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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Beschleunigung

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Beschleunigung

Beispiel

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Es soll eine Beschleunigung von $a = -5 \frac{1}{s} \cdot v$ gegeben sein. Die Anfangsbedingungen seien $v(t = 0) = v_0$ und $x(t = 0) = x_0$.

Bestimmen Sie die den Verlauf von Geschwindigkeit und Ort!

Zunächst wird wieder der folgende Zusammenhang dargestellt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a(v) = \frac{dv}{dt}$.

Auflösen nach $dt$, damit $a(v)$ und $dv$ auf einer Seite sind:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $dt = \frac{dv}{a(v)}$

Anschließend für wir die Integration durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

$t - t_0 =  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

$t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$

Das ergibt genau der im vorherigen Text angegebenen Funktion.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Man kann also statt der Herleitung der Formel direkt auf diese zugreifen, wenn die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben ist.

Nun Einsetzen von $a(v) = -5v$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{-5v} \; dv$

$t = t_0 + [-\frac{1}{5} ln(v)]_{v_0}^v$

$t = t_0 - \frac{1}{5} (ln(v) - ln(v_0))$

$t = t_0 - \frac{1}{5} \ln (\frac{v}{v_0})$

Auflösen nach $v$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\ln (\frac{v}{v_0}) = -5(t - t_0)$    /Umkehrfunktion $e$ anwenden

$\frac{v}{v_0} = e^{(-5t + 5t_0)}$

$v = v_0 \cdot e^{(-5t + 5t_0)}$

Es wurde nun der Verlauf der Geschwindigkeit $v$ in Abhängigkeit von $t$ bestimmt. Die Messung beginnt bei $t_0 = 0$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = v_0 \cdot e^{-5t}$

Es wird nun der folgende Zusammenhang angewandt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = \frac{dx}{dt}$

$dx = v \; dt$

Es wird dann die Integration durchgeführt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$

$x - x_0 =  \int_{t_0}^t v \; dt$


$x = x_0 +  \int_{t_0}^t v \; dt$

Einsetzen von $v = v_0 \cdot e^{(-5t + 5t_0)}$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x = x_0 +  \int_{t_0}^t v_0 \cdot e^{-5t} \; dt$

Die Integration der $e$-Funktion erfolgt in diesem Fall durch Substitution, da im Exponent neben dem $t$ auch noch eine konstante vorhanden ist. 

Der Exponent wird gesetzt zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $z = -5t$

Ableitung von $z$ nach $t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\frac{dz}{dt} = -5$

Auflösen nach $dt$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $dt = \frac{dz}{-5}$.

Es wird nun oben $z = -5t$ und $dt = \frac{dz}{-5}$ eingesetzt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x = x_0 +  \int v_0 \cdot e^z \cdot \frac{dz}{-5}$

Es wird nun zunächst nach $z$ integriert:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x = x_0 +  [v_0 \cdot e^z \cdot \frac{1}{-5}]$

Es wird nun wieder $z = -5t$ eingesetzt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x = x_0 + [v_0 \cdot e^{-5t} \cdot \frac{1}{-5}]_{t_0}^t$

Mit $t_0 = 0$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x = x_0 + [v_0 \cdot e^{-5t} \cdot \frac{1}{-5}]_{0}^t$

$x = x_0 + [v_0 \cdot e^{-5t} \cdot \frac{1}{-5} - v_0 \cdot e^{-5 \cdot 0} \cdot \frac{1}{-5}]$

$x = x_0 + \frac{1}{-5} v_0 e^{-5t} - \frac{1}{-5} \cdot v_0 \cdot 1$

$x = x_0 + \frac{1}{5} v_0 (1 - e^{-5t})$