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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Vertikaler Wurf

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Höhe eines Balls bestimmt, welcher aus der Ruhelage vertikal nach oben beschleunigt wird. Es wird zunächst anhand des 2. Newtonschen Gesetzes gezeigt, wie sich die Höhe bestimmt und danach anhand des d'Alembertschen Prinzips.

Beispiel: Vertikaler Wurf

Beispiel

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Ein Ball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 20 m/s$ vertikal nach oben geworfen. Welche Höhe erreicht der Ball, wenn

(a) der Luftwiderstand vernachlässigt wird.

(b) der Luftwiderstand gegeben ist mit $F_{LW} = cv^2$.

$m = 5 kg$, $c = 0,02 kg/m$


Der Freischnitt ergibt sich wie folgt:

(a) ohne Luftwiderstand

Die Bewegungsgleichung nach dem Newtonschen Grundgesetz ergibt sich dann wie folgt:

$F = ma$


Wir betrachten nun zunächst die Summe aller Kräfte, also die linke Seite der obigen Gleichung. Die an dem Ball angreifende Kraft ist die Gewichtskraft (eingeprägte Kraft ) $G$:

$\uparrow : -G = ma$


Die Gewichtskraft wird wie folgt bestimmt:

Methode

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$G = mg$


Hierbei ist $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ die Erdbeschleunigung. Wir setzen also für die linke Seite für $G = mg$ ein:

Methode

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$-mg = ma$


Danach lösen wir die obige Gleichung nach der Beschleunigung $a$ auf:

$a = -g = -9,81 m/s^2$.

In der Aufgabe soll die Höhe $z$ bestimmt werden. Es handelt sich um eine geradlinige Bewegung. Um die Höhe $z = h$ zu bestimmen, kann man nun die Beschleunigung in Abhängigkeit dieser Höhe annehmen: $a(z)$.

Dies ist gleichzusetzen mit der Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort, wenn man sich die $z$-Achse als Horizontale vorstellt. Demnach kann die Gleichung aus dem Abschnitt Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort verwendet werden:

Methode

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$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $


Statt $x$ wird nun die Koordinate $z$ eingesetzt:

Methode

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$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  \int_{z_0}^z a(z) \; dz $


Es wird nun für $a(z) = g = -9,81 m/s^2$ und $v_0 = 20 m/s$ eingesetzt:

$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} (20 m/s)^2 +  \int_{z_0}^z -9,81 m/s^2 \; dz $

Integral auflösen:

$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} (20 m/s)^2 - [9,81 m/s^2 \cdot z - 9,81 m/s^2 \cdot z_0]$

$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} (20 m/s)^2 - 9,81 m/s^2 \cdot z + 9,81 m/s^2 \cdot z_0$


Zu Beginn ist $z_0 = 0$:

$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} (20 m/s)^2 - 9,81 m/s^2 \cdot z$

Auflösen nach $v$:

$v^2 = (20 m/s)^2 - 2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot z$

$v = \sqrt{(20 m/s)^2 - 2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot z}$


Hat der Ball die größtmögliche Höhe $z = h$ erreicht, so ist die Geschwindigkeit $v = 0$, da der Ball an der höchsten Stelle kurz "steht" und dann wieder herabfällt. Wir setzen also $v = 0$ zur Berechnung von $h_{max}$:

$0 = \sqrt{(20 m/s)^2 - 2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot h_{max}}$

Aufgelöst nach $h_{max}$ ergibt sich:

$0 = \sqrt{(20 m/s)^2 - 2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot h_{max}}$    / $^2$

$0 = (20 m/s)^2 - 2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot h_{max}$ 

$2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot h_{max}$  = (20 m/s)^2 $ 

Methode

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$h_{max} = \frac{(20 m/s)^2}{2 \cdot 9,81 m/s^2} = 20,39 m$

Der Ball erreicht eine maximale Höhe von 20,39 m.


Die Bewegungsgleichung nach dem d'Alembertschen Prinzip ergibt sich dann wie folgt:

$F - ma = 0$


Die an dem Ball angreifende Kraft ist die Gewichtskraft (eingeprägte Kraft ) $G$:

$\uparrow : -G - ma = 0$


Wobei die Gewichtskraft wie folgt berechnet wird: $G = mg$. Einsetzen in die obige Gleichung für $G$ ergibt:

$-mg - ma = 0$.

Aufgelöst nach $a$ ergibt sich:

$a = -g = -9,81 m/s^2$.

Der Rest ergibt sich wie oben und es folgt für die Höhe:

$h = 20,39 m$

Alternative: Bestimmung in Abhängigkeit von der Zeit

Alternativ kann man auch die Formeln aus dem Abschnitt Gleichförmig beschleunigte Bewegung verwenden. Da $a = -9,81 \frac{m}{s^2} = const$ handelt es sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. Da $a = \frac{dv}{dt}$ kann man mittels Integration die Geschwindigkeit bestimmen und erhält:

$v = v_0 + a (t - t_0)$

Einsetzen von $a = -9,81 \frac{m}{s^2}$:

$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} (t - t_0)$

Zu Beginn ist $t_0 = 0$:

Methode

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$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} t$

Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch $v = \frac{dz}{dt}$. Durch Integration kann man nun den Weg bzw. die Höhe $z$ bestimmen:

$z - z_0 = \int_{t_0}^t v \; dt$

Einsetzen von $v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} t$:

$z - z_0 = \int_{t_0}^t   (v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} t) dt$

Integrieren (mit $t_0 = 0$):

$z - z_0 = v_0\cdot t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} t^2$

Zu Beginn ist $z_0 = 0$:

Methode

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$z = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} t^2$


Es soll nun die Wurfhöhe bestimmt werden. Diese kann man aus der maximalen Höhe $z_{max} = h_{max}$ bestimmen, bei welchem die Geschwindigkeit $v = 0$ ist (am höchsten Punkt "steht" der Ball kurz in der Luft). Wir haben oben aber eine Gleichung in Abhängigkeit von $t$ gegeben. $t = t_s$ ist in diesem Fall die Steigzeit. Wenn die Steigzeit $t_s$ bekannt ist, dann kann man berechnen wie hoch der Ball fliegt.

Methode

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$h_{max} = v_0 \cdot t_s - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} t_s^2$

 
Die Steigzeit $t_s$ kann man bestimmen aus:

Methode

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$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} t$     


Umstellen nach $t = t_s$ und $v = 0:

Methode

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$t_s = \frac{v_0 }{9,81 \frac{m}{s^2}}$         Steigzeit


Mit $v_0 = 20 \frac{m}{s}$ ergibt sich:

$t_s = \frac{20 \frac{m}{s}}{9,81 \frac{m}{s^2}} = 2,04 s$

Einsetzen von $t_s$ in $h_{max}$:

$h_{max} = 20 \frac{m}{s} \cdot 2,04s - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} (2,04 s)^2$

Methode

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$h = 20,39 m$

(b) mit Luftwiderstand

Die Bewegungsgleichung nach dem Newtonschen Grundgesetz ergibt sich dann wie folgt:

$F = ma$

Es ist nicht nur die Gewichtskraft des Balls auf zu berücksichtigen , sondern ebenfalls der Luftwiderstand, welcher die Bewegung abbremst. Man kann also schon jetzt sagen, dass der Ball mit Luftwiderstand nicht so hoch fliegt wird, wie ohne. Es ergibt sich:

$\uparrow : -G - F_{WD} = ma$

Einsetzen von $G = mg$ und $F_{WD} = cv^2$ ergibt:

$-mg - cv^2 = ma$

Auflösen nach $a$ ergibt:

$a = -g -\frac{cv^2}{m}$

Die Beschleunigung ist nun nicht mehr konstant, sondern in Abhängigkeit der Geschwindigkeit gegeben:

$a = \frac{dv}{dt}$

Die Geschwindigkeit soll aber nicht abhängig von der Zeit $t$ (Abschnitt Beschleunigung in Abhängigkeit der Geschwindigkeit) sondern vom Ort bzw. der Höhenkoordinate $z$ bestimmt werden. Es kann aus dem Abschnitt Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort folgender Zusammenhang entnommen werden (mit $x = z$):

Die obige Gleichung wird um $dz$ erweitert:

$a = \frac{dv}{dt} \frac{dz}{dz}$

Das kann man auch schreiben zu:

$a = \frac{dv}{dz} \frac{dz}{dt}$

Dabei ist $\frac{dz}{dt} = v$:

Methode

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$a = \frac{dv}{dz} v$


Umstellen ergibt:

Methode

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$v \; dv = a \; dz$

Es kann nun für $a =  -g -\frac{cv^2}{m}$ eingesetzt werden:

$v \; dv =  (-g -\frac{cv^2}{m}) \; dz$

Umstellen so das $v$ auf einer Seite steht:

$\frac{v}{ -g -\frac{cv^2}{m}} dv = dz$

Integrieren:

$\int_{v_0}^v \frac{v}{ -g -\frac{cv^2}{m}} dv = \int_{z_0}^z dz$

$-\int_{v_0}^v v \cdot \frac{1}{ g + \frac{cv^2}{m}} dv = \int_{z_0}^z dz$

Substitution:

$\alpha = g  + \frac{cv^2}{m}$,       $\frac{d\alpha}{dv} = 2 \frac{c}{m}v$,         $dv = \frac{d\alpha}{2 \frac{c}{m}v}$

Einsetzen:

$-\int_{v_0}^v v \cdot \frac{1}{ \alpha} \cdot  \frac{d\alpha}{2 \frac{c}{m}v} = \int_{z_0}^z dz$

Es ist noch $v$ vorhanden, welches ebenfalls Substituiert werden muss, indem 

$\frac{d\alpha}{dv} = 2 \frac{c}{m}v$ 

nach $v$ umgestellt wird und dann eingesetzt werden muss:

$v = \frac{d\alpha}{2 \cdot dv} \cdot \frac{m}{c}$

Einsetzen ergibt dann:

$-\int_{v_0}^v  \frac{d\alpha}{2 \cdot dv} \cdot \frac{m}{c} \cdot \frac{1}{\alpha} \cdot  \frac{d\alpha}{2 \frac{c}{m}\cdot  \frac{d\alpha}{2 \cdot dv} \cdot \frac{m}{c}} = \int_{z_0}^z dz$

$-\int_{v_0}^v  \frac{d\alpha}{2 \cdot dv} \cdot \frac{m}{c} \cdot \frac{1}{\alpha} \cdot  \frac{d\alpha \cdot m \cdot 2dv \cdot c}{2 \cdot c \cdot d\alpha \cdot m} = \int_{z_0}^z dz$

Da es sich hierbei um ein gesamtes Produkt handelt, kann gekürzt werden. Am Ende bleibt bestehen:

$-\int_{v_0}^v  \frac{d\alpha}{2} \cdot \frac{m}{c} \cdot \frac{1}{\alpha} = \int_{z_0}^z dz$

Konstanten vor das Intergral ziehen:

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{c} \int_{v_0}^v  \frac{1}{\alpha} d\alpha = \int_{z_0}^z dz$

Es kann nun die Integration durchgeführt werden:

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{c} [ln(\alpha)]_{v_0}^v = z - z_0$

Einsetzen von $\alpha = g  + \frac{cv^2}{m}$:

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{c} [ln(g  + \frac{cv^2}{m})]_{v_0}^v = z - z_0$

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{c} [ln(g  +\frac{c \cdot v^2}{m}) - ln(g + \frac{c \cdot v_0^2}{m}] = z - z_0$

Es können nun die Werte eingesetzt werden:

$m = 5 kg$, $c = 0,02 kg/m$ . Außerdem gilt wieder, dass bei $z = h$ der Ball die Geschwindigkeit $v = 0$ aufweist. Mit $v_0 = 20 m/s$ und $z_0 = 0$ ergibt sich dann:

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{5 kg}{0,02 \frac{kg}{m}} [ln(9,81 \frac{m}{s^2}) - ln(9,81 \frac{m}{s^2} + \frac{0,02 \frac{kg}{m} \cdot (20 \frac{m}{s})^2}{5 kg}] = h$

Methode

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$h = 18,89 m$

Wie bereits oben erwähnt ist die Höhe des Balls geringer als ohne Luftwiderstand. Dieser bremst den Ball in seiner Geschwindigkeit ab und damit erreichtb der Ball eine geringere Höhe als ohne Luftwiderstand.


Die Bewegungsgleichung nach dem d'Alembertschen Prinzip ergibt sich dann wie folgt:

$ F - ma = 0$

Wir berücksichtigen neben der Gewichtskraft auch den Luftwiderstand, welcher die Bewegung abbremst. Es ergibt sich:

$\uparrow : -G - F_{WD} - ma = 0$

Einsetzen von $G = mg$ und $F_{WD} = cv^2$ ergibt:

$-mg - cv^2 - ma = 0$

Auflösen nach $a$ ergibt:

$a = -g -\frac{cv^2}{m}$

Das weitere Vorgehen ist analog zur obigen Vorgehensweise. Es resultiert demnach die Höhe:

$h_{max} = 18,89 m$.