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Technische Mechanik 3: Dynamik - Lage des Massenpunktes

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Lage des Massenpunktes

Die Lage eines Massenpunktes $P$ im Raum wird durch seinen Ortsvektor $r$ festgelegt.

Merke

Hier klicken zum AusklappenDer Ortsvektor zeigt vom Ursprung des Koordinatensystems auf den Punkt $P$.
Kinematik eines Massenpunktes

Ändert sich nun die Lage des Punktes $P$ mit der Zeit $t$, so beschreibt $r(t)$ die Bahn des Punktes $P$.

Kinematik eines Massenpunktes

Die Änderung des Ortsvektors $\triangle r$ kann angegeben werden durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\triangle r =  r(t + \triangle t) - r(t)$.
Kinematik eines Massenpunktes

 Der Massenpunkt befindet sich zum Zeitpunkt $t$ bei $P$ und zum Zeitpunkt $t + \triangle t$ bei $P'$. Die Änderung des Ortsvektors kann herangezogen werden, um die Strecke zwischen beiden Punkten zu bestimmen. Dies geschieht indem die Länge dieses Vektors berechnet wird:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$|r(\triangle t)| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ 

Dabei handelt es sich um den geraden Abstand (Strecke) zwischen den beiden Punkten und nicht um die Bogenlänge, also den tatsächlichen Abstand.

Beispiel: Änderung des Ortsvektors

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenZum Zeitpunkt $t = 2$ liegt der Punkt bei $r(t = 2) = (1,0,1)$. Zum Zeitpunkt $t = 3$ liegt der Punkt bei $r(t = 3) = (2,0,3)$. Geben Sie die Änderung des Ortsvektors an! 

Die Änderung des Ortsvektors ergibt sich durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\triangle r = r(t + \triangle t) - r(t)$.

In diesem Beispiel:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\triangle r = r(2 + 1) - r(2)$.

$\triangle r = (2,0,3) - (1,0,1) = (1,0,2)$.
Kinematik des Massenpunktes

In der obigen Grafik sind die beiden Ortsvektoren eingezeichnet, welche auf die beiden Punkte zeigen. Jeder Punkt besitzt einen eigenen Ortsvektor. In dem obigen Beispiel zum Zeitpunkt $t = 2$ liegt der Punkt bei (1,0,1), zum Zeitpunkt $t = 3$ liegt der Punkt dann bei (2,0,3). Die Änderung des Ortsvektors ergibt sich zu (siehe oben):

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\triangle r = (2,0,3) - (1,0,1) = (1,0,2)$.
Änderung des Ortsvektors

Der berechnete Ortsvektor $r(\triangle t)$ beginnt im Ursprung des Koordinatensystems und zeigt auf den berechneten Punkt $(1,0,2)$. Dieser muss nun so verschoben werden, dass er zwischen die beiden Punkte gelegt wird, ohne seine Richtung zu verändern. Man sieht deutlich, dass der Ortsvektor genau zwischen die beiden Punkte passt. Es kann als nächstes die Strecke zwischen den beiden Punkten bestimmt werden, indem die Länge des Ortsvektors berechnet wird:

$|r(\triangle)| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5} = 2,24$ Längeneinheiten