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Technische Mechanik 3: Dynamik - Schiefer, zentrischer Stoß zweier Körper

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Schiefer, zentrischer Stoß zweier Körper

In diesem Abschnitt wird der schiefe, zentrische Stoß zwischen zwei glatten Körpern betrachtet. Ein schiefer zentrischer Stoß liegt vor, wenn die Geschwindigkeitsrichtungen der beiden Körper nicht parallel zur Stoßnormalen liegen (schiefer Stoß) und die Stoßnormale durch die Schwerpunkte beider Körper (zentrischer Stoß) geht. Es treten außerdem nur Stoßkräfte in Richtung der Stoßnormalen auf (glatter Stoß).

Schiefer, zentrischer Stoß zwischen zwei glatten Körpern

In $a$ sind die zwei Massen $m_1$ und $m_2$ gegeben, welche sich mit der Geschwindigkeit $v_1$ und $v_2$ bewegen. Diese Massen treffen zum Zeitpunkt $t = 0$ aufeinander (siehe $b$). Die Anfangsgeschwindigkeiten der beiden Massen lassen sich in eine $x$- und eine $y$-Komponente zerlegen. 

Kompressionsphase

Kompressions- und Restitutionsphase

Es gilt wieder der Zeitraum von $t = 0$ bis $t^*$ als Kompressionsphase. Die Stoßkraft $\tilde{F}_K$ ergibt sich allgemein zu:

Methode

$\tilde{F}_K = mv - mv^*$

mit

$v$  Geschwindigkeit kurz vor dem Stoß

$v^*$ Geschwindigkeit bei der maximalen Zusammendrückung. 

Betrachtung der y-Richtung

Bei einem zentrischen Stoß wirken die Kontaktkräfte immer in Richtung der Stoßnormalen. Die Stoßnormale fällt mit der $x$-Achse zusammen, dass bedeutet, dass keine Kräfte in $y$-Richtung auftreten. Es ergibt sich also $\tilde{F}_{Ky} = 0$:

$mv_y - mv_y^* = 0$

Es werden nun die beiden Massenpunkt $m_1$ und $m_2$ betrachtet:

Methode

$m_1v_{1y} - m_1v_y^* = 0 \; \rightarrow \; v_{1y} = v_y^*$

$m_2v_{2y} - m_2v_y^* = 0 \; \rightarrow \; v_{2y} = v_y^*$

Die Geschwindigkeit $v_y^*$ stellt die Geschwindigkeitskomponente in $y$-Richtung bei der maximalen Zusammendrückung der beiden Massen zum Zeitpunkt $t^*$ dar. Zu diesem Zeitpunkt bewegen sich die Massen mit derselben Geschwindigkeit, weshalb $v_{1y}^* = v_{2y}^* = v_y^*$. Die Geschwindigkeiten $v_{1y}$ und $v_{2y}$ sind die Anfangsgeschwindigkeiten kurz vor dem Stoß in $y$-Richtung.

Betrachtung der $x$-Richtung

Da es sich um einen zentrischen Stoß handelt, wirken die Kräfte in Richtung der Stoßnormalen. Da diese mit der $x$-Achse zusammenfällt, wirken auf die beiden Masse die Kräfte in $x$-Richtung:

Kompressionsphase schiefer, zentrischer Stoß

Dabei wird vom Massenpunkt $2$ die Kraft $-\tilde{F}_{Kx}$ auf den Massenpunkt $1$ und die Kraft $\tilde{F}_{Kx}$ vom Massenpunkt $1$ auf $2$ ausgeübt:

Methode

$m_1v_{1x} - m_1v_x^* = -\tilde{F}_{Kx}$

$m_2v_{2x} - m_2v_x^* =  \tilde{F}_{Kx}$

Restitutionsphase

Es gilt wieder der Zeitraum von $t^*$ bis $t_s$ als Restitutionsphase. Die Stoßkraft $\tilde{F}_R$ ergibt sich allgemein zu:

Methode

$\tilde{F}_R = mv^* - m \bar{v}$

mit

$\bar{v}$  Geschwindigkeit nach dem Stoß

$v^*$ Geschwindigkeit bei der maximalen Zusammendrückung. 

Betrachtung der y-Achse

Bei einem zentrischen Stoß wirken die Kontaktkräfte immer in Richtung der Stoßnormalen. Die Stoßnormale fällt mit der $x$-Achse zusammen, dass bedeutet, dass keine Kräfte in $y$-Richtung auftreten. Es ergibt sich also $\tilde{F}_{Ry} = 0$:

$mv_y^* - m \bar{v} = 0$

Es werden nun die beiden Massenpunkt $m_1$ und $m_2$ betrachtet:

Methode

$m_1v_y^* - m_1 \bar{v}_{1y} = 0 \; \rightarrow \; \bar{v}_{1y} = v_y^*$

$m_2v_y^* - m_2 \bar{v}_{2y} = 0 \; \rightarrow \; \bar{v}_{2y} = v_y^*$

Die Geschwindigkeit $v_y^*$ stellt die Geschwindigkeitskomponente in $y$-Richtung bei der maximalen Zusammendrückung der beiden Massen zum Zeitpunkt $t^*$ dar. Zu diesem Zeitpunkt bewegen sich die Massen mit derselben Geschwindigkeit, weshalb Endgeschwindigkeiten nach dem Stoß in $y$-Richtung. In der Kompressionsphase für die $y$-Richtung gilt:

$v_{1y} = v_y^*$

$v_{2y} = v_y^*$

Insgesamt bedeutet das also:

Methode

$v_{1y} = v_y^* = \bar{v}_{1y}$     Geschwindigkeiten in $y$-Richtung

$v_{2y} = v_y^* = \bar{v}_{2y}$

Betrachtung der x-Richtung

Da es sich um einen zentrischen Stoß handelt, wirken die Kräfte in Richtung der Stoßnormalen. Da diese mit der $x$-Achse zusammenfällt, wirken auf die beiden Masse die Kräfte in $x$-Richtung.

Dabei wird vom Massenpunkt $2$ die Kraft $-\tilde{F}_{Rx}$ auf den Massenpunkt $1$ und die Kraft $\tilde{F}_{Rx}$ vom Massenpunkt $1$ auf $2$ ausgeübt:

Methode

$m_1v_x^* - m_1 \bar{v}_{1x} = -\tilde{F}_{Rx}$

$m_2v_x^* - m_2 \bar{v}_{2x} =  \tilde{F}_{Rx}$

Elastischer, teil-elastischer, unelastischer Stoß

Auch hier gilt wieder der Zusammenhang:

Methode

$\tilde{F}_R = e \; \tilde{F}_K$

Dabei handelt es sich bei $e = 1$ um einen elastischen, bei $e = 0$ um einen unelastischen und bei $0 < e < 1$ um einen teil-elastischen Stoß. Beim unelastischen Stoß ist $\tilde{F}_K = \tilde{F}_R$, die gesamte Stoßkraft beim Aufprall ist also gleich der gesamten Stoßkraft beim Abprall, die Deformationen während des Stoßes bilden sich demnach vollständig zurück. Beim unelatsichen Stoß bilden sich die Deformationen nicht mehr zurück und es existiert keine Stoßkraft mehr für den Abprall. Die beiden Massen bewegen sich dann zusammen mit derselben Endgeschwindigkeit $\bar{v}_1 = \bar{v}_2$. Bei der teil-elastischen Verformung bildet sich die Deformation teilweise zurück (je größer $e$ desto größer die Rückbildung). Allerdings wird die Stoßkraft beim Aufprall $\tilde{F}_K$ immer größer sein, als die Stoßkraft beim Abprall, da keine vollständig Rückbildung erfolgt. Es gilt für den teil-elastischen Stoß $\tilde{F}_K > \tilde{F}_R$.

Der Zusammenhang in Komponentendarstellung ergibt sich durch:

Methode

$\tilde{F}_{Ry} = e \; \tilde{F}_{Ky} = 0$

$\tilde{F}_{Rx} = e \; \tilde{F}_{Kx} $

Da keine Kräfte in $y$-Richtung auftreten, sind hier die Stoßkräfte null. Es existieren nur Stoßkräfte in Richtung der Stoßnormalen, also in Richtung der $x$-Achse.

Stoßbedingung

Auch in diesem Fall kann wieder die Stoßbedingung für die einzelnen Richtungen aufgestellt werden:

Methode

$e = -\frac{\bar{v}_{1y} - \bar{v}_{2y}}{v_{1y} - v_{2y}}$

Da für die $y$-Richtung gilt $\bar{v}_{1y} = v_{1y}$ und $\bar{v}_{2y} = v_{2y}$ ergibt sich für die Stoßzahl in $y$-Richtung der Wert $e = 1$.

Methode

$e = -\frac{\bar{v}_{1x} - \bar{v}_{2x}}{v_{1x} - v_{2x}}$

Die Stoßbedingung gibt das Verhältnis von relativer Endgeschwindigkeit zu relativer Anfangsgeschwindigkeit an. 

Bestimmung der Endgeschwindigkeiten

Die Endgeschwindigkeiten der beiden Körper in $y$-Richtung ($\bar{v}_{1y}$, $\bar{v}_{2y}$ können bereits ohne die obigen Formeln bestimmt werden, da nur Kräfte in Richtung der Stoßnormalen und demnach in $x$-Richtung auftreten. Es ergab sich damit:

Methode

$v_{1y} = v_y^* = \bar{v}_{1y}$

$v_{2y} = v_y^* = \bar{v}_{2y}$


Die Endgeschwindigkeiten in $x$-Richtung können aus den obigen Gleichungen bestimmt werden. Die Gleichungen seien hier nochmals aufgeführt:

(1) $m_1v_{1x} - m_1v_x^* = -\tilde{F}_{Kx}$

(2) $m_2v_{2x} - m_2v_x^* =  \tilde{F}_{Kx}$

(3) $m_1v_x^* - m_1 \bar{v}_{1x} = -\tilde{F}_{Rx}$

(4) $m_2v_x^* - m_2 \bar{v}_{2x} =  \tilde{F}_{Rx}$

(5) $\tilde{F}_{Rx} = e \; \tilde{F}_{Kx} $


Die Endgeschwindigkeiten für die $x$-Richtung der beiden Massen enstpricht der Gleichungen für den geraden, zentrischen Stoß des vorherigen Abschnittes. Nach mehreren komplizierten Umformungen ergeben sich die folgenden Endgeschwindigkeiten in $x$-Richtung zu:

Methode

$\bar{v}_{1x} = \frac{m_1v_{1x} + m_2v_{2x} - e \; m_2(v_{1x} - v_{2x})}{m_1 + m_2}$

$\bar{v}_{2x} = \frac{m_1v_{1x} + m_2v_{2x} + e \; m_1(v_{1x} - v_{2x})}{m_1 + m_2}$

Wichtig: Die hier angegebenen Gleichungen gelten für die Bewegung der Massenpunkte vor dem Stoß nach rechts in positive $x$-Richtung. Bei der hier betrachteten $x$-Richtung bewegt sich $m_1$ in positive $x$-Richtung (also nach rechts), die Masse $m_2$ allerdings in negative $x$-Richtung (also nach links). Das bedeutet für diesen hier betrachteten Fall, müssen innerhalb der obigen Gleichungen die Vorzeichen für die Anfangsgeschwindigkeit der Masse $2$ verändert werden zu:

$\bar{v}_{1x} = \frac{m_1v_{1x} - m_2v_{2x} - e \; m_2(v_{1x} + v_{2x})}{m_1 + m_2}$

$\bar{v}_{2x} = \frac{m_1v_{1x} - m_2v_{2x} + e \; m_1(v_{1x} + v_{2x})}{m_1 + m_2}$

Merke

Ergibt sich am Ende eine positive Endgeschwindigkeit $\bar{v}_1$ bzw. $\bar{v}_2$, so bewegt sich die Masse nach rechts, ergibt sich eine negative Endgeschwindigkeit, so bewegt sich die Masse nach links.

Im folgenden Abschnitt erfolgt ein Anwendungsbeispiel zur Bestimmung der Endgeschwindigkeiten bei einem schiefen, geraden Stoß.