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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Schiefer, zentrischer Stoß

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Schiefer, zentrischer Stoß

Beispiel schiefer, zentrischer Stoß zwischen zwei Massen

Beispiel

Gegeben seien die zwei obigen glatten Massenpunkte $m_1 = 5 kg$ und $m_2 = 10 kg$ mit den Geschwindigkeiten $v_1 = 20 \frac{m}{s}$ und $v_2 = 15 \frac{m}{s}$. Die Richtung der Geschwindigkeiten seien mit $\alpha = 40°$ zur Horizontalen gegeben. Wie groß sind die Endgeschwindigkeit $\bar{v}_1$ und $\bar{v}_2$ für $e = 0,5$ und die Winkel beim Abstoß? Wie groß ist der Energieverlust? Wie groß sind die Stoßkräfte $\tilde{F}_K$ und $\tilde{F}_R$

Es wird zunächst das Freikörperbild für den Stoß gezeichnet. Dafür wird die $x$-Achse in Richtung der Stoßnormalen gelegt:

Beispiel schiefer zentrischer Stoß Stoßnormale
Betrachtung der y-Richtung

Es treten nur Kräfte in $x$-Richtung auf, da es sich hier um zwei glatte Massen handelt und damit keine Reibungskraft in $y$-Richtung auftritt. Damit gilt für die $y$-Richtung innerhalb der Kompressionsphase (Phase des ersten Zusammentreffens bis zur maximalen Zusammendrückung):

$m_1v_{1y} - m_1v_y^* = 0 \; \rightarrow \; v_{1y} = v_y^*$

$m_2v_{2y} - m_2v_y^* = 0 \; \rightarrow \; v_{2y} = v_y^*$


Für die Restituionsphase (Phase von der maximalen Zusammendrückung bis zum Ende des Stoßes) gilt dann:

$m_1v_y^* - m_1 \bar{v}_{1y} = 0 \; \rightarrow \; \bar{v}_{1y} = v_y^*$

$m_2v_y^* - m_2 \bar{v}_{2y} = 0 \; \rightarrow \; \bar{v}_{2y} = v_y^*$

Insgesamt ergibt sich also:

$v_{1y} = v_0^* = \bar{v}_{1y}$

$v_{2y} = v_0^* = \bar{v}_{2y}$


Die Anfangsgeschwindigkeiten der beiden Massen in $y$-Richtung ist also gleich der Endgeschwindigkeiten der beiden Massen in $y$-Richtung:

Methode

$\bar{v}_{1y} = v_{1y} = 20 m/s \cdot \sin(40°) = 12,86 m/s$.

$\bar{v}_{2y} = v_{2y} = 15 m/s \cdot \sin(40°) = 9,64 m/s$.

Betrachtung der x-Richtung

Für die $x$-Richtung gelten die Formeln wie bei einem geraden, zentrischen Stoß und die Endgeschwindigkeiten in $x$-Richtung können bestimmt werden durch (siehe vorherigen Abschnitt):

$\bar{v}_{1x} = \frac{m_1v_{1x} + m_2v_{2x} - e \; m_2(v_{1x} - v_{2x})}{m_1 + m_2}$

$\bar{v}_{2x} = \frac{m_1v_{1x} + m_2v_{2x} + e \; m_1(v_{1x} - v_{2x})}{m_1 + m_2}$


Es werden zunächst die Geschwindigkeitskomponenten in $x$-Richtung bestimmt:

$v_{1x} = v_1 \cos(40°) =  20 m/s \cdot \cos(40°) = 15,32 m/s$

$v_{2x} = -v_2 \cos(40°) =  -15 m/s \cdot \cos(40°) = -11,49 m/s$

Die Anfangsgeschwindigkeit der Masse $m_2$ erfolgt in negativer $x$-Richtung, weshalb diese in der Gleichung mit einem negativen Vorzeichen berücksichtigt werden muss.


Einsetzen der Werte ergibt:

$\bar{v}_{1x} = \frac{5 kg \cdot 15,32 m/s - 10 kg \cdot 11,49 m/s - 0,5 \; 10 kg \cdot (15,32 m/s + 11,49 m/s)}{5 kg + 10 kg}$

Methode

$\bar{v}_{1x} = -11,49 m/s$


$\bar{v}_{2x} = \frac{5 kg \cdot 15,32 m/s - 10 kg \cdot 11,49 m/s + 0,5 \; 5 kg (15,32 m/s + 11,49 m/s)}{5 kg + 10 kg}$

Methode

$\bar{v}_{2x} = 1,92 m/s$


Die Masse $m_1$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $\bar{v}_{1x} = -11,49 m/s$ in negative $x$-Richtung, die Masse $m_2$ mit der Geschwindigkeit $\bar{v}_{2x} = 1,92 m/s$ in positive $x$-Richtung. Es kann nun die gesamten Endgeschwindigkeiten bestimmt werden durch:

Methode

$\bar{v}_1 = \sqrt{\bar{v}_{1y}^2 + \bar{v}_{1x}^2} = \sqrt{(12,86 m/s)^2 + (-11,49 m/s)^2} = 17,25 m/s$

$\bar{v}_2 =  \sqrt{\bar{v}_{2y}^2 + \bar{v}_{2x}^2} = \sqrt{(9,64 m/s)^2 + (1,92 m/s)^2} = 9,83 m/s$

Beispiel schiefer zentrischer Stoß Endgeschwindigkeit

Es können außerdem die Richtungswinkel $\beta_1$ und $\beta_2$ bestimmt werden durch:

$\tan(\beta_1) = \frac{\bar{v}_{1y}}{\bar{v}_{1x}}$

$\tan(\beta_2) = \frac{\bar{v}_{2y}}{\bar{v}_{2x}}$

Aufgelöst nach $\beta_1$ und $\beta_2$ ergibt sich dann:

Methode

$\beta_1 = \tan^{-1} (\frac{12,86 m/s}{-11,49 m/s}) = -48,22 °$

$\beta_2 = \tan^{-1} (\frac{9,64 m/s}{1,92 m/s}) = 78,74 °$.

Das Minuszeichen bei $\beta_1$ bedeutet, dass der Winkel zur negativen $x$-Achse hin gegeben ist. Die Masse $m_1$ bewegt sich in negative $x$-Richtung, aber in positive $y$-Richtung. Die Masse $m_2$ bewegt sich hingegen in positive $x$- und $y$-Richtung.

Bestimmung der Stoßkräfte

Da nur Kräfte in $x$-Richtung auftreten gilt:

(1) $m_1v_{1x} - m_1v_x^* = -\tilde{F}_{Kx}$

(2) $m_2v_{2x} - m_2v_x^* =  \tilde{F}_{Kx}$

Einsetzen der bekannten Werte:

(1) $5 kg \cdot 15,32 m/s- 5kg \cdot v_x^* = -\tilde{F}_{Kx}$

(2) $10 kg \cdot -11,49 m/s - 10 kg \cdot v_x^* =  \tilde{F}_{Kx}$

Die Geschwindigkeit bei der maximalen Zusammendrückung $v_x^*$ die für beide Massen gleich ist, da diese sich zu diesem Zeitpunkt zusammen bewegen, ist nicht bekannt. Um diese zu eliminieren, wird z.B. (2) nach $v_x^*$ aufgelöst:

(2) $v_x^* = \frac{-10 kg \cdot -11,49 m/s + \tilde{F}_{Kx}}{-10 kg}$

Einsetzen in (1):

(1) $5 kg \cdot 15,32 m/s- 5kg \cdot \frac{-10 kg \cdot -11,49 m/s + \tilde{F}_{Kx}}{-10 kg}= -\tilde{F}_{Kx}$

Auflösen nacch $\tilde{F}_{Kx}$:

$\tilde{F}_{Kx} = (5 kg \cdot 15,32 m/s + \frac{5 kg \cdot 10 kg \cdot 11,49 m/s}{10 kg}) \cdot \frac{1}{-1 - \frac{5 kg}{10 kg}}$

Methode

$\tilde{F}_{Kx} = \tilde{F}_K = -89,37 Ns$

Da keine Stoßkraft in $y$-Richtung wirkt, ist die Stoßkraft $\tilde{F}_{Kx}$ in $x$-Richtung gleich der gesamten Stoßkraft $\tilde{F}_K$. 


Die Stoßkraft innerhalb der Restitutionsphase ergibt sich dann aus dem Zusammenhang:

(5) $\tilde{F}_{Rx} = e \; \tilde{F}_{Kx} $

Methode

$\tilde{F}_{Rx} = \tilde{F}_R = 0,5 \cdot -89,37 Ns = -44,67 Ns $

Bestimmung des Energieverlustes

Der Energieverlust kann dem Abschnitt Gerader, zentrischer Stoß zweier Körper entnommen werden:

Methode

$\triangle E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot (1 - e^2) \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} (v_1 - v_2)^2$   Energieverlust


Einsetzen der Werte ergibt:

$\triangle E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot (1 - (0,5)^2) \frac{5 kg \cdot 10 kg}{5 kg + 10 kg} (20 m/s - 15 m/s)^2 = 31,25 J$