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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Gerader, zentrischer Stoß

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Gerader, zentrischer Stoß

Anwendungsbeispiel: Zentrischer Stoß

Beispiel: Gerader zentrischer Stoß

Beispiel

Gegeben seine die zwei obigen glatten Massenpunkte $m_1 = 5 kg$ und $m_2 = 10 kg$ mit den Geschwindigkeiten $v_1 = 20 \frac{m}{s}$ und $v_2 = 15 \frac{m}{s}$. Wie groß sind die Stoßkräfte $\tilde{F}_K$ und $\tilde{F}_R$ und die Endgeschwindigkeit $\bar{v}_1$ und $\bar{v}_2$ für $e = 1$ Wie groß ist der Energieverlust?

Zur Berechnung werden zunächst die obigen Gleichungen (1) - (5) herangezogen. Es soll zunächst gezeigt werden, wie diese Gleichungen miteinander verknüpft werden müssen, damit die Endgeschwindigkeiten resultieren. Es wird danach gezeigt, wie man die Aufgabe mit den Gleichungen für die Endgeschwindigkeiten löst.

Berechnung mit den Gleichungen 1-5

Es wird zunächst die Stoßkraft $F_K$ bestimmt. Hierfür werden die Gleichungen (1) und (2) herangezogen. Da die Geschwindigkeit $v^*$ unbekannt ist, muss diese zunächst eliminiert werden. Dazu wird (2) nach $v^*$ aufgelöst:

Merke

 $v^* = \frac{\tilde{F}_K + m_2v_2}{m_2}$ 


Einsetzen in (1) ergibt:

$-\tilde{F}_K = m_1 \cdot (\frac{\tilde{F}_K + m_2v_2}{m_2}) - m_1v_1$


Auflösen nach $\tilde{F}_K$:

$-\tilde{F}_K - m_1 \frac{\tilde{F}_K}{m_2} =  \frac{m_1m_2v_2}{m_2} - m_1v_1$

$\tilde{F}_K (-1 - \frac{m_1}{m_2}) =  m_1v_2- m_1v_1$

$\tilde{F}_K =  \frac{m_1v_2 - m_1v_1}{-1 - \frac{m_1}{m_2}}$

Einsetzen der Werte:

Methode

$\tilde{F}_K =  \frac{5 kg \cdot 15 \frac{m}{s} - 5 kg \cdot 20 \frac{m}{s}}{-1 - \frac{5 kg}{10 kg}} = 16,67 Ns$

Als nächstes wird die Stoßkraft $\tilde{F}_R$ bestimmt. Hierzu wird der folgende Zusammenhang (5) angewandt:

$\tilde{F}_R = e \tilde{F}_K$ 

Einsetzen ergibt:

Methode

$\tilde{F}_R = 1 \cdot 16,67 Ns = 16,67 Ns$

Die Stoßkraft beim Aufprall $\tilde{F}_K$ und beim Abstoß $\tilde{F}_R$ sind gleich, da die Verformung vollständig zurückgeht und die gesamte Bewegungsenergie vor dem Aufprall auch wieder in Bewegungsenergie für den Abstoß umgewandelt wird.

Es soll weiterhin die Geschwindigkeit der beiden Massen nach dem Stoß $\bar{v}_1$ und $\bar{v}_2$ bestimmt werden. Hiefür wird zunächst die Gleichung (3) betrachtet:

(3) $-\tilde{F}_R = m_1 \bar{v}_1 - m_1v^*$

Einsetzen der bekannten Werte:

$-16,67 Ns = 5 kg \cdot \bar{v}_1 - 5 kg \cdot v^*$

Um $\bar{v}_1$ daraus zu berechnen muss noch $v^*$ eliminiert werden. Einsetzen von 

$v^* = \frac{\tilde{F}_K + m_2v_2}{m_2}$ 

in die Gleichung ergibt dann:

$-16,67 Ns = 5 kg \cdot \bar{v}_1 - 5 kg \cdot (\frac{\tilde{F}_K + m_2v_2}{m_2})$

Einsetzen von $\tilde{F}_K = 16,67 Ns$:

$-16,67 Ns = 5 kg \cdot \bar{v}_1 - 5 kg \cdot (\frac{16,67 Ns + 10 kg \cdot 15 \frac{m}{s}}{10 kg})$

$-16,67 Ns = 5 kg \cdot \bar{v}_1 - 83,335Ns$

Auflösen nach $\bar{v}_1$:

Methode

$\bar{v}_1 = \frac{-16,67 Ns + 83,335 Ns}{5 kg} = 13,33 \frac{m}{s}$


Für die Geschwindigkeit $\bar{v_2}$ verwendet man nun die Gleichung (4):

(4) $\tilde{F}_R = m_2 \bar{v}_2 - m_2v^*$

Einsetzen von  $v^* = \frac{\tilde{F}_K + m_2v_2}{m_2}$ :

$\tilde{F}_R = m_2 \bar{v}_2 - m_2 \cdot (\frac{\tilde{F}_K + m_2v_2}{m_2})$

Einsetzen aller bekannten Werte:

$16,67 Ns = 10 kg \cdot \bar{v}_2 - 10 kg \cdot (\frac{16,67 Ns + 10 kg \cdot 15 \frac{m}{s}}{10 kg})$

Auflösen nach $\bar{v}_2$:

$\bar{v}_2 \cdot 10 kg = 16,67 Ns + 10 kg \cdot (\frac{16,67 Ns + 10 kg \cdot 15 \frac{m}{s}}{10 kg})$

$\bar{v}_2 \cdot 10 kg = 183,34 Ns$

Methode

$\bar{v}_2 = 18,33 \frac{m}{s}$

Berechnung mit den Gleichungen für die Endgeschwindigkeiten

Es ist nun anhand der 5 Gleichungen gezeigt worden, wie diese miteinander Verknüpft werden müssen, damit die Endgeschwindigkeit resultiert. Es können stattdessen auch sofort die obigen Gleichungen für die Endgeschwindigkeiten verwendet werden, da dort die Verknüpfung bereits stattgefunden hat:

$\bar{v}_1 = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 - e \; m_2(v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}$

Einsetzen der Werte:

Methode

$\bar{v}_1 = \frac{5 kg \cdot 20 \frac{m}{s} + 10 kg \cdot 15 \frac{m}{s} - 1 \cdot 10 kg (20 \frac{m}{s} - 15 \frac{m}{s})}{5 kg + 10 kg} = 13,33 \frac{m}{s}$

Das Ergebnis ist natürlich dasselbe. Zur Bestimmung der Endgeschwindigkeiten ist die erste Vorgehensweise zeitintensiver, als direkt die Gleichung für die Endgeschwindigkeiten zu verwenden. Deswegen empfiehlt es sich die Gleichungen für die Endgeschwindigkeiten für den geraden, zentrischen Stoß in jedem Fall zu merken.

Für die Geschwindigkeit $\bar{v}_2$ wird die Gleichung angewandt:

$\bar{v}_2 = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + e \; m_1(v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}$

Einsetzen der Werte:

Methode

$\bar{v}_2 = \frac{5 kg \cdot 20 \frac{m}{s} + 10 kg \cdot 15 \frac{m}{s} + 1 \cdot 5 kg (20 \frac{m}{s} - 15 \frac{m}{s})}{5 kg + 10 kg} = 18,33 \frac{m}{s}$

Energieverlust

Der Energieverlust beim elastischen Stoß kann man auch ohne Berechnungen ermitteln. Da beim elastischen Stoß die gesamte kinetische Energie vor dem Stoß gleich der gesamten kinetischen Energie nach dem Stoß entspricht, tritt kein Energieverlust auf:

$\triangle E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot (1 - e^2) \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} (v_1 - v_2)^2$  

Es gilt $e = 1$, damit nimmt die Klammer den Wert null an und somit wird der gesamte Term zu null. Es existiert demnach kein Energieverlust.

Abschließende Erläuterung

Am Ende resultieren zwei positive Geschwindigkeiten. Die Bewegung beider Massenpunkte nach dem Stoß erfolgt also in positiver $x$-Richtung. Nach dem Stoß ist nun aber der Massenpunkt $1$ langsamer, als der Massenpunkt $2$. Man sieht auch deutlich, dass die Differenz zwischen den beiden Geschwindigkeiten konstant ist:

$v_1 - v_2 = \bar{v}_2 - \bar{v}_1 = 5 \frac{m}{s}$.


Es gilt allgemein für den elastischen, unelastischen und teil-elastischen geraden, zentrischen Stoß:

Methode

$e(v_1 - v_2) = \bar{v}_2 - \bar{v}_1 $

In diesem Fall ist $e = 1$ und damit

$v_1 - v_2 = \bar{v}_2 - \bar{v}_1$

Es gilt außerdem, dass der Gesamtimpuls für den elastischen, unelastischen und teil-elastischen geraden, zentrischen Stoß erhalten bleibt:

Methode

$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1\bar{v}_1 + m_2\bar{v}_2$

In diesem Fall:

$5 kg \cdot 20 \frac{m}{s} + 10 kg \cdot 15 \frac{m}{s} = 250 Ns$

$5 kg \cdot 13,33 \frac{m}{s} + 10 kg \cdot 18,33 \frac{m}{s} = 250 Ns$