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Technische Mechanik 3: Dynamik - Inertialsystem

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Inertialsystem

Die nach dem 2. Newtonschen Gesetz auftretende Beschleunigung durch Einwirkung von Kräften und die daraus resultierende Bewegungsänderung kann mittels eines Inertialsystems gemessen werden. Ein Inertialsystem ist zunächst ein Koordinatensystem. Allerdings gilt innerhalb eines Inertialsystem das 1. Newtonschen Gesetz:

Ein Körper verbleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen gradlinigen Bewegung (kein Auftreten von Beschleunigung, konstante Geschwindigkeit), solange dieser nicht durch die Einwirkung von Kräften zur Änderung seines Zustandes gezwungen wird.

Das bedeutet also, dass sich innerhalb eines Inertialsystems nur Körper befinden, die kräftefrei sind. Diese Körper befinden sich also entweder in Ruhe oder bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit (unbeschleunigte Bewegung). Denn nach dem 1. Newtonschen Gesetz wirken nur auf beschleunigte Körper Kräfte ein. Ein Inertialsystem ist ortsfest, befindet sich also in Ruhe. Jedes andere Koordinatensystem, das sich gegen dieses ruhende Inertialsystem mit konstanter Geschwindigkeit (geradlinige, gleichförmige Bewegung) bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem. Hingegen sind gegen diese Inertialsysteme beschleunigte und rotierende Systeme selbst keine Inertialsysteme.

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Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt , d.h. innerhalb dieser Intertialsystemen gelten dieselben physikalischen Gesetze.

Beispiel: Inertialsystem

Inertialsystem Beispiel

In der obigen Grafik wird zunächst das $x_1$,$y_1$-Koordinatensystem betrachtet. Das Bezugsobjekt sei die Kugel, welche auf einem fahrenden Wagen (konstante Geschwindigkeit $v$) ruht. Für den Beobachter im $x_1$,$y_1$-Koordinatensystem bewegt sich die Kugel mit der konstanten Geschwindigkeit des Wagens an ihm vorbei. Die Forderung für ein Inertialsystem ist, dass sich nur ruhende oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegende Körper in diesem befinden dürfen. Da sich die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit bewegt ist das $x_1$,$y_1$-Koordinatensystem also auch gleichzeitig ein Inertialsystem. Außerdem ist jedes Koordinatensystem, welches sich zu diesem ruhenden Inertialsystem mit konstanter Geschwindigkeit bewegt ebenfalls ein Inertialsystem. Das $x_2$,$y_2$-Koordinatensystem stellt demnach ebenfalls ein Inertialsystem dar, weil dieses fest mit dem Wagen verbunden ist und sich demnach auch mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ bewegt. Aus Sicht des Beobachters im $x_2$,$y_2$-Inertialsytem ruht die Kugel ($v = 0$) vor ihm, sie bewegt sich also nicht. In beiden Inertialsystemen ist schonmal die Forderung nach einem kräftefreien Körper gegeben. Allerdings kommen beide Beobachter auf unterschiedliche Ergebnisse. Für den einen bewegt sich die Kugel, für den anderen ruht diese:

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Es ist nicht möglich die Geschwindigkeit und den Ort eines betrachteten Körpers von zwei unterschiedlichen Intertialsystem aus zu beschreiben.


Die einzige Mögichkeit die es gibt, wenn man zwei Inertialsysteme betrachtet ist darauf zu schließen, welche relative Geschwindigkeit das eine Inertialsystem in Bezug auf ein anderes Inertialsystem besitzt.

Beispiel

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Beispiel: 1 ruhendes Inertialsystem $I_1$ ($v_1 = 0$), 1 bewegtes Inertialsystem $I_2$ ($v_2 = 5 km/h$), 1 bewegtes Inertialsystem $I_3$ ($v_3= 8 km/h$).  

Aus Sicht des ruhenden Inertialsystems $I_1$ bewegen sich die beiden Inertialsysteme $I_2$ und $I_3$ mit den relativen Geschwindigkeiten $v_2 = 5km/h$ und $v_3 = 8 km/h$ von diesem in positive $x$-Richtung weg.

Aus Sicht des bewegten Inertialsystems $I_2$, welches sich selbst als ruhendes System betrachtet, bewegt sich das ruhende Inertialsystem $I_1$ mit der relativen Geschwindigkeit $v_1 = -5 km/h$ in negative $x$-Richtung weg. Das bewegte Inertialsystem $I_3$ bewegt sich mit der relativen Geschwindigkeit $v_3 = 8km/h - 5km/h = 3km/h$ von diesem in positive $x$-Richtung weg.

Aus Sicht des bewegten Inertialsystems $I_3$, welches sich selbst als ruhendes System betrachtet, entfernt sich $I_1$ mit der relativen Geschwindigkeit $v_1 = -8 km/h$ in negative $x$-Richtung. Das Inertialsystem $I_2$ entfernt sich mit $v_2 = -3km/h$ in negativer $x$-Richtung von $I_3$.

Ebenso wie die Geschwindigkeit $v$ sind die Koordinaten des Massenmittelpunktes $M$ der Kugel in den beiden Intertialsystemen aus betrachtet unterschiedlich. Man stelle sich nun vor der Wagen sei blickdicht. Der Beobachter im bewegten Inertialsystem kann somit nur sagen, dass die Kugel sich vor ihm befindet, aber in Bezug auf die Außenwelt keine Aussage über den Ort treffen. Die Bezugsperson die sich im ruhenden Inertialsystem befindet hingegen, trifft eine andere Aussage zu den Koordinaten der Kugel.

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Alle Koordinatensysteme, welche sich bezüglich eines ruhenden Inertialsystems mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, sind auch Inertialsysteme. Das Trägheitsgesetz gilt dann in allen diesen Inertialsystemen. Das Trägheitsgesetz besagt, dass sich Körper, auf die keine resultierende Kraft wirkt, in Ruhe befinden oder mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.

Wieso verwendet man Inertialsysteme?

Inertialsysteme werden aufgestellt um Bewegungsänderungen wahrnehmen zu können. Das bedeutet also, dass man zunächst das Inertialsystem für ruhende Körper oder Körper mit konstanter Geschwindigkeit (unbeschleunigte Bewegung) aufstellt. Wird nun der ruhende oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegende Körper beschleunigt, so kann man sofort erkennen, dass eine Bewegungsänderung stattfindet und damit die Kraft nach dem 2. Newtonschen Gesetz ($F=ma$) auf den Körper wirkt.