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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Kiste in Ruhe

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Kiste in Ruhe

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Geschwindigkeit einer Kiste, welche aus der Ruhelage beschleunigt wird, bestimmt. Es wird zunächst anhand des 2. Newtonschen Gesetzes gezeigt, wie sich die Geschwindigkeit bestimmt und danach anhand des d'Alembertschen Prinzips. 

Anwendungsbeispiel: Kiste in Ruhe 

Kiste in Ruhe (Beispiel) Kinetik eines Massenpunktes

Beispiel

Gegeben sei die obige Kiste, welche sich zum Zeitpunkt $t = t_0 = 0$ auf einer rauen horizontalen Ebene in Ruhe befindet. Zum Zeitpunkt $t = t_1$ wird die Kiste mittels einer Zugkraft $F$ in Bewegung gesetzt. Wie groß ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_1$?

$F = 500 N$, $m = 40 kg$, $\alpha = 35°$, $\mu = 0,3$, $t_1 = 4s$, $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$

Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, wird nochmals die Bestimmung der Reibung (aus der Statik bekannt) aufgezeigt:

Methode

$R = \mu \cdot N$

mit

$\mu$ = Gleitreibungskoeffizient

$N$ = Normalkraft

Das Freikörperbild der Kiste sieht dann wie folgt aus:

Kiste in Ruhe (Freikörperbild)

Die Gewichtskraft $G = mg$ führt dazu, dass die Kiste auf die horizontale Ebene gedrückt wird. Diese horizontale Ebene $N$ stellt eine Zwangskraft dar, weil sie verhindert, dass die Kiste in Richtung des Erdmittelpunktes beschleunigt wird. Die Reibung $R$ ist der Bewegung (in positive $x$-Richtung) entgegengesetzt und führt dazu, dass die Bewegung abgebremst wird. Diese Reibung resultiert aufgrund der rauen Oberfläche. Wäre der Boden reibungsfrei (z.B. ebenes Eis), würde keine Reibung entstehen und $R$ würde wegfallen. Die Geschwindigkeit ist mit Reibung also geringer als ohne Reibung. Die Bewegung in positive $x$-Richtung resultiert aufgrund der Zugkraft $F$. Da sich die Kiste zuvor in Ruhe befand (keine Zugkraft) und sich die Bewegung der Kiste nun ändert, handelt es sich hierbei um eine Beschleunigung. Die Beschleunigung $a$ erfolgt in positive $x$-Richtung, weil die Kiste nicht vom Boden abheben soll. Die Unbekannten sind hier die Normalkraft $N$ und die Beschleunigung $a$.

Berechnung der Geschwindigkeit nach dem 2. Newtonschen Gesetz

Nach dem 2. Newtonschen Gesetz gilt:

Methode

$F = F^e + F^z = ma$

Das bedeutet also, dass die Summe aller Kräfte die auf die betrachtete Kiste einwirken gleich $ma$ sind. Die eingeprägten Kräfte sind hier die Gewichtskraft $G$ und die Zugkraft $F$. Die Normalkraft $N$ ist eine Zwangskraft.

Man kann das Ganze nun in Komponentendarstellung schreiben:

Methode

$ F_x = ma_x$

$ F_y = ma_y$

Resultierende Horizontalkraft $F_x$:

$\rightarrow : -R + F \cos (35°) = ma_x$

$-\mu \cdot N + F \cos(35°) = ma_x$

Resultierende Vertikalkraft $F_y$:

$\uparrow : -G + N + F \sin(35°) = ma_y$


Da die Beschleunigung nur in positive $x$-Richtung auftritt, ist die Beschleunigung $a_y = 0$:

(1) $-\mu \cdot N + F \cos(35) = ma_x$

(2) $-G + N + F \sin(35°) = 0$

Auflösen der 2. Gleichung nach $N$:

(2) $N = G - F \sin(35°) = 40 kg \cdot 9,81 m/s^2 - 500 N \sin(35°) = 105,61 N$

Einsetzen in die 1. Gleichung:

(1) $-0,3 \cdot 105,61 N + 500 N \cos(35) = 40 kg \cdot a_x$

Auflösen nach $a_x$:

$a_x = 9,45 m/s^2$

Aus der Beschleunigung kann nun die die Geschwindigkeit mit $\int dv = \int a_x$ bestimmt werden, denn $a = \frac{dv}{dt}$:

$\int_{v_0}^v dv = \int_0^t 9,45 m/s^2$

$v - v_0 = 9,45 m/s^2 \cdot t - 9,45 m/s^2 \cdot t_0$


Die Kiste befindet sich zum Zeitpunkt $t = t_0 = 0$ in Ruhe, damit ist $v_0 = 0$:

$v = 9,45 m/s^2 \cdot t$.

Die Geschwindigkeit für $t_1 = 4s$ beträgt:

Methode

$v = 9,45 m/s^2 \cdot 4s = 37,8 m/s$

Berechnung der Geschwindigkeit nach dem d'Alembertschen Prinzip

Nach dem d'Alembertschen Prinzip gilt:

$F - ma = 0$

Dabei steht $F$ für die Summe aller auf den betrachteten Körper einwirkenden Kräfte (Zwangskräfte und eingeprägte Kräfte):

Methode

$\sum F - ma = F^e + F^z - ma = 0$

Das bedeutet also, dass die Summe aller Kräfte die auf die betrachtete Kiste abzüglich der Trägheitskraft $ma$ gleich Null sind. Die eingeprägten Kräfte sind hier die Gewichtskraft $G$ und die Zugkraft $F$. Die Normalkraft $N$ ist eine Zwangskraft.

Man kann das Ganze nun in Komponentendarstellung schreiben:

Methode

$F_x - ma_x = 0$

$F_y - ma_y = 0$

Resultierende Horizontalkraft $ F_x$:

$\rightarrow : -R + F \cos (35°) - ma_x = 0$

$-\mu \cdot N + F \cos(35°) - ma_x = 0$

Resultierende Vertikalkraft $\sum F_y$:

$\uparrow : -G + N + F \sin(35°) - ma_y = 0$


Da die Beschleunigung nur in positive $x$-Richtung auftritt, ist die Beschleunigung $a_y = 0$:

(1) $-\mu \cdot N + F \cos(35) - ma_x = 0$

(2) $-G + N + F \sin(35°) = 0$

Auflösen der 2. Gleichung nach $N$:

(2) $N = G - F \sin(35°) = 40 kg \cdot 9,81 m/s^2 - 500 N \sin(35°) = 105,61 N$

Einsetzen in die 1. Gleichung:

(1) $-0,3 \cdot 105,61 N + 500 N \cos(35) = 40 kg \cdot a_x$

Auflösen nach $a_x$:

$a_x = 9,45 m/s^2$

Aus der Beschleunigung kann nun die die Geschwindigkeit mit $\int dv = \int a_x$ bestimmt werden, denn $a = \frac{dv}{dt}$:

$\int_{v_0}^v dv = \int_0^t 9,45 m/s^2$

$v - v_0 = 9,45 m/s^2 \cdot t - 9,45 m/s^2 \cdot t_0$


Die Kiste befindet sich zum Zeitpunkt $t = t_0 = 0$ in Ruhe, damit ist $v_0 = 0$:

$v = 9,45 m/s^2 \cdot t$.

Die Geschwindigkeit für $t_1 = 4s$ beträgt:

Methode

$v = 9,45 m/s^2 \cdot 4s = 37,8 m/s$

Es resultiert das selbe Ergebnis.