Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt erfolgt eine Übersicht über die in den vorherigen Abschnitten aufgezeigten Formeln für die einachsige Biegung ohne Normalkraft. Dabei ist immer von einer Belastung des Balkens in $z$-Richtung ausgegangen worden, was zu einem Biegemoment um die $y$-Achse geführt hat. Es ist natürlich ebenfalls möglich, dass die Belastung in $y$-Richtung stattfindet und damit ein Moment um die $z$-Achse resultiert. Die Formeln werden dann wie folgt angepasst:
$M(y) = M(z)$
$Q_z = Q_y$
$z = y$
Die im Folgenden aufgestellen Formeln gelten für symmetrische Querschnitte, d.h. die $y,z$-Achsen stellen Hauptachsen des Querschnitts dar. Es dürfen demnach nur Belastungen in $z$-Richtung oder Belastungen in $y$-Richtung auftreten, damit die einachsige Biegung gegeben ist. Treten sowohl Belastungen in $y$- als auch in $z$-Ebene auf, so liegt schiefe Biegung vor (folgende Abschnitte).
Normalspannung (reine Biegung und Querkraftbiegung)
Belastung in $z$-Richtung:
Methode
$\sigma_x = \frac{M_y}{I_y} z $
Belastung in $y$-Richtung:
Methode
$\sigma_x = \frac{M_z}{I_z} y $
Neutrale Faser:
Verläuft durch den Schwerpunkt des Querschnitts. Es wird $\sigma_x = 0$.
Maximale und minimale Normalspannung (Belastung in z-Richtung)
Maximale Normalspannung: Größter Abstand $z_1$ vom Rand zur neutralen Faser bzw. zum Schwerpunkt bei $z = 0$.
Methode
$\sigma_{max} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_1 $
Minimale Normalspannung: Kleinster Abstand $z_2$ vom Rand zur neutralen Faser bzw. zum Schwerpunkt bei $z = 0$.
Methode
$\sigma_{min} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_2 $
Widerstandsmoment
Belastung in $z$-Richtung
Methode
$W_b = \frac{I_y}{z_{max}}$
Belastung in $y$-Richtung
Methode
$W_b = \frac{I_z}{y_{max}}$
Schubspannung (bei Querkraftbiegung)
Belastung in $z$-Richtung:
Methode
$\tau(z) = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_z^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$
mit
$Q(z)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt
$b(z)$ Breite des Balkens, für konstante Breite ergibt sich: $b = const$.
$I_y$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $y$-Achse
$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.
Belastung in $y$-Richtung:
Methode
$\tau(y) = \frac{Q_y}{h{y} \cdot I_z} \int_y^{y_{max}} \eta h(\eta) d\eta$
mit
$Q(y)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt
$h(y)$ Höhe des Balkens, für konstante Höhe ergibt sich: $h = const$.
$I_z$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $z$-Achse
$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $y$ zum linken Rand des Querschnittsprofils $y_{max}$.
Differentialgleichung der Biegelinie
Belastung in $z$-Richtung:
Methode
$ w(x)'' = - \frac{M_y (x)}{E \cdot I_{y}} $
mit
$w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und
$ E\cdot I_{y}$ als Biegesteifigkeit.
Belastung in $y$-Richtung:
Methode
$ w(x)'' = - \frac{M_z (x)}{E \cdot I_{z}} $
mit
$w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und
$ E\cdot I_{z}$ als Biegesteifigkeit.
Streckenlast in $z$-Richtung ($M_z = 0$):
Methode
$EIw^{IV}(x) = q(x)$
mit
$EI$ = konstante Biegesteifigkeit
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