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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung $w$ bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet.

Auflösen der Differentialgleichung der Biegelinie

Um die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal:

Methode

$EI \cdot w'' = - M_y(x)$

mit

$EI$ Biegesteifigkeit

$E$ Elastizitätsmodul

$I_y$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der y-Achse (Querschnitt)

$M_y(x)$ Momentenverlauf (Schnittgröße)

Merke

Zur Integration muss diese Gleichung aber gegebenenfalls ein wenig modifiziert werden. Liegt ein veränderlicher Querschnitt des Balkens vor, müssen $ E $ und $ I_{y} $ dahingehend angepasst werden, dass auch sie neben dem Biegemoment direkt von $ x $ abhängig sind. Dann muss $E(x) I_y(x)$ mit auf die rechte Seite der Gleichung und ebenfalls mit bei der Integration berücksichtigt werden:

$ w'' = - \frac{M_y(x)}{E \cdot I_{yy}} \rightarrow \ w'' = - \frac{M_y (x)}{E(x) \cdot I_{y}(x)} $ 


Methodisches Vorgehen zur Auflösung der Differentialgleichung der elastischen Biegelinie:

1. Bestimmung des Momentenverlaufs $M_y (x)$. Dieser kann mittels der Schnittgrößen am geschnittenen Balken bestimmt werden. Liegt ein nicht konstanter Momentenverlauf vor, so muss der Balken in mehrere Bereiche unterteilt werden.

2. Falls veränderliche Biegesteifigkeit vorliegt, auch Anpassung der Gleichung in Form von $E(x) \cdot I(x)$ anstelle von $E \cdot I$.

3. Zweifache unbestimmte Integration, um die Biegelinie $w(x)$ zu bestimmen (konstante Biegesteifigkeit angenommen):

  • $EI \cdot w''(x) = - M_y(x)$

    Erste Integration $\rightarrow EI \cdot w' = - \int M_y(x) \; dx + C_1$


  • $EI \cdot w' = - \int M_y(x) \; dx + C_1$

    Zweite Integration $\rightarrow EI \cdot w = - \int [\int M_y (x) \; dx ]dx + C_1 x + C_2$

4. Bestimmung der Integrationskonstanten $C_1$ und $C_2$ mit Hilfe der Rand- und Übergangsbedingungen.

Wie die Rand- und Übergangsbedingungen bestimmt werden (Schritt 4), kann dem nachfolgenden Abschnitt entnommen werden.