ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Technische Mechanik 3: Dynamik
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse
Kinetik des Massenpunktsystems > Stoßvorgänge > Stoßvorgänge - Definitionen > Schiefer, zentrischer Stoß zweier Körper:

Beispiel: Schiefer, zentrischer Stoß

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]
Beispiel schiefer, zentrischer Stoß zwischen zwei Massen

Beispiel

Gegeben seien die zwei obigen glatten Massenpunkte $m_1 = 5 kg$ und $m_2 = 10 kg$ mit den Geschwindigkeiten $v_1 = 20 \frac{m}{s}$ und $v_2 = 15 \frac{m}{s}$. Die Richtung der Geschwindigkeiten seien mit $\alpha = 40°$ zur Horizontalen gegeben. Wie groß sind die Endgeschwindigkeit $\bar{v}_1$ und $\bar{v}_2$ für $e = 0,5$ und die Winkel beim Abstoß? Wie groß ist der Energieverlust? Wie groß sind die Stoßkräfte $\tilde{F}_K$ und $\tilde{F}_R$

Es wird zunächst das Freikörperbild für den Stoß gezeichnet. Dafür wird die $x$-Achse in Richtung der Stoßnormalen gelegt:

Beispiel schiefer zentrischer Stoß Stoßnormale
Betrachtung der y-Richtung

Es treten nur Kräfte in $x$-Richtung auf, da es sich hier um zwei glatte Massen handelt und damit keine Reibungskraft in $y$-Richtung auftritt. Damit gilt für die $y$-Richtung innerhalb der Kompressionsphase (Phase des ersten Zusammentreffens bis zur maximalen Zusammendrückung):

$m_1v_{1y} - m_1v_y^* = 0 \; \rightarrow \; v_{1y} = v_y^*$

$m_2v_{2y} - m_2v_y^* = 0 \; \rightarrow \; v_{2y} = v_y^*$


Für die Restituionsphase (Phase von der maximalen Zusammendrückung bis zum Ende des Stoßes) gilt dann:

$m_1v_y^* - m_1 \bar{v}_{1y} = 0 \; \rightarrow \; \bar{v}_{1y} = v_y^*$

$m_2v_y^* - m_2 \bar{v}_{2y} = 0 \; \rightarrow \; \bar{v}_{2y} = v_y^*$

Insgesamt ergibt sich also:

$v_{1y} = v_0^* = \bar{v}_{1y}$

$v_{2y} = v_0^* = \bar{v}_{2y}$


Die Anfangsgeschwindigkeiten der beiden Massen in $y$-Richtung ist also gleich der Endgeschwindigkeiten der beiden Massen in $y$-Richtung:

Methode

$\bar{v}_{1y} = v_{1y} = 20 m/s \cdot \sin(40°) = 12,86 m/s$.

$\bar{v}_{2y} = v_{2y} = 15 m/s \cdot \sin(40°) = 9,64 m/s$.

Betrachtung der x-Richtung

Für die $x$-Richtung gelten die Formeln wie bei einem geraden, zentrischen Stoß und die Endgeschwindigkeiten in $x$-Richtung können bestimmt werden durch (siehe vorherigen Abschnitt):

$\bar{v}_{1x} = \frac{m_1v_{1x} + m_2v_{2x} - e \; m_2(v_{1x} - v_{2x})}{m_1 + m_2}$

$\bar{v}_{2x} = \frac{m_1v_{1x} + m_2v_{2x} + e \; m_1(v_{1x} - v_{2x})}{m_1 + m_2}$


Es werden zunächst die Geschwindigkeitskomponenten in $x$-Richtung bestimmt:

$v_{1x} = v_1 \cos(40°) =  20 m/s \cdot \cos(40°) = 15,32 m/s$

$v_{2x} = -v_2 \cos(40°) =  -15 m/s \cdot \cos(40°) = -11,49 m/s$

Die Anfangsgeschwindigkeit der Masse $m_2$ erfolgt in negativer $x$-Richtung, weshalb diese in der Gleichung mit einem negativen Vorzeichen berücksichtigt werden muss.


Einsetzen der Werte ergibt:

$\bar{v}_{1x} = \frac{5 kg \cdot 15,32 m/s - 10 kg \cdot 11,49 m/s - 0,5 \; 10 kg \cdot (15,32 m/s + 11,49 m/s)}{5 kg + 10 kg}$

Methode

$\bar{v}_{1x} = -11,49 m/s$


$\bar{v}_{2x} = \frac{5 kg \cdot 15,32 m/s - 10 kg \cdot 11,49 m/s + 0,5 \; 5 kg (15,32 m/s + 11,49 m/s)}{5 kg + 10 kg}$

Methode

$\bar{v}_{2x} = 1,92 m/s$


Die Masse $m_1$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $\bar{v}_{1x} = -11,49 m/s$ in negative $x$-Richtung, die Masse $m_2$ mit der Geschwindigkeit $\bar{v}_{2x} = 1,92 m/s$ in positive $x$-Richtung. Es kann nun die gesamten Endgeschwindigkeiten bestimmt werden durch:

Methode

$\bar{v}_1 = \sqrt{\bar{v}_{1y}^2 + \bar{v}_{1x}^2} = \sqrt{(12,86 m/s)^2 + (-11,49 m/s)^2} = 17,25 m/s$

$\bar{v}_2 =  \sqrt{\bar{v}_{2y}^2 + \bar{v}_{2x}^2} = \sqrt{(9,64 m/s)^2 + (1,92 m/s)^2} = 9,83 m/s$

Beispiel schiefer zentrischer Stoß Endgeschwindigkeit

Es können außerdem die Richtungswinkel $\beta_1$ und $\beta_2$ bestimmt werden durch:

$\tan(\beta_1) = \frac{\bar{v}_{1y}}{\bar{v}_{1x}}$

$\tan(\beta_2) = \frac{\bar{v}_{2y}}{\bar{v}_{2x}}$

Aufgelöst nach $\beta_1$ und $\beta_2$ ergibt sich dann:

Methode

$\beta_1 = \tan^{-1} (\frac{12,86 m/s}{-11,49 m/s}) = -48,22 °$

$\beta_2 = \tan^{-1} (\frac{9,64 m/s}{1,92 m/s}) = 78,74 °$.

Das Minuszeichen bei $\beta_1$ bedeutet, dass der Winkel zur negativen $x$-Achse hin gegeben ist. Die Masse $m_1$ bewegt sich in negative $x$-Richtung, aber in positive $y$-Richtung. Die Masse $m_2$ bewegt sich hingegen in positive $x$- und $y$-Richtung.

Bestimmung der Stoßkräfte

Da nur Kräfte in $x$-Richtung auftreten gilt:

(1) $m_1v_{1x} - m_1v_x^* = -\tilde{F}_{Kx}$

(2) $m_2v_{2x} - m_2v_x^* =  \tilde{F}_{Kx}$

Einsetzen der bekannten Werte:

(1) $5 kg \cdot 15,32 m/s- 5kg \cdot v_x^* = -\tilde{F}_{Kx}$

(2) $10 kg \cdot -11,49 m/s - 10 kg \cdot v_x^* =  \tilde{F}_{Kx}$

Die Geschwindigkeit bei der maximalen Zusammendrückung $v_x^*$ die für beide Massen gleich ist, da diese sich zu diesem Zeitpunkt zusammen bewegen, ist nicht bekannt. Um diese zu eliminieren, wird z.B. (2) nach $v_x^*$ aufgelöst:

(2) $v_x^* = \frac{-10 kg \cdot -11,49 m/s + \tilde{F}_{Kx}}{-10 kg}$

Einsetzen in (1):

(1) $5 kg \cdot 15,32 m/s- 5kg \cdot \frac{-10 kg \cdot -11,49 m/s + \tilde{F}_{Kx}}{-10 kg}= -\tilde{F}_{Kx}$

Auflösen nacch $\tilde{F}_{Kx}$:

$\tilde{F}_{Kx} = (5 kg \cdot 15,32 m/s + \frac{5 kg \cdot 10 kg \cdot 11,49 m/s}{10 kg}) \cdot \frac{1}{-1 - \frac{5 kg}{10 kg}}$

Methode

$\tilde{F}_{Kx} = \tilde{F}_K = -89,37 Ns$

Da keine Stoßkraft in $y$-Richtung wirkt, ist die Stoßkraft $\tilde{F}_{Kx}$ in $x$-Richtung gleich der gesamten Stoßkraft $\tilde{F}_K$. 


Die Stoßkraft innerhalb der Restitutionsphase ergibt sich dann aus dem Zusammenhang:

(5) $\tilde{F}_{Rx} = e \; \tilde{F}_{Kx} $

Methode

$\tilde{F}_{Rx} = \tilde{F}_R = 0,5 \cdot -89,37 Ns = -44,67 Ns $

Bestimmung des Energieverlustes

Der Energieverlust kann dem Abschnitt Gerader, zentrischer Stoß zweier Körper entnommen werden:

Methode

$\triangle E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot (1 - e^2) \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} (v_1 - v_2)^2$   Energieverlust


Einsetzen der Werte ergibt:

$\triangle E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot (1 - (0,5)^2) \frac{5 kg \cdot 10 kg}{5 kg + 10 kg} (20 m/s - 15 m/s)^2 = 31,25 J$

Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 3: DynamikTechnische Mechanik 3: Dynamik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Technische Mechanik 3: Dynamik

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einführungstext
    • Einleitung zu Einführungstext
  • Kinematik eines Massenpunktes
    • Einleitung zu Kinematik eines Massenpunktes
    • Definition: Massenpunkt
    • Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
      • Einleitung zu Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
      • Lage des Massenpunktes
      • Geschwindigkeit eines Massenpunktes
        • Geschwindigkeitsvektor
          • Einleitung zu Geschwindigkeitsvektor
          • Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve
        • Bahngeschwindigkeit
          • Einleitung zu Bahngeschwindigkeit
          • Strecke zwischen zwei Punkten
          • Bahngeschwindigkeit und Bogenlänge
          • Mittlere Bahngeschwindigkeit
          • Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
          • Beispiel: Geschwindigkeit, Boot auf einem Fluss
      • Beschleunigung eines Massenpunktes
        • Beschleunigungsvektor
        • Bahnbeschleunigung
          • Einleitung zu Bahnbeschleunigung
          • Beispiel: Bahnbeschleunigung
    • Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
      • Einleitung zu Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
      • Kinematische Grundaufgaben
        • Einleitung zu Kinematische Grundaufgaben
        • Kinematische Diagramme
          • Einleitung zu Kinematische Diagramme
          • Ort-Zeit-Diagramm
          • Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
          • Beschleunigung-Zeit-Diagramm
        • Gleichförmige Bewegung
          • Einleitung zu Gleichförmige Bewegung
          • Beispiel: Gleichförmige Bewegung
          • Beispiel: Geschwindigkeit, Auto
        • Gleichförmig beschleunigte Bewegung
          • Einleitung zu Gleichförmig beschleunigte Bewegung
          • Beispiel: Freier Fall
          • Beispiel: Senkrechter Wurf
        • Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
          • Einleitung zu Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
          • Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
        • Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
          • Einleitung zu Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
          • Beispiel: Beschleunigung
        • Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort
          • Einleitung zu Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort
          • Beispiel: Funktion des Ortes
          • Beispiel: Abhängigkeit vom Ort
      • Zusammenfassung der kinematischen Grundaufgaben
    • Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
      • Einleitung zu Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
      • Sonderfall: Kreisbewegung
  • Kinetik des Massenpunktes
    • Einleitung zu Kinetik des Massenpunktes
    • Newtonsche Gesetze
    • Klassifizierung von Kräften
    • Newtonsche Grundgesetz
    • Inertialsystem
    • Prinzip von d'Alembert
    • Beispiele: Newtonsche Gesetze, d'Alembertsche Prinzip
      • Beispiel: Kiste in Ruhe
      • Beispiel: Vertikaler Wurf
      • Beispiel: Schiefer Wurf
    • Impulssatz und Impulsmomentensatz
      • Impulssatz
      • Stoßvorgänge
      • Drehimpuls / Drehimpulssatz
    • Arbeitssatz
    • Potential, Energiesatz
    • Leistung
  • Kinetik des Massenpunktsystems
    • Einleitung zu Kinetik des Massenpunktsystems
    • Massenmittelpunktsatz / Schwerpunktsatz
    • Gesamtimpuls / Impulssatz
    • Drehimpuls / Drehimpulssatz
    • Arbeitssatz
    • Energiesatz
    • Stoßvorgänge
      • Einleitung zu Stoßvorgänge
      • Stoßvorgänge - Definitionen
        • Einleitung zu Stoßvorgänge - Definitionen
        • Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper
          • Einleitung zu Gerader, Zentrischer Stoß zweier Körper
          • Beispiel: Gerader, zentrischer Stoß
        • Schiefer, zentrischer Stoß zweier Körper
          • Einleitung zu Schiefer, zentrischer Stoß zweier Körper
          • Beispiel: Schiefer, zentrischer Stoß
  • Kinematik des starren Körpers
    • Einleitung zu Kinematik des starren Körpers
    • Translation/Rotation
      • Einleitung zu Translation/Rotation
      • Rotation um eine feste Achse
      • Rotation um einen raumfesten Punkt
    • Allgemeine ebene Bewegung (starrer Körper)
    • Allgemeine räumliche Bewegung
    • Momentanzentrum
  • 72
  • 15
  • 105
  • 118
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 3: Dynamik

    Ein Kursnutzer am 11.07.2016:
    "super"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 3: Dynamik

    Ein Kursnutzer am 05.01.2016:
    "bis jetzt sehr gut! "

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen