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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Beschleunigung

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Beschleunigung

Beispiel

Es soll eine Beschleunigung von $a = -5 \frac{1}{s} \cdot v$ gegeben sein. Die Anfangsbedingungen seien $v(t = 0) = v_0$ und $x(t = 0) = x_0$.

Bestimmen Sie die den Verlauf von Geschwindigkeit und Ort!

Zunächst wird wieder der folgende Zusammenhang dargestellt:

Methode

$a(v) = \frac{dv}{dt}$.

Auflösen nach $dt$, damit $a(v)$ und $dv$ auf einer Seite sind:

Methode

$dt = \frac{dv}{a(v)}$

Anschließend für wir die Integration durch:

Methode

$\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

$t - t_0 =  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

$t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

Das ergibt genau der im vorherigen Text angegebenen Funktion.

Merke

Man kann also statt der Herleitung der Formel direkt auf diese zugreifen, wenn die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben ist.

Nun Einsetzen von $a(v) = -5v$:

Methode

$t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{-5v} \; dv$

$t = t_0 + [-\frac{1}{5} ln(v)]_{v_0}^v$

$t = t_0 - \frac{1}{5} (ln(v) - ln(v_0))$

$t = t_0 - \frac{1}{5} \ln (\frac{v}{v_0})$

Auflösen nach $v$:

Methode

$\ln (\frac{v}{v_0}) = -5(t - t_0)$    /Umkehrfunktion $e$ anwenden

$\frac{v}{v_0} = e^{(-5t + 5t_0)}$

$v = v_0 \cdot e^{(-5t + 5t_0)}$

Es wurde nun der Verlauf der Geschwindigkeit $v$ in Abhängigkeit von $t$ bestimmt. Die Messung beginnt bei $t_0 = 0$:

Methode

$v = v_0 \cdot e^{-5t}$

Es wird nun der folgende Zusammenhang angewandt:

Methode

$v = \frac{dx}{dt}$

$dx = v \; dt$

Es wird dann die Integration durchgeführt:

Methode

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$

$x - x_0 =  \int_{t_0}^t v \; dt$


$x = x_0 +  \int_{t_0}^t v \; dt$

Einsetzen von $v = v_0 \cdot e^{(-5t + 5t_0)}$:

Methode

$x = x_0 +  \int_{t_0}^t v_0 \cdot e^{-5t} \; dt$

Die Integration der $e$-Funktion erfolgt in diesem Fall durch Substitution, da im Exponent neben dem $t$ auch noch eine konstante vorhanden ist. 

Der Exponent wird gesetzt zu:

Methode

$z = -5t$

Ableitung von $z$ nach $t$:

Methode

$\frac{dz}{dt} = -5$

Auflösen nach $dt$:

Methode

$dt = \frac{dz}{-5}$.

Es wird nun oben $z = -5t$ und $dt = \frac{dz}{-5}$ eingesetzt:

Methode

$x = x_0 +  \int v_0 \cdot e^z \cdot \frac{dz}{-5}$

Es wird nun zunächst nach $z$ integriert:

Methode

$x = x_0 +  [v_0 \cdot e^z \cdot \frac{1}{-5}]$

Es wird nun wieder $z = -5t$ eingesetzt:

Methode

$x = x_0 + [v_0 \cdot e^{-5t} \cdot \frac{1}{-5}]_{t_0}^t$

Mit $t_0 = 0$:

Methode

$x = x_0 + [v_0 \cdot e^{-5t} \cdot \frac{1}{-5}]_{0}^t$

$x = x_0 + [v_0 \cdot e^{-5t} \cdot \frac{1}{-5} - v_0 \cdot e^{-5 \cdot 0} \cdot \frac{1}{-5}]$

$x = x_0 + \frac{1}{-5} v_0 e^{-5t} - \frac{1}{-5} \cdot v_0 \cdot 1$

$x = x_0 + \frac{1}{5} v_0 (1 - e^{-5t})$