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Physik - Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes

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Physik

Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes

In diesem Abschnitt wird die allgemeine Bewegung eines Körpers betrachtet. Bei der allgemeinen Bewegung eines Massenpunktes handelt es sich um die Bewegung im Raum. Hierzu werden die $x$,$y$,$z$-Koordinaten betrachtet. Der Körper bzw. der Massenpunkt bewegt sich also in alle drei Richtungen. 

Beispiel

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Für die Bewegung eines Flugzeugs ist die Angabe aller drei Koordinaten wichtig. Dabei ist $z$ die Höhe in welcher sich das Flugzeug befindet, $x$ und $y$ geben die Entfernung vom Ursprungsort an.

Für die räumliche Darstellung ist es sinnvoll die Vektordarstellung zu wählen. Im Weiteren wird der Körper auf seinen Schwerpunkt reduziert und als Punkt bzw. Massenpunkt bezeichnet.

Die Lage eines Massenpunktes $P$ im Raum wird durch seinen Ortsvektor $\vec{r}$ festgelegt.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung des Koordinatensystems auf den Punkt $P$.
Kinematik eines Massenpunktes

Bewegt sich der Massenpunkt $P$, so ändert sich die Lage von $P$ mit der Zeit $t$. Das bedeutet, dass der Ortsvektor abhängig von der Zeit $t$ ist und damit $\vec{r}(t)$ die Bahnkurve des Massenpunktes $P$ darstellt. Auf dieser Bahnkurve bewegt sich der Massenpunkt $P$. Zu jedem Zeitpunkt $t$ kann dann die Lage des Massenpunktes bestimmt werden.

Kinematik eines Massenpunktes

In der obigen Grafik ist der Ortsvektor gegeben für den Punkt $P$ zu einer bestimmten Zeit $t$. Nachdem sich der Punkt bewegt hat (die Bahnkurve gibt die Bewegung des Punktes an), befindet sich dieser bei $P'$. Die Zeitdifferenz für die Bewegung von $P$ zu $P'$ beträgt $\triangle t$. Der neue Ortsvektor ist demnach $r(t + \triangle t)$.

Die Änderung des Ortsvektors $\triangle r$ kann angegeben werden durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{\triangle r} = \vec{r}(t + \triangle t) - \vec{r}(t)$
Kinematik eines Massenpunktes

Die Spitze des Orstvektors zeigt dabei auf den Punkt $P'$ und der Fuß liegt im Punkt $P$. 

Anwendungsbeispiel: Änderung des Ortsvektors

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Zum Zeitpunkt $t = 2$ liegt der Punkt bei $r(t = 2) = (1,0,1)$. Zum Zeitpunkt $t = 3$ liegt der Punkt bei $r(t = 3) = (2,0,3)$. Gebe die Änderung des Ortsvektors an! 

Die Änderung des Ortsvektors ergibt sich durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle r = r(t + \triangle t) - r(t)$.

In diesem Beispiel:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle r = r(2 + 1) - r(2)$.

$\triangle r = (2,0,3) - (1,0,1) = (1,0,2)$.
Kinematik des Massenpunktes

In der obigen Grafik sind die beiden Ortsvektoren eingezeichnet, welche auf die beiden Punkte zeigen. Jeder Punkt besitzt einen eigenen Ortsvektor. In dem obigen Beispiel zum Zeitpunkt $t = 2$ liegt der Punkt bei (1,0,1), zum Zeitpunkt $t = 3$ liegt der Punkt dann bei (2,0,3). Die Änderung des Ortsvektors ergibt sich zu (siehe oben):

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle r = (2,0,3) - (1,0,1) = (1,0,2)$.
Änderung des Ortsvektors

Der resultierende Ortsvektor $\triangle r$ beginnt im Ursprung und zeigt auf den Punkt $(1,0,2)$. Dieser wird dann in die beiden Punkten verschoben, ohne die Richtung zu verändern. 

In den folgenden Abschnitten werden die Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung eingeführt und aufgezeigt, wie diese bei der allgemeinen Bewegung eines Massenpunktes berechnet werden können.