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Kinetik des Massenpunktsystems > Stoßvorgänge > Stoßvorgänge - Definitionen:

Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Es soll im folgenden die Vorgehensweise zur Lösung von Stoßvorgänge anhand eines geraden, zentrischen Stoßes zwischen zwei glatten Körper betrachtet werden. Das bedeutet, die Geschwindigkeitsrichtungen der beiden Körper liegen parallel zur Stoßnormalen der zwei aufeinander prallenden Körper (gerader Stoß). Außerdem geht die Stoßnormale durch die Schwerpunkte beider Körper (zentrischer Stoß) und es treten nur Stoßkräfte in Richtung der Stoßnormalen auf (glatter Stoß).

Es werden die zwei glatten Massenpunkte $1$ und $2$ in der nachfolgenden Grafik betrachtet. Die Geschwindigkeit $v_1$ des Massenpunktes $1$ sei größer als die Geschwindigkeit $v_2$ des Massenpunktes $2$. Das bedeutet, dass der Massenpunkt $1$ auf den Massenpunkt $2$ prallen wird. Es resultiert also ein Stoß:

Gerader, zentrischer Stoß zwischen zwei glatten Massen


Die beiden betrachteten Massen treffen zum Zeitpunkt $t = 0$ das erste Mal aufeinander. Die Kraft $\int F \; dt$ die aufgrund des Stoßes resultiert, steigt mit zunehmenden $t$ zunächst an und fällt dann wieder ab. Ihren maximimalen Wert errreicht sie bei $t = t^*$.

Gerader zentrischer Stoß Kraftverteilung

Die Kraft aufgrund des Stoßes von $t$ bis $t_s$ ergibt sich wie folgt:

Methode

$\int_t^{t_s} F \; dt = m \bar{v} - mv$

mit

$mv$  Impuls vor dem Stoß

$m\bar{v}$ Impuls nach dem Stoß

$\bar{v}$  Geschwindigkeit nach dem Stoß

$v$   Geschwindigkeit vor dem Stoß

Die Kraft über die gesamte Zeit ist die Differenz aus dem Impuls nach dem Stoß und dem Impuls vor dem Stoß. Die Einheit ist $Ns$ oder $\frac{kg \; m}{s}$.


Da der Verlauf der Kraft $\int_t^{t_s} F \; dt$ häufig nicht bekannt ist, werden zwei Phasen betrachtet. Die Kompressionsphase und die Restitutionsphase: 

Methode

$\int_t^{t_s} F \; dt = \tilde{F}_K + \tilde{F}_R$

Beide Phasen werden im Folgenden näher beschrieben.

Kompressionsphase

Die Kraft $\int F \; dt$, die während des Stoßes von den beiden Massen aufeinander ausgeübt wird, steigt zunächst mit der Zeit $t$ an und erreicht zum Zeitpunkt $t = t^*$ ihr Maximum.

Kompressionsphase und Restitutionsphase

Den Zeitraum kurz vor dem Stoß bei $t = 0$ bis zur maximalen Zusammendrückung bei $t^*$ bezeichnet man als Kompressionsphase. Die beiden Massen treffen also aufeinander und werden zusammengedrückt. Die Körper werden in dieser Phase also nicht mehr als vollkommen starr angenommen, sondern als lokal deformierbar. Zum Zeitpunkt $t^*$ der maximalen Zusammendrückung wird die Kraft $\int F \; dt $ maximal. Die Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase sei bezeichnet als $\tilde{F}_K$:

Gerader zentrischer Stoß Kompressionsphase

Die Stoßkraft $\tilde{F}_K $ entspricht dem Kraftverlauf von $t$ bis $t^*$:

$\tilde{F}_K = \int_t^{t^*} F \; dt$.

Diese Stoßkraft kann auch mittels Impuls ausgedrückt werden. Betrachtet man das Newtonsche Gesetz, so ergibt sich:

$F = ma$  

bzw. 

$F = m \frac{dv}{dt}$     / $\cdot dt$

$F \; dt = m \; dv$         / Integral von $t$ bis $t^*$ bilden

$\int_t^{t^*} F \; dt = \int_v^{v^*} m \; dv$      / Rechte Seite integrieren

$\int_t^{t^*} F \; dt = mv - mv^*$

Es gilt also für die Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase:

Methode

$\tilde{F}_K = mv - mv^*$


Betrachtet man nun die beiden Massenpunkte, so sieht man an der obigen Grafik deutlich, dass die beide Massenpunkte diese Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase aufeinander ausüben. Die Stoßkraft ist gleich groß, aber entgegegengesetzt. Es werden nun für beide Massenpunkte separat die Stoßkraft aufgestellt.

Die Stoßkraft $\tilde{F}_K$, die vom Massenpunkt $2$ auf den Massenpunkt $1$ innerhalb der Kompressionsphase wirkt, ist dann gegeben zu:

Methode

$-\tilde{F}_K = m_1v^* - m_1v_1$

mit

$v^*$ Geschwindigkeit am Ende der Kompressionsphase bei $t = t^*$

$v_1$  Geschwindigkeit vor dem Stoß

Das Minuszeichen vor der Kraft ergibt sich aus der Kraftrichtung in negativer $x$-Achse.

Merke

Bei $t = t^*$ ist die maximale Zusammendrückung gegeben. Zu diesem Zeitpunkt haften die Körper fest aneinander und bewegen sich mit derselben Geschwindigkeit, weshalb $v_1^* = v_2^* = v^*$.


Die Kraft die von dem Massenpunkt $1$ auf den Massenpunkt $2$ innerhalb der Kompressionsphase ausgeübt wird ergibt sich zu:

Methode

$\tilde{F}_K = m_2v^*- m_2v_2$

mit

$v^*$ Geschwindigkeit am Ende der Kompressionsphase bei $t = t^*$

$v_2$  Geschwindigkeit vor dem Stoß

Restitutionsphase

Die Resititutionsphase ist die Phase von der maximalen Zusammendrückung bei $t^*$ bis kurz nach dem Stoß bei $t_s$. Dabei ist $t_s$ die gesamte Stoßdauer. Innerhalb der Restitutionsphase gehen die Verformungen der beiden Körper ganz (elastisch), teilweise (teil-elastisch) oder nicht (unelastisch) zurück. Die Kraft $\int F \; dt$ nimmt am Ende der Restitutionsphase bei $t_s$ den Wert null an. Die Stoßkraft innerhalb der Restitutionsphase sei bezeichnet als $\tilde{F}_R$:

Gerader zentrischer Stoß Restitutionsphase

Auch hier kann wieder der Impuls angewandt werden (siehe oben). Der Unterschied ist nur das Zeitintegral. In dieser Phase muss von $t^*$ (maximale Zusammendrückung) bis $t_s$ (Ende des Stoßes) intergiert werden:

$\tilde{F}_R = \int_{t^*}^{t_s} F \; dt = \int_{v^*}^{\bar{v}} m \; dv$

Die Stoßkraft $\tilde{F}_R $ entspricht also dem Kraftverlauf von $t^*$ bis $t_s$. Es ergibt sich demnach die Stoßkraft innerhalb der Restitutionsphase zu:

Methode

$\tilde{F}_R = mv^* - m\bar{v}$

Dabei ist $v^*$ die Geschwindigkeit bei der maximalen Zusammendrückung zum Zeitpunkt $t^*$. Diese Geschwindigkeit ist für beide Massenpunkte gleich, da diese sich zusammen bewegen. Die Geschwindigkeit $\bar{v}$ stellt die Geschwindigkeit nach dem Stoß dar und ist für beide Massenpunkte separat zu betrachten.

Merke

Die beiden betrachteten Massen bewegen sich nach dem Stoß unabhängig voneinander mit den Geschwindigkeiten $\bar{v}_1$ und $\bar{v}_2$ weiter. 

Es werden nun für beide Massenpunkte separat die Stoßkraft aufgestellt.


Die Kraft $\tilde{F}_R$, die vom Massenpunkt $2$ auf den Massenpunkt $1$ innerhalb der Kompressionsphase wirkt, ist dann gegeben zu:

Methode

$-\tilde{F}_R = \int_{t^*}^{t_s} F \; dt = m_1 \bar{v}_1 - m_1v^*$

mit

$v^*$ Geschwindigkeit am Ende der Kompressionsphase bzw. Beginn der Restitutionsphase bei $t = t^*$

$\bar{v}_1$  Geschwindigkeit nach dem Stoß


Die Kraft die von dem Massenpunkt $1$ auf den Massenpunkt $2$ innerhalb der Kompressionsphase ausgeübt wird ergibt sich zu:

Methode

$\tilde{F}_R = \int_{t^*}^{t_s} F \; dt = m_2 \bar{v}_2 - m_2v^*$

mit

$v^*$ Geschwindigkeit am Ende der Kompressionsphase bzw. Beginn der Restitutionsphase bei $t = t^*$

$\bar{v}_2$  Geschwindigkeit nach dem Stoß

Elastische, unelastische und teil-elastische Verformung

Bei solchen Stoßvorgänge sind in den meisten Fällen die Anfangsgeschwindigkeiten gegeben. Es existieren also die fünf Unbekannten: $\tilde{F}_K$, $\tilde{F}_R$, $\bar{v}_1$, $\bar{v}_2$ sowie $v^*$. Zur Bestimmung von $\tilde{F}_K$ und $\tilde{F}_R$ müssen drei Fälle unterschieden werden:

  • Elastische Verformung
  • Unelastische Verformung
  • Teil-elastische Verformung

Die Definition der einzelnen Verformungen ist bereits im Abschnitt Stoßvorgänge des vorherigen Kapitels erfolgt. Dabei gilt:

Methode

$\tilde{F}_R = e \tilde{F}_K$ 

Elastische Verformung

Bei der elastischen Verformung bildet sich der Körper in der Restitutionsphase vollständig zurück. Das bedeutet, dass die Stoßkraft beim Aufprall gleich der Stoßkraft beim Abstoßen ist: $\tilde{F}_K = \tilde{F}_R$. Die beiden Körper bewegen sich dann unabhängig voneinander mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten $\bar{v}_1$ und $\bar{v}_2$ weiter. Demnach gilt für die elastische Verformung:

Methode

$e = 1$      Elastische Verformung

Elastischer Stoß
Unelastische Verfomung

Bei der unelastischen Verformung bildet sich der Körper nicht mehr zurück. Die gesamte Verformung innerhalb der Kompressionsphase bleibt vollständig erhalten. Aufgrund der fehlenden Stoßkraft beim Abprall $\tilde{f}_R = 0$, stoßen sich die beiden Körper nicht mehr voneinander ab. Das bedeutet, dass sich beide Körper zusammen mit derselben Geschwindigkeit bewegen $\bar{v}_1 = \bar{v}_2$ und zusammen verbleiben. 

Methode

$e = 0$    Unelastische Verformung

Unelastischer Stoß
Teil-elastische Verformung

Bei der teil-elastischen Verformung bildet sich der Körper innerhalb der Restitutionsphase teilweilse zurück, nimmt aber nicht mehr die ursprüngliche Form an. Das bedeutet, dass sich die Körper zwar noch voneinander abstoßen, die Stoßkraft beim Abstoß $\tilde{F}_R$ ist aber nicht mehr so groß wie die Stoßkraft beim Aufprall $\tilde{F}_K$ ($\tilde{F}_R < \tilde{F}_K$). Es gilt demnach:

Methode

$0 < e < 1$   Teil-elastische Verformung

Die Stoßzahl $e$ wird experimentell ermittelt und kann für unterschiedliche Materialen Tabellenwerken entnommen werden.

Stoßbedingung

Die Stoßzahl $e$ kann auch als Verhältnis von relativer Endgeschwindigkeit nach dem Stoß und relativer Anfangsgeschwindigkeit vor dem Stoß beschrieben werden. Diesen Zusammenhang bezeichnet man auch als Stoßbedingung:

Methode

$e = - \frac{\bar{v}_1 - \bar{v}_2}{v_1 - v_2}$    Stoßbedingung

Bestimmung der Endgeschwindigkeiten

Um nun die Endgeschwindigkeiten $\bar{v}_1$ und $\bar{v}_2$ der beiden Massen zu bestimmen, werden die obigen Gleichungen verwendet, die hier nochmals aufgeführt werden sollen:

(1) $-\tilde{F}_K = m_1v^* - m_1v_1$

(2) $\tilde{F}_K = m_2v^*- m_2v_2$

(3) $-\tilde{F}_R = m_1 \bar{v}_1 - m_1v^*$

(4) $\tilde{F}_R = m_2 \bar{v}_2 - m_2v^*$

(5) $\tilde{F}_R = e \tilde{F}_K$ 


Nach mehreren komplizierten Umformungen ergeben sich die folgenden Endgeschwindigkeiten für den geraden, zentrischen Stoß:

Methode

$\bar{v}_1 = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 - e \; m_2(v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}$

$\bar{v}_2 = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + e \; m_1(v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}$

Wichtig: Die hier angegebenen Gleichungen gelten für die Bewegung der Massenpunkte vor dem Stoß nach rechts in positiver $x$-Richtung. Sollte in der Aufgabenstellung die Bewegung der Massenpunkte vor dem Stoß nach links gegeben sein, so müssen die Vorzeichen von $v_1$ und $v_2$ mit einem Minuszeichen versehen werden. Bewegt sich z.B.der Massenpunkt $1$ vor dem Stoß nach rechts und $2$ nach links, so ergeben sich die Gleichungen zu:

$\bar{v}_1 = \frac{m_1v_1 - m_2v_2 - e \; m_2(v_1 + v_2)}{m_1 + m_2}$

$\bar{v}_2 = \frac{m_1v_1 - m_2v_2 + e \; m_1(v_1 + v_2)}{m_1 + m_2}$

Merke

Ergibt sich am Ende eine positive Endgeschwindigkeit $\bar{v}_1$ bzw. $\bar{v}_2$, so bewegt sich die Masse nach rechts, ergibt sich eine negative Endgeschwindigkeit, so bewegt sich die Masse nach links.

Gesamtimpuls konstant

Es gilt in jedem Fall (egal ob elastisch, teil-elastisch oder unelastisch), dass der Gesamtimpuls (Summe der Impulse der beiden Massen) konstant bleibt:

Methode

$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1\bar{v}_1 + m_2\bar{v}_2$

Der Gesamtimpuls vor dem Stoß ist gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß.

Energieverlust

Die kinetische Energie stellt die Bewegungsenergie der beiden Massen dar. Die kinetische Energie der Massen vor dem Stoß entspricht:

$E_{kin;1} = \frac{mv_1^2}{2}$

$E_{kin;2} = \frac{mv_2^2}{2}$


Die kinetische Energie nach dem Stoß ist gegeben zu:

$E_{kin;1} = \frac{m\bar{v}_1^2}{2}$

$E_{kin;2} = \frac{m\bar{v}_2^2}{2}$

Beim teil-elastischen und unelastischen Stoß wird kinetische Energie in Wärme oder Verformungsenergie umgewandelt. Das bedeutet also, dass ein Energieverlust vorliegt. Diesen Energieverlust kann man bestimmen, indem die gesamte kinetische Energie nach dem Stoß von der gesamten kinetischen Energie vor dem Stoß abgezogen wird.

$\triangle E_{kin} = \frac{mv_1^2}{2} +  \frac{mv_2^2}{2} - \frac{m\bar{v}_1^2}{2} - \frac{m\bar{v}_2^2}{2}$

Setzt man nun die Endgeschwindigkeiten für den geraden, zentrischen Stoß ein, so ergibt sich:

Methode

$\triangle E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot (1 - e^2) \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} (v_1 - v_2)^2$   Energieverlust

Es ist deutlich zu erkennen, dass beim elastischen Stoß ($e = 1$) kein Energieverlust eintritt. Die gesamte Gleichung nimmt also den Wert null an. Beim elastischen Stoß wird die gesamte kinetische Energie bei Aufprall auch wieder für den Abprall verwendet. Die Verformung bildet sich also komplett zurück. Beim unelastischen Stoß ($e = 0$) ist der Energieverlust am größten. Die Ursache liegt darin, dass ein Teil der kinetischen Energie in Verformungsenergie umgewandelt wird. 

Multiple-Choice
Welche Aussage zum Energieverlust beim geraden, zentrischen Stoß zweier Massen ist korrekt?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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