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Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes:

Lage des Massenpunktes

WebinarTerminankündigung:
 Am 06.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Dynamik) Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes
- Dieses 60-minütige Gratis-Webinar behandelt die geradlinige Bewegung eines Massenpunktes.
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Die Lage eines MassenPunktes $P$ im Raum wird durch seinen Ortsvektor $r$ festgelegt.

Merke

Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung des Koordinatensystems auf den Punkt $P$.
Kinematik eines Massenpunktes

Ändert sich nun die Lage des Punktes $P$ mit der Zeit $t$, so beschreibt $r(t)$ die Bahn des Punktes $P$.

Kinematik eines Massenpunktes

Die Änderung des Ortsvektors $\triangle r$ kann angegeben werden durch:

Methode

$\triangle r =  r(t + \triangle t) - r(t)$.
Kinematik eines Massenpunktes

 Der Massenpunkt befindet sich zum Zeitpunkt $t$ bei $P$ und zum Zeitpunkt $t + \triangle t$ bei $P'$. Die Änderung des Ortsvektors kann herangezogen werden, um die Strecke zwischen beiden Punkten zu bestimmen. Dies geschieht indem die Länge dieses Vektors berechnet wird:

Methode

$|r(\triangle t)| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ 

Dabei handelt es sich um den geraden Abstand (Strecke) zwischen den beiden Punkten und nicht um die Bogenlänge, also den tatsächlichen Abstand.

Anwendungsbeispiel: Änderung des Ortsvektors

Beispiel

Zum Zeitpunkt $t = 2$ liegt der Punkt bei $r(t = 2) = (1,0,1)$. Zum Zeitpunkt $t = 3$ liegt der Punkt bei $r(t = 3) = (2,0,3)$. Geben Sie die Änderung des Ortsvektors an! 

Die Änderung des Ortsvektors ergibt sich durch:

Methode

$\triangle r = r(t + \triangle t) - r(t)$.

In diesem Beispiel:

Methode

$\triangle r = r(2 + 1) - r(2)$.

$\triangle r = (2,0,3) - (1,0,1) = (1,0,2)$.
Kinematik des Massenpunktes

In der obigen Grafik sind die beiden Ortsvektoren eingezeichnet, welche auf die beiden Punkte zeigen. Jeder Punkt besitzt einen eigenen Ortsvektor. In dem obigen Beispiel zum Zeitpunkt $t = 2$ liegt der Punkt bei (1,0,1), zum Zeitpunkt $t = 3$ liegt der Punkt dann bei (2,0,3). Die Änderung des Ortsvektors ergibt sich zu (siehe oben):

$\triangle r = (2,0,3) - (1,0,1) = (1,0,2)$.

Änderung des Ortsvektors

Der berechnete Ortsvektor $r(\triangle t)$ beginnt im Ursprung des Koordinatensystems und zeigt auf den berechneten Punkt $(1,0,2)$. Dieser muss nun so verschoben werden, dass er zwischen die beiden Punkte gelegt wird, ohne seine Richtung zu verändern. Man sieht deutlich, dass der Ortsvektor genau zwischen die beiden Punkte passt. Es kann als nächstes die Strecke zwischen den beiden Punkten bestimmt werden, indem die Länge des Ortsvektors berechnet wird:

$|r(\triangle)| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5} = 2,24$ Längeneinheiten

Multiple-Choice
Zum Zeitpunkt $t = 4$ liegt der Punkt bei $r(t = 4) = (5,6,2)$. Zum Zeitpunkt $t = 6$ liegt der Punkt bei $r(t = 6) = (7,9,3)$. Geben Sie die Änderung des Ortsvektors an!
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Technische Mechanik 3: Dynamik

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    • Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
      • Einleitung zu Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
      • Lage des Massenpunktes
      • Geschwindigkeit eines Massenpunktes
        • Geschwindigkeitsvektor
          • Einleitung zu Geschwindigkeitsvektor
          • Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve
        • Bahngeschwindigkeit
          • Einleitung zu Bahngeschwindigkeit
          • Strecke zwischen zwei Punkten
          • Bahngeschwindigkeit und Bogenlänge
          • Mittlere Bahngeschwindigkeit
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      • Beschleunigung eines Massenpunktes
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        • Bahnbeschleunigung
          • Einleitung zu Bahnbeschleunigung
          • Beispiel: Bahnbeschleunigung
    • Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
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      • Kinematische Grundaufgaben
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          • Einleitung zu Kinematische Diagramme
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          • Beispiel: Geschwindigkeit, Auto
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