Kursangebot | Physik | Beispiel: Bahngeschwindigkeit

Physik

Beispiel: Bahngeschwindigkeit

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben sei die folgende Bahnkurve: $r(t) = (4t^2, 3t, 0t)$. Wie groß ist der Betrag der Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten $t=1$, $t=2$ und $t=3$ und wie groß ist die Strecke $\triangle s$ zwischen den Punkten? Wie groß ist die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen den Punkten $t=1$ und $t=3$?

1. Bestimmung der Geschwindigkeit

Es wird zunächst der Geschwindigkeitsvektor bestimmt und dann der Betrag gebildet. Der Geschwindigkeitsvektor bestimmt sich durch Ableitung der Bahnkurve nach $t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = \dot{r} = (8t, 3, 0)$

Danach wird der Betrag der Bahngeschwindigkeit bestimmt, indem die Länge des Geschwindigkeitsvektors berechnet wird:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|v| = \sqrt{(8t)^2 + 3^2 + 0^2)} = \sqrt{64t^2 + 9}$

Hierbei handelt es sich um die allgemeine Bahngeschwindigkeit in Abhängigkeit von $t$. Es muss nun noch die Geschwindigkeit für die Zeiten $t=1$, $t=2$ und $t=3$ bestimmt werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $t = 1: \; |v| =  \sqrt{64 \cdot 1^2 + 9} = 8,54$.

$t = 2: \; |v| =  \sqrt{64 \cdot 2^2 + 9} = 16,28 $.

$t = 3: \; |v| =  \sqrt{64 \cdot 3^2 + 9} = 24,19$.

Das sind die Geschwindigkeiten zu den unterschiedlichen Zeiten eines Punktes, welcher auf der obigen Bahnkurve unterwegs ist. Diese werden z.B. in $\frac{m}{s} $ oder $\frac{km}{h} $ angegeben.

Lage eines Massenpunktes
Lage des Massenpunktes in Abhängigkeit von t

In der obigen Grafik ist die Lage des Massenpunktes zu den unterschiedlichen Zeiten gegeben. Hiefür wird die Bahnkurve $r(t)$ herangezogen und die einzelnen Zeiten eingesetzt. Zum Zeitpunkt $t =1$ befindet sich der Massenpunkt bei $x = 4$ und $y =3$, also auf dem Punkt $A = (4,3)$. Da der $z$-Wert gleich Null ist, handelt es sich hierbei um eine Kurve in der Ebene (zweidimensional).

Die Bahngeschwindigkeit zu den unterschiedlichen Zeiten wurde bestimmt, indem die Länge der Geschwindigkeitsvektoren berechnet wurde. Die Geschwindigkeiten sind sozusagen die skalare Darstellung des Geschwindigkeitsvektors und sind in der unteren Grafik dargestellt:

Bahngeschwindigkeit eines Massenpunktes
Bahngeschwindigkeit des Massenpunktes in Abhängigkeit von t

Zum Zeitpunkt $t =1$ weist der Massenpunkt eine Geschwindigkeit von $v = 8,54$ auf, zum Zeitpunkt $t =2$ eine Geschwindigkeit von $v = 16,28$ und zum Zeitpunkt $t=3$ eine Geschwindigkeit von $24,19$.

2. Bestimmung der Strecke zwischen den Punkten

Die Strecke zwischen den Punkten wird über die Änderung des Ortsvektors bestimmt. Zunächst wird also die Änderung des Ortsvektors von dem Punkt bei $t =1$ zum Punkt von $t =2$ berechnet:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle r = r(t=2) - r(t=1) = (16, 6, 0) - (4, 3, 0) = (12,3,0)$.


Um nun die Strecke zwischen den beiden Punkten bestimmen zu können, muss die Länge des oben berechneten Ortsvektors bestimmt werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|\triangle r| = \triangle s = \sqrt{12^2 + 3^2 + 0^2} = 12,37$.

Hierbei handelt es sich nun um die Strecke (z.B. in m) zwischen den zwei Punkten mit $t=1$ und $t=2$.

Als nächstes wird die Änderung des Ortsvektors für die Punkte bei $t =2$ und $t =3$ bestimmt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle r = r(t=3) - r(t=2) = (36, 9, 0) - (16, 6, 0) = (20,3,0)$.


Als nächstes wird wieder die Länge bestimmt, um die Strecke zu bestimmen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|\triangle r| = \sqrt{20^2 + 3^2 + 0^2} = 20,22$. Hierbei handelt es sich nun um die Strecke (z.B. in m) zwischen den zwei Punkten mit $t=2$ und $t=3$.


Die Strecken (blau) zwischen den Punkten zu unterschiedlichen Zeiten sind nochmals unten in der Grafik visualisiert:

Strecke zwischen zwei Punkten
Strecke zwischen zwei Punkten

In der obigen Grafik ist die Bahnkurve eingezeichnet und die Punkte zu den unterschiedlichen Zeiten. Dabei wird zwischen jedem Punkt eine konstante Zeitdifferenz von $\triangle t = 1$ eingehalten. 
Zwischen dem Ursprung $t =0$ und dem Punkt $A$ bei $t =1$ ist die Strecke $\triangle s = 5$. Zwischen dem Punkt $A$ und $B$ bei $t =2$ ist eine Strecke von $\triangle s = 12,37$ gegeben und zwischen $B$ und $C$ eine Strecke von $\triangle s = 20,22$.

Aufgrund der gleichen Zeitabstände zwischen den Punkten, kann man eine Aussage über den zeitlichen Verlauf der Bewegung treffen. Die Bewegung des Punktes entlang der Bahnkurve wird zunehmend schneller, was durch die immer größeren Strecken zwischen den Punkten gekennzeichnet ist. Der Punkt legt mit wachsender Zeit in gleichen Zeitabschnitten $\triangle t =1$ größere Wegstrecken zurück.

Man sollte wissen, dass die angegebenen Werte $\triangle s$ die Strecke zwischen den Punkten darstellt, nicht die Bogenlänge $s$. D.h. es handelt sich hier um die Angabe der geraden Strecken zwischen den Punkten. In der obigen Grafik in blau gekennzeichnet. Die Bogenlänge (also die tatsächliche Länge der Bahnkurve) zu bestimmen ist um ein Vielfaches komplizierter und kann bestimmt werden durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $s (t) = \int \sqrt{(\frac{dx(t)}{dt})^2 + (\frac{dy(t)}{dt})^2}$.

Für die obige Bahnkurve zwischen den Punkten A (t=1) und B (t=2) wäre die Bogenlänge dann zu berechnen durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $s(t) = \int_{t=1}^{2} \sqrt{(4t)^2 + 5^2}$.

Um daraus dann die Bahngeschwindigkeit $v$ zu bestimmen, müsste diese Gleichung nach der Integration nach $t$ abgeleitet werden. Die Integration ist aber sehr kompliziert und wird deswegen nicht weiter behandelt.

3. Bestimmung der mittleren Bahngeschwindigkeit

Die mittlere Bahngeschwindigkeit berechnet sich durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$.

Die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen Punkt A (t=1) und Punkt C (t=3) beträgt:

$\triangle t = 3 - 1 = 2$

$\triangle s = 12,37 + 20,22 = 32,59$

Für die Strecke zwischen beiden Punkten wird die Strecke von $t =1$ bis $t=2$ und die Strecke von $t =2$ bis $t=3$ miteinander addiert.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v_{m}^{1 \to 3} = \frac{32,59}{2} = 16,3$ Länge/Zeit.


Es ist natürlich ebenfalls möglich, die Strecke zwischen $t=1$ und $t=3$ direkt zu bestimmen. Hierzu muss wieder die Änderung des Ortsvektors betrachtet werden zwischen $t=1$ und $t=3$:

$\triangle r = r(t = 3) - r(t = 1) =  (36, 9, 0) -  (4, 3, 0) = (32,6,0)$


Zur Bestimmung der Strecke zwischen den beiden Punkten wird dann wieder die Länge des Ortsvektors bestimmt:

$\triangle s = \sqrt{32^2 + 6^2 + 0^2} = 32,56$

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$v_{m}^{1 \to 3} = \frac{32,56}{2} = 16,3$ Länge/Zeit.

Der Unterschied zwischen $\triangle s$ bei den beiden Varianten resultiert aus Rundungsfehlern.