den Punkt $B$ zeigt. Wir müssen dafür den Punkt $A$ vom Punkt $B$ subtrahieren:

$\vec{AB} = B - A = \left( \begin{array}{c} 4-1 \\ 3-4 \end{array} \right) =  \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \end{array} \right)$

Der Richtungsvektor $\vec{AB} = (3,-1)$ hat nun die folgende Richtung:

Beispiel - Ortsvektoren und Richtungsvektor

Wir betrachten als nächstes den Richtungsvektor $\vec{BA}$. Dieser beginnt im Punkt $B$ und zeigt auf den Punkt $A$. Zur Berechnung müssen wir den Punkt $B$ vom Punkt $A$ abziehen:

$\vec{BA} = A - B =  \left( \begin{array}{c} 1-4 \\ 4-3 \end{array} \right) =  \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)$

Der Richtungsvektor $\vec{BA} = (-3,1)$ hat nun die folgende Richtung:

Beispiel - Richtungsvektor