Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper

Es soll im folgenden die Vorgehensweise zur Lösung von Stoßvorgänge anhand eines geraden, zentrischen Stoßes zwischen zwei glatten Körper betrachtet werden. Das bedeutet, die Geschwindigkeitsrichtungen der beiden Körper liegen parallel zur Stoßnormalen der zwei aufeinander prallenden Körper (gerader Stoß). Außerdem geht die Stoßnormale durch die Schwerpunkte beider Körper (zentrischer Stoß) und es treten nur Stoßkräfte in Richtung der Stoßnormalen auf (glatter Stoß).

Es werden die zwei glatten Massenpunkte $1$ und $2$ in der nachfolgenden Grafik betrachtet. Die Geschwindigkeit $v_1$ des Massenpunktes $1$ sei größer als die Geschwindigkeit $v_2$ des Massenpunktes $2$. Das bedeutet, dass der Massenpunkt $1$ auf den Massenpunkt $2$ prallen wird. Es resultiert also ein Stoß:

Die beiden betrachteten Massen treffen zum Zeitpunkt $t = 0$ das erste Mal aufeinander. Die Kraft $\int F \; dt$ die aufgrund des Stoßes resultiert, steigt mit zunehmenden $t$ zunächst an und fällt dann wieder ab. Ihren maximimalen Wert errreicht sie bei $t = t^*$.

Die Kraft aufgrund des Stoßes von $t$ bis $t_s$ ergibt sich wie folgt:

Die Kraft über die gesamte Zeit ist die Differenz aus dem Impuls nach dem Stoß und dem Impuls vor dem Stoß. Die Einheit ist $Ns$ oder $\frac{kg \; m}{s}$.

Da der Verlauf der Kraft $\int_t^{t_s} F \; dt$ häufig nicht bekannt ist, werden zwei Phasen betrachtet. Die Kompressionsphase und die Restitutionsphase: 

Beide Phasen werden im Folgenden näher beschrieben.

Kompressionsphase

Die Kraft $\int F \; dt$, die während des Stoßes von den beiden Massen aufeinander ausgeübt wird, steigt zunächst mit der Zeit $t$ an und erreicht zum Zeitpunkt $t = t^*$ ihr Maximum.

Den Zeitraum kurz vor dem Stoß bei $t = 0$ bis zur maximalen Zusammendrückung bei $t^*$ bezeichnet man als Kompressionsphase. Die beiden Massen treffen also aufeinander und werden zusammengedrückt. Die Körper werden in dieser Phase also nicht mehr als vollkommen starr angenommen, sondern als lokal deformierbar. Zum Zeitpunkt $t^*$ der maximalen Zusammendrückung wird die Kraft $\int F \; dt $ maximal. Die Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase sei bezeichnet als $\tilde{F}_K$:

Die Stoßkraft $\tilde{F}_K $ entspricht dem Kraftverlauf von $t$ bis $t^*$:

$\tilde{F}_K = \int_t^{t^*} F \; dt$.

Diese Stoßkraft kann auch mittels Impuls ausgedrückt werden. Betrachtet man das Newtonsche Gesetz, so ergibt sich:

$F = ma$  

bzw. 

$F = m \frac{dv}{dt}$     / $\cdot dt$

$F \; dt = m \; dv$         / Integral von $t$ bis $t^*$ bilden

$\int_t^{t^*} F \; dt = \int_v^{v^*} m \; dv$      / Rechte Seite integrieren

$\int_t^{t^*} F \; dt = mv - mv^*$

Es gilt also für die Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase:

Betrachtet man nun die beiden Massenpunkte, so sieht man an der obigen Grafik deutlich, dass die beide Massenpunkte diese Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase aufeinander ausüben. Die Stoßkraft ist gleich groß, aber entgegegengesetzt. Es werden nun für beide Massenpunkte separat die Stoßkraft aufgestellt.

Die Stoßkraft $\tilde{F}_K$, die vom Massenpunkt $2$ auf den Massenpunkt $1$ innerhalb der Kompressionsphase wirkt, ist dann gegeben zu:

Das Minuszeichen vor der Kraft ergibt sich aus der Kraftrichtung in negativer $x$-Achse.

Die Kraft die von dem Massenpunkt $1$ auf den Massenpunkt $2$ innerhalb der Kompressionsphase ausgeübt wird ergibt sich zu:

Restitutionsphase

Die Resititutionsphase ist die Phase von der maximalen Zusammendrückung bei $t^*$ bis kurz nach dem Stoß bei $t_s$. Dabei ist $t_s$ die gesamte Stoßdauer. Innerhalb der Restitutionsphase gehen die Verformungen der beiden Körper ganz (elastisch), teilweise (teil-elastisch) oder nicht (unelastisch) zurück. Die Kraft $\int F \; dt$ nimmt am Ende der Restitutionsphase bei $t_s$ den Wert null an. Die Stoßkraft innerhalb der Restitutionsphase sei bezeichnet als $\tilde{F}_R$:

Auch hier kann wieder der Impuls angewandt werden (siehe oben). Der Unterschied ist nur das Zeitintegral. In dieser Phase muss von $t^*$ (maximale Zusammendrückung) bis $t_s$ (Ende des Stoßes) intergiert werden:

$\tilde{F}_R = \int_{t^*}^{t_s} F \; dt = \int_{v^*}^{\bar{v}} m \; dv$

Die Stoßkraft $\tilde{F}_R $ entspricht also dem Kraftverlauf von $t^*$ bis $t_s$. Es ergibt sich demnach die Stoßkraft innerhalb der Restitutionsphase zu:

Dabei ist $v^*$ die Geschwindigkeit bei der maximalen Zusammendrückung zum Zeitpunkt $t^*$. Diese Geschwindigkeit ist für beide Massenpunkte gleich, da diese sich zusammen bewegen. Die Geschwindigkeit $\bar{v}$ stellt die Geschwindigkeit nach dem Stoß dar und ist für beide Massenpunkte separat zu betrachten.

Es werden nun für beide Massenpunkte separat die Stoßkraft aufgestellt.

Die Kraft $\tilde{F}_R$, die vom Massenpunkt $2$ auf den Massenpunkt $1$ innerhalb der Kompressionsphase wirkt, ist dann gegeben zu:

Die Kraft die von dem Massenpunkt $1$ auf den Massenpunkt $2$ innerhalb der Kompressionsphase ausgeübt wird ergibt sich zu:

Elastische, unelastische und teil-elastische Verformung

Bei solchen Stoßvorgänge sind in den meisten Fällen die Anfangsgeschwindigkeiten gegeben. Es existieren also die fünf Unbekannten: $\tilde{F}_K$, $\tilde{F}_R$, $\bar{v}_1$, $\bar{v}_2$ sowie $v^*$. Zur Bestimmung von $\tilde{F}_K$ und $\tilde{F}_R$ müssen drei Fälle unterschieden werden:

• Elastische Verformung
• Unelastische Verformung
• Teil-elastische Verformung

Die Definition der einzelnen Verformungen ist bereits im Abschnitt Stoßvorgänge des vorherigen Kapitels erfolgt. Dabei gilt:

Elastische Verformung

Bei der elastischen Verformung bildet sich der Körper in der Restitutionsphase vollständig zurück. Das bedeutet, dass die Stoßkraft beim Aufprall gleich der Stoßkraft beim Abstoßen ist: $\tilde{F}_K = \tilde{F}_R$. Die beiden Körper bewegen sich dann unabhängig voneinander mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten $\bar{v}_1$ und $\bar{v}_2$ weiter. Demnach gilt für die elastische Verformung:

Unelastische Verfomung

Bei der unelastischen Verformung bildet sich der Körper nicht mehr zurück. Die gesamte Verformung innerhalb der Kompressionsphase bleibt vollständig erhalten. Aufgrund der fehlenden Stoßkraft beim Abprall $\tilde{f}_R = 0$, stoßen sich die beiden Körper nicht mehr voneinander ab. Das bedeutet, dass sich beide Körper zusammen mit derselben Geschwindigkeit bewegen $\bar{v}_1 = \bar{v}_2$ und zusammen verbleiben. 

Teil-elastische Verformung

Bei der teil-elastischen Verformung bildet sich der Körper innerhalb der Restitutionsphase teilweilse zurück, nimmt aber nicht mehr die ursprüngliche Form an. Das bedeutet, dass sich die Körper zwar noch voneinander abstoßen, die Stoßkraft beim Abstoß $\tilde{F}_R$ ist aber nicht mehr so groß wie die Stoßkraft beim Aufprall $\tilde{F}_K$ ($\tilde{F}_R < \tilde{F}_K$). Es gilt demnach:

Die Stoßzahl $e$ wird experimentell ermittelt und kann für unterschiedliche Materialen Tabellenwerken entnommen werden.

Stoßbedingung

Die Stoßzahl $e$ kann auch als Verhältnis von relativer Endgeschwindigkeit nach dem Stoß und relativer Anfangsgeschwindigkeit vor dem Stoß beschrieben werden. Diesen Zusammenhang bezeichnet man auch als Stoßbedingung:

Bestimmung der Endgeschwindigkeiten

Um nun die Endgeschwindigkeiten $\bar{v}_1$ und $\bar{v}_2$ der beiden Massen zu bestimmen, werden die obigen Gleichungen verwendet, die hier nochmals aufgeführt werden sollen:

(1) $-\tilde{F}_K = m_1v^* - m_1v_1$

(2) $\tilde{F}_K = m_2v^*- m_2v_2$

(3) $-\tilde{F}_R = m_1 \bar{v}_1 - m_1v^*$

(4) $\tilde{F}_R = m_2 \bar{v}_2 - m_2v^*$

(5) $\tilde{F}_R = e \tilde{F}_K$ 

Nach mehreren komplizierten Umformungen ergeben sich die folgenden Endgeschwindigkeiten für den geraden, zentrischen Stoß:

Wichtig: Die hier angegebenen Gleichungen gelten für die Bewegung der Massenpunkte vor dem Stoß nach rechts in positiver $x$-Richtung. Sollte in der Aufgabenstellung die Bewegung der Massenpunkte vor dem Stoß nach links gegeben sein, so müssen die Vorzeichen von $v_1$ und $v_2$ mit einem Minuszeichen versehen werden. Bewegt sich z.B.der Massenpunkt $1$ vor dem Stoß nach rechts und $2$ nach links, so ergeben sich die Gleichungen zu:

$\bar{v}_1 = \frac{m_1v_1 - m_2v_2 - e \; m_2(v_1 + v_2)}{m_1 + m_2}$

$\bar{v}_2 = \frac{m_1v_1 - m_2v_2 + e \; m_1(v_1 + v_2)}{m_1 + m_2}$

Gesamtimpuls konstant

Es gilt in jedem Fall (egal ob elastisch, teil-elastisch oder unelastisch), dass der Gesamtimpuls (Summe der Impulse der beiden Massen) konstant bleibt:

Der Gesamtimpuls vor dem Stoß ist gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß.

Energieverlust

Die kinetische Energie stellt die Bewegungsenergie der beiden Massen dar. Die kinetische Energie der Massen vor dem Stoß entspricht:

$E_{kin;1} = \frac{mv_1^2}{2}$

$E_{kin;2} = \frac{mv_2^2}{2}$

Die kinetische Energie nach dem Stoß ist gegeben zu:

$E_{kin;1} = \frac{m\bar{v}_1^2}{2}$

$E_{kin;2} = \frac{m\bar{v}_2^2}{2}$

Beim teil-elastischen und unelastischen Stoß wird kinetische Energie in Wärme oder Verformungsenergie umgewandelt. Das bedeutet also, dass ein Energieverlust vorliegt. Diesen Energieverlust kann man bestimmen, indem die gesamte kinetische Energie nach dem Stoß von der gesamten kinetischen Energie vor dem Stoß abgezogen wird.

$\triangle E_{kin} = \frac{mv_1^2}{2} +  \frac{mv_2^2}{2} - \frac{m\bar{v}_1^2}{2} - \frac{m\bar{v}_2^2}{2}$

Setzt man nun die Endgeschwindigkeiten für den geraden, zentrischen Stoß ein, so ergibt sich:

Es ist deutlich zu erkennen, dass beim elastischen Stoß ($e = 1$) kein Energieverlust eintritt. Die gesamte Gleichung nimmt also den Wert null an. Beim elastischen Stoß wird die gesamte kinetische Energie bei Aufprall auch wieder für den Abprall verwendet. Die Verformung bildet sich also komplett zurück. Beim unelastischen Stoß ($e = 0$) ist der Energieverlust am größten. Die Ursache liegt darin, dass ein Teil der kinetischen Energie in Verformungsenergie umgewandelt wird. 

Anwendungsbeispiel: Elastischer Stoß

Beispiel: Elastischer Stoß zweier Klötze

1. Betrachtung der Energie

Wir betrachten zunächst die Feder und den 1. Klotz. Die Feder ist gespannt, weist also eine Spannenergie auf von:

Einsetzen der Werte:

$E_{spann} = \frac{1}{2} \cdot 5.000 \frac{N}{m} \cdot (0,3 m)^2 = 225 J$    

Die Feder beginnt nun den Klotz wegzuschleudern. Die Feder übertägt dabei die Spannenergie auf den Klotz und wandelt diese in kinetische Energie um:

$E_{kin} = 225 J$

Wir müssen hier aber noch zusätzlich die Reibung zwischen Klotz und Ebene berücksichtigen. Der Klotz gleitet 6m über die Ebene bis dieser den 2. Klotz trifft. Für diese 6 m muss also die Reibungskraft von der kinetischen Energie abgezogen werden, weil durch die Reibung der Körper abgebremst wird und damit die kinetische Energie sinkt. Die Reibungsenergie wird wie folgt berechnet:

Dabei ist $R$ die Reibungskraft.

2. Reibungskraft bestimmen

Die Reibungskraft können wir bestimmen, indem wir den Klotz freischneiden und alle Kräfte die auf den Klotz wirken abtragen:

Freischnitt Klotz 1

Dabei ist $F$ die Federkraft, $R$ die Reibungskraft, $N$ die Normalkraft und $G$ die Gewichtskraft.

Wir stellen als nächstes das Newtonsche Grundgesetz in Komponentendarstellung auf:

$F_x = m a_x$          $F_y = m a_y$

Dabei ist $F_x$ die Summe aller Kräfte in $x$-Richtung und $F_y$ die Summe aller Kräfte in $y$-Richtung.

Die Reibungskraft ist definiert zu:

$R = \mu N$

Da $\mu = 0,5$ in der Aufgabenstellung gegeben ist, benötigen wir noch die Normalkraft $N$. Diese können wir aus dem Newtonschen Grundgesetz in $y$-Richtung bestimmen:

$F_y = N - G$           Summe der Kräfte in $y$-Richtung

$N - G = m a_y$          

Dabei ist $a_y = 0$, weil keine Bewegung in $y$-Richtung vorliegt. 

$N - G = 0$

$N = G = mg = 3kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 29,43 N$

Wir können nun die Reibungskraft bestimmen:

$R = 0,5 \cdot 29,43 N = 14,72 N$

Die Reibungsenergie beträgt dann:

$E_{reib} = R \cdot s = 14,72 N \cdot 6m = 88,32 J$.

Das bedeutet, dass 88,32 J der kinetischen Energie in Reibungsenergie umgewandelt werden.

Wir interessieren uns für die kinetische Energie kurz vor dem Stoß mit dem 2. Klotz, also nach dem Weg von 6m. Dazu müssen wir als nächstes die Reibungsenergie von der gesamten kinetischen Energie abziehen:

$E_{kin} = E_{kin} - R = 225 J - 88,32 J = 136,68 J$

Die kinetische Energie in Höhe von 136,68 J weist der 1. Klotz unmittelbar vor dem Zusammenstoß mit dem 2. Klotz auf.

Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen

Wir benötigen als nächstes die Anfangsgeschwindigkeit des 1. und 2. Klotzes um die Endgeschwindigkeiten beider Klötze bestimmen zu können.

Die Anfangsgeschwindigkeit des 1. Klotzes kann aus der kinetischen Energie unmittelbar vor dem Stoß bestimmt werden:

$E_{kin} = \frac{1}{2} m v_1^2 = 136,68 J$

Auflösen nach $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{136,68 J \cdot 2}{m}} = \sqrt{\frac{136,68 J \cdot 2}{3 kg}}  = 9,55 \frac{m}{s}$

Die Anfangsgeschwindigkeit des 2. Klotzes ist $v_2 = 0$, weil dieser ruht.

Endgeschwindigkeiten bestimmen

Die Endgeschwindigkeiten können nun anhand der obigen Formeln bestimmt werden:

$v'_1 = \frac{2 \cdot m_2 \cdot v_2 + (m_1 - m_2) \cdot v_1}{m_1 + m_2}$

$v'_2 = \frac{2 \cdot m_1 \cdot v_1 + (m_2 - m_1) \cdot v_2}{m_1 + m_2}$

Einsetzen der Werte:

$v'_1 = \frac{(3kg - 5kg) \cdot 9,55 \frac{m}{s}}{3kg + 5kg} = -2,39 \frac{m}{s}$

$v'_2 = \frac{2 \cdot 3kg \cdot 9,55 \frac{m}{s} }{3kg + 5kg} = 7,16 \frac{m}{s}$

Der Klotz 1 weist eine negative Geschwindigkeit auf. Das bedeutet, dass sich der Klotz entgegen der angenommenen Richtung bewegt. Der Klotz hat sich nach rechts bewegt (vor dem Stoß) und die Anfangsgeschwindigkeit wurde positiv in die Gleichung eingetragen, also sind wir von einer Bewegung nach rechts ausgegangen. Da nun eine negative Geschwindigkeit resultiert, bewegt sich der Klotz nach dem Stoß nach links. Der 2. Klotz wird durch den Zusammenstoß nach rechts gestoßen.

Wegdifferenz bestimmen

Wir wollen als nächstes herausfinden in welchem Abstand beide Klötze voneinander zum Stehen kommen. Aufgrund der Reibung der Klötze mit dem Boden, werden beide irgendwann bis zum Stillstand gebremst. Auch hier gilt wieder die Reibungsenergie zu bestimmen:

$E_{reib;1} = R_1 \cdot s_1$

$E_{reib;2} = R_2 \cdot s_2$

Die Reibungskraft für den 1. Klotz haben wir bereits bestimmt:

Wir benötigen noch die Reibungskraft des 2. Klotzes. Auch dieser wird wieder freigeschnitten. Aus dem Newtonschen Grundgesetz in $y$-Richtung mit $a_y = 0$ erhalten wir dann die Normalkraft:

$N = G = mg = 5 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 49,05 N$

$R_2 = 0,5 \cdot 49,05 N = 24,53 N$

Die Reibungsenergie des 2. Klotzes beträgt also:

Die beiden Klötzen weisen nach dem Stoß die Endgeschwindigkeiten $v'_1$ und $v'_2$ auf. Wir können also die kinetische Energie beider Klötze nach dem Stoß bestimmen:

$E_{kin;1} = \frac{1}{2} \cdot 3kg \cdot (2,39  \frac{m}{s})^2 = 8,57 J$

$E_{kin;2} = \frac{1}{2} \cdot 5kg \cdot (7,16 \frac{m}{s})^2 = 128,16 J$

Dieses mal wird die gesamte kinetische Energie in Reibungsenergie umgewandelt, weil die Klötze bis zum Stillstand gebremst werden:

$E_{reib;1} = E_{kin;1}$

$E_{reib;2} = E_{kin;2}$

Einsetzen in die Reibunsgenergie:

$8,57 J  = 14,72 N \cdot s_1$

$128,16 J = 24,53 N \cdot s_2$

Und auflösen nach $s$:

$s_1 = \frac{8,57 J}{14,72 N} = 0,58 m$

$s_2 = \frac{128,16 J}{24,53 N} = 5,22 m$

Der Klotz 1 bewegt sich also nach dem Stoß 0,58 m nach links, der Klotz 2 nach dem Stoß 5,22 m nach rechts. Dann bleiben beiden liegen. Der Abstand beider Klötze beträgt demnach:

$s = s_1 + s_2 = 0,58 m + 5,22 m = 5,8 m$.