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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Übersicht Formeln: Einachsige Biegung

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Übersicht Formeln: Einachsige Biegung

In diesem Abschnitt erfolgt eine Übersicht über die in den vorherigen Abschnitten aufgezeigten Formeln für die einachsige Biegung ohne Normalkraft. Dabei ist immer von einer Belastung des Balkens in $z$-Richtung ausgegangen worden, was zu einem Biegemoment um die $y$-Achse geführt hat. Es ist natürlich ebenfalls möglich, dass die Belastung in $y$-Richtung stattfindet und damit ein Moment um die $z$-Achse resultiert. Die Formeln werden dann wie folgt angepasst:

$M(y) = M(z)$

$Q_z = Q_y$

$z = y$

Die im Folgenden aufgestellen Formeln gelten für symmetrische Querschnitte, d.h. die $y,z$-Achsen stellen Hauptachsen des Querschnitts dar. Es dürfen demnach nur Belastungen in $z$-Richtung oder Belastungen in $y$-Richtung auftreten, damit die einachsige Biegung gegeben ist. Treten sowohl Belastungen in $y$- als auch in $z$-Ebene auf, so liegt schiefe Biegung vor (folgende Abschnitte).

Normalspannung (reine Biegung und Querkraftbiegung)

Belastung in $z$-Richtung:

Methode

$\sigma_x = \frac{M_y}{I_y} z $   

Belastung in $y$-Richtung:

Methode

$\sigma_x = \frac{M_z}{I_z} y $   

Neutrale Faser:

Verläuft durch den Schwerpunkt des Querschnitts. Es wird $\sigma_x = 0$.

Maximale und minimale Normalspannung (Belastung in z-Richtung)

Maximale Normalspannung: Größter Abstand $z_1$ vom Rand zur neutralen Faser bzw. zum Schwerpunkt bei $z = 0$.

Methode

$\sigma_{max} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_1 $

Minimale Normalspannung: Kleinster Abstand $z_2$ vom Rand zur neutralen Faser bzw. zum Schwerpunkt bei $z = 0$.

Methode

 $\sigma_{min} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_2 $

Widerstandsmoment

Belastung in $z$-Richtung

Methode

$W_b = \frac{I_y}{z_{max}}$  

Belastung in $y$-Richtung

Methode

$W_b = \frac{I_z}{y_{max}}$  

Schubspannung (bei Querkraftbiegung)

Belastung in $z$-Richtung:

Methode

$\tau(z) = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_z^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$

mit

$Q(z)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt

$b(z)$ Breite des Balkens, für konstante Breite ergibt sich: $b = const$.

$I_y$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $y$-Achse

$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.


Belastung in
$y$-Richtung:

Methode

$\tau(y) = \frac{Q_y}{h{y} \cdot I_z} \int_y^{y_{max}} \eta h(\eta) d\eta$

mit

$Q(y)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt

$h(y)$ Höhe des Balkens, für konstante Höhe ergibt sich: $h = const$.

$I_z$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $z$-Achse

$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $y$ zum linken Rand des Querschnittsprofils $y_{max}$.

Differentialgleichung der Biegelinie

Belastung in $z$-Richtung:

Methode

$ w(x)'' = - \frac{M_y (x)}{E \cdot I_{y}} $            

mit

$w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und

$ E\cdot I_{y}$ als Biegesteifigkeit.


Belastung in $y$-Richtung:

Methode

$ w(x)'' = - \frac{M_z (x)}{E \cdot I_{z}} $            

mit

$w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und

$ E\cdot I_{z}$ als Biegesteifigkeit.

Streckenlast in $z$-Richtung ($M_z = 0$):

Methode

$EIw^{IV}(x) = q(x)$

mit

$EI$ = konstante Biegesteifigkeit