ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Technische Mechanik 2: Elastostatik
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse
Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle:

Biegelinie mit Streckenlast

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Technische Mechanik 3: Dynamik:
 Am 06.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Dynamik) Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes
- Dieses 60-minütige Gratis-Webinar behandelt die geradlinige Bewegung eines Massenpunktes.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden wie die Biegelinie bestimmt wird, wenn eine Streckenlast auf den Balken wirkt. 

Anwendungsbeispiel 1: Bestimmung der Durchbiegung

Biegelinie Streckenlast

Beispiel

Gegeben sei der obige Balken, auf dem eine Streckenlast wirkt. Die Biegesteifigkeit sei konstant. Bestimme die Biegelinie!

Die Formel für die Berechnung der Biegelinie ergibt sich zu:

$EIw^{IV} = q(x)$

Die Streckenlast ist über die gesamte Balkenlänge konstant, weshalb $q(x) = q_0$:

$EIw^{IV} = q_0$

Es folgt die 1. Integration:

$EIw^{III} = \int q_0 \; dx$

$EIw^{III} = q_0 \cdot x + C_1$

2. Integration:

$EIw^{II} = \int q_0 \cdot x \; dx + \int C_1 \; dx$

$EIw^{II} = \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 + C_1 \cdot x + C_2$

3. Integration:

$EIw^{I} = \int \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 \; dx + \int C_1 \cdot x \; dx + \int C_2 \; dx$

$EIw^{I} = \frac{1}{6} q_0 \cdot x^3 + \frac{1}{2} C_1 \cdot x^2 +  C_2 \cdot x + C_3$

4. Integration:

$EIw = \int \frac{1}{6} q_0 \cdot x^3 \; dx+ \int \frac{1}{2} C_1 \cdot x^2 \; dx +  \int C_2 \cdot x \; dx + \int C_3 \; dx$

$EIw =  \frac{1}{24} q_0 \cdot x^4 +  \frac{1}{6} C_1 \cdot x^3  +  \frac{1}{2} C_2 \cdot x^2  +  C_3 \cdot x + C_4$

Es müssen als nächstes die Rand- und Übergangsbedingungen betrachtet werden. Es handelt sich links um ein Festlager und rechts um ein Loslager.

Es gilt für das Festlager bei $x = 0$:

$w = 0$, $M = 0$.

Es gilt für das Loslager bei $x = l$: 

$w = 0$, $M = 0$.


Es existieren also vier Randbedingungen, welche zur Berechnung der vier Integrationskonstanten verwendet werden können. Zunächst wird das Festlager bei $x = 0$ betrachtet. Einsetzen von $w = 0$ und $x = 0$ in $EIw$:

(1) $EI \cdot 0 =  \frac{1}{24} q_0 \cdot 0^4 +  \frac{1}{6} C_1 \cdot 0^3 +  \frac{1}{2} C_2 \cdot 0^2  +  C_3 \cdot 0 + C_4$

$\rightarrow \; C_4 = 0$

Das Moment wird beim Festlager ($x = 0$) zu null: $M = 0$. Es gilt:

$EIw^{II} = -M(x) $

Es wird also die 2. Ableitung der Biegelinie betrachtet und gleich null gesetzt. Einsetzen von $x = 0$:

(2) $EIw^{II} = \frac{1}{2} q_0 \cdot 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2 = 0$

$\rightarrow \; C_2 = 0$


Als nächstes wird das Loslager bei $x = l$ betrachtet. Einsetzen von $w = 0$ und $x = l$ sowie $C_4 = 0$ und $C_2 = 0:

(3) $EI \cdot 0 =  \frac{1}{24} q_0 \cdot l^4 +  \frac{1}{6} C_1 \cdot l^3 +  C_3 \cdot l $

Hier kann noch keine Integrationskonstante bestimmt werden.

Das Moment wird beim Loslager ($x = l$) zu null: $M = 0$. Es gilt:

$EIw^{II} = -M(x) $

Es wird also die 2. Ableitung der Biegelinie betrachtet und gleich null gesetzt. Einsetzen von $x = l$ und $C_2 = 0$:

(4) $EIw^{II} = \frac{1}{2} q_0 \cdot l^2 + C_1 \cdot l = 0$

$\rightarrow \; C_1 = -\frac{1}{2} q_0 \cdot l$

$C_1$ kann nun eingesetzt werden in (3):

$EI \cdot 0 =  \frac{1}{24} q_0 \cdot l^4 +  \frac{1}{6} \cdot -\frac{1}{2} q_0 \cdot l \cdot l^3 +  C_3 \cdot l $

$0 = \frac{1}{24} q_0 \cdot l^4 -  \frac{1}{12}  q_0 \cdot l^4  +  C_3 \cdot l $

$C_3 = \frac{1}{24} q_0 \cdot l^3$

Insgesamt ergibt sich dann die Durchbiegung:

$EIw =  \frac{1}{24} q_0 \cdot x^4 +  \frac{1}{6} C_1 \cdot x^3  +  \frac{1}{2} C_2 \cdot x^2  +  C_3 \cdot x + C_4$


Einsetzen der Integrationskonstanten:

$EIw =  \frac{1}{24} q_0 \cdot x^4 +  \frac{1}{6} ( -\frac{1}{2} q_0 \cdot l) \cdot x^3   + ( \frac{1}{24} q_0 \cdot l^3) \cdot x$

$EIw = \frac{1}{24} q_0 \cdot x^4 -  \frac{1}{12}  q_0 \cdot l \cdot x^3   +  \frac{1}{24} q_0 \cdot l^3 \cdot x$

$EIw = \frac{1}{24} q_0 \cdot (x^4 -  2  \cdot l \cdot x^3   +  l^3 \cdot x)$

Methode

$w = \frac{1}{24 \; EI} q_0 \cdot (x^4 -  2  \cdot l \cdot x^3   +  l^3 \cdot x)$

Die Durchbiegung kann auch bestimmt werden, indem ein Schnitt durch den Balken durchgeführt wird und der Momentenverlauf berechnet wird. Dafür müssen aber zunächst die Auflagerreaktionen berechnet werden. Dann wird die folgende Gleichung herangezogen:

$EIw^{II} = -M(x)$

Es ergeben sich dann zwei Integrationskonstanten, welche mit $w= 0$ bei $x=0$ und $w = 0$ bei $x = l$ bestimmt werden können.

Anwendungsbeispiel 2: Bestimmung der Durchbiegung

Biegelinie Streckenlast

Beispiel

Gegeben sei der obige Balken, auf welchen eine Streckenlast wirkt. Die Biegesteifigkeit sei konstant. Bestimme die Durchbiegung!

Die Streckenlast ist nicht konstant, weshalb zunächst der Verlauf der Streckenlast bestimmt werden muss.

Biegelinie Streckenlast

Es ergibt sich:

$q(x) = mx+b$

$m = \frac{q_2 - q_1}{l}$

$b = q_1$

$q(x) = \frac{q_2 - q_1}{l} \cdot x + q_1$


Es kann nun wieder die Integration stattfinden:

$EIw^{IV} = q(x)$

$EIw^{IV} = \frac{q_2 - q_1}{l} \cdot x + q_1$


1. Integration:

$EIw^{III} = \frac{q_2 - q_1}{l} \cdot \int x \; dx + \int q_1 \; dx$

$EIw^{III} = \frac{q_2 - q_1}{2l} \cdot  x^2 + q_1 \cdot x + C_1$

2. Integration:

$EIw^{II} = \frac{q_2 - q_1}{2l} \cdot  \int x^2 \; dx + q_1 \cdot \int x \; dx + \int C_1 \; dx$

$EIw^{II} = \frac{q_2 - q_1}{6l} \cdot  x^3 + \frac{1}{2}q_1 \cdot  x^2 + C_1 \cdot x + C_2$

3. Integration:

$EIw^{I} = \frac{q_2 - q_1}{24l} \cdot  x^4 + \frac{1}{6}q_1 \cdot  x^3 + \frac{1}{2} C_1 \cdot x^2 + C_2 \cdot x + C_3$

4. Integration:

$EIw = \frac{q_2 - q_1}{120 l} \cdot  x^5 + \frac{1}{24}q_1 \cdot  x^4 + \frac{1}{6} C_1 \cdot x^3 + \frac{1}{2} C_2 \cdot x^2 + C_3 \cdot x + C_4$

Es folgen die Randbedingungen:

$x = 0$: $w = 0$, $M = 0$

$x = l$: $w = 0$, $M = 0$

Festlager $x = 0$, $w = 0$:

$0 = \frac{q_2 - q_1}{120 l} \cdot  0^5 + \frac{1}{24}q_1 \cdot  0^4 + \frac{1}{6} C_1 \cdot 0^3 + \frac{1}{2} C_2 \cdot 0^2 + C_3 \cdot 0 + C_4$

$\rightarrow C_4 = 0$

Festlager $x = 0$, $M = w'' = 0$:

$0 = \frac{q_2 - q_1}{6l} \cdot  0^3 + \frac{1}{2}q_1 \cdot  0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2$

$\rightarrow \; C_2 = 0$

Loslager $x = l$, $M = w'' = 0$, $C_2 = 0$:

$0 = \frac{q_2 - q_1}{6 \cdot l} \cdot  l^3 + \frac{1}{2}q_1 \cdot  l^2 + C_1 \cdot l$

$C_1 = -\frac{q_2 - q_1}{6 \cdot l} \cdot  l^2 - \frac{1}{2}q_1 \cdot  l $

$C_1 = -\frac{q_2 - q_1}{6} \cdot  l - \frac{1}{2}q_1 \cdot  l $

Loslager $x = l$, $w = 0$, $C_4 = 0$, $C_2 = 0$ und $C_1$ einsetzen:

$0 = \frac{q_2 - q_1}{120 l} \cdot  l^5 + \frac{1}{24}q_1 \cdot  l^4 + \frac{1}{6} (-\frac{q_2 - q_1}{6} \cdot  l - \frac{1}{2}q_1 \cdot  l) \cdot l^3 + C_3 \cdot l$

$0 = \frac{q_2 - q_1}{120 l} \cdot  l^5 + \frac{1}{24}q_1 \cdot  l^4 - \frac{q_2 - q_1}{36} \cdot  l^4 - \frac{1}{12}q_1 \cdot  l^4 + C_3 \cdot l$

$C_3= -\frac{q_2 - q_1}{120 l} \cdot  l^4 - \frac{1}{24}q_1 \cdot  l^3 + \frac{q_2 - q_1}{36} \cdot  l^3 + \frac{1}{12}q_1 \cdot  l^3 $

$C_3= -\frac{q_2 - q_1}{120 l} \cdot  l^4 + \frac{1}{24}q_1 \cdot  l^3 + \frac{q_2 - q_1}{36} \cdot  l^3 $


Die Durchbiegung ergibt sich dann zu:

$EIw = \frac{q_2 - q_1}{120 l} \cdot  x^5 + \frac{1}{24}q_1 \cdot  x^4 + \frac{1}{6} ( -\frac{q_2 - q_1}{6} \cdot  l - \frac{1}{2}q_1 \cdot  l) \cdot x^3 + (-\frac{q_2 - q_1}{120 l} \cdot  l^4 + \frac{1}{24}q_1 \cdot  l^3 + \frac{q_2 - q_1}{36} \cdot  l^3) \cdot x $

$EIw = \frac{q_2 - q_1}{120 l} \cdot  x^5 + \frac{1}{24}q_1 \cdot  x^4 - \frac{q_2 - q_1}{36} \cdot  l \cdot x^3 - \frac{1}{12}q_1 \cdot  l \cdot x^3 -\frac{q_2 - q_1}{120} \cdot  l^3x + \frac{1}{24}q_1 \cdot  l^3x + \frac{q_2 - q_1}{36} \cdot  l^3x $

$EIw = \frac{q_2 - q_1}{120 l} \cdot  x^5 + \frac{1}{24}q_1 \cdot  x^4 - \frac{q_2 - q_1}{36} \cdot  l \cdot x^3 - \frac{1}{12}q_1 \cdot  l \cdot x^3  + \frac{1}{24}q_1 \cdot  l^3x + \frac{(q_2 - q_1)7}{360} \cdot  l^3x $

Zusammenfassen:

$EIw =  \frac{q_2 - q_1}{360} (3 \frac{x^5}{l} - 10 l x^3 + 7 l^3x) + \frac{1}{24} q_1 (x^4 - 2lx^3 + l^3x)$

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Biegelinie mit Streckenlast ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Technische Mechanik 2: Elastostatik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 2: ElastostatikTechnische Mechanik 2: Elastostatik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Elastostatik
    • Einleitung zu Kurs: Elastostatik
  • Grundlagen
    • Grundlegende Annahmen der Elastostatik
    • Statisches Gleichgewicht
    • Beanspruchungsarten
  • Stabbeanspruchungen
    • Allgemeine Definition der Spannung
    • Spannungen im Stab
      • Einleitung zu Spannungen im Stab
      • Prinzip von St. Venant
      • Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
      • Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
      • Beispiel zu Spannungen im Stab: Konischer Stab
      • Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    • Dehnung im Stab
      • Dehnung im Stab (konstante Dehnung)
      • Dehnung (Stabelement)
    • Materialgesetz / Zugversuch
      • Einleitung zu Materialgesetz / Zugversuch
      • Spannungs-Dehnungs-Diagramm
      • Hookesches Gesetz
    • Wärmedehnungen
    • Verformungen quer zur Stabachse
      • Querdehnungen
      • Volumendehnungen
      • Schubverformungen
    • Differentialgleichung eines Stabes
    • Zusammenfassung der Grundgleichungen für den Stab
    • Statisch bestimmte Stabwerke
      • Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
        • Einleitung zu Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)
        • Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)
        • Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Linienkraft)
      • Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)
    • Statisch unbestimmte Stabwerke
      • Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)
      • Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)
  • Mehrachsige Spannungszustände
    • Allgemeine Annahmen
    • Ebener Spannungszustand
      • Einleitung zu Ebener Spannungszustand
      • Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation
      • Beispiel 1: Koordinatentransformation
      • Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen
      • Beispiel 2: Koordinatentransformation
      • Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes
    • Hauptspannungen
      • Einleitung zu Hauptspannungen
      • Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
      • Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)
      • Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung
      • Beispiele: Hauptspannungen
        • Beispiel 1: Hauptspannungen
        • Beispiel 2: Hauptspannungen
    • Mohrscher Spannungskreis
      • Einleitung zu Mohrscher Spannungskreis
      • Beispiel: Mohrscher Spannungskreis
    • Ebener Verzerrungszustand
      • Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
        • Einleitung zu Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen
        • Verträglichkeitsbedingungen
        • Verzerrungstensor
      • Transformation von Verzerrungskomponenten
      • Hauptdehnungen
    • Räumlicher Verzerrungszustand
    • Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
      • Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
        • Einleitung zu Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
        • Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen
      • Hookesches Gesetz im ebenen Verzerrungszustand
      • Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
        • Einleitung zu Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand
        • Hookesches Gesetz mit Wärmedehnungen
      • Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände
  • Balkenbiegung
    • Einleitung zu Balkenbiegung
    • Arten der Biegung
    • Flächenträgheitsmomente
      • Einleitung zu Flächenträgheitsmomente
      • Flächenträgheitsmomente: Definition
      • Deviationsmomente unterschiedlicher Flächen
      • Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte
      • Beispiel zu Flächenträgheitsmomenten: Rechteck
      • Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck
      • Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation
      • Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
      • Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
      • Satz von Steiner für zusammengesetzte Flächen
    • Gerade bzw. einachsige Biegung
      • Einleitung zu Gerade bzw. einachsige Biegung
      • Reine Biegung
        • Einleitung zu Reine Biegung
        • Normalspannung bei reiner Biegung
        • Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
        • Widerstandsmoment bei reiner Biegung
      • Querkraftbiegung
        • Einleitung zu Querkraftbiegung
        • Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
      • Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung
        • Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
        • Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
      • Balkenverformung bei einachsiger Biegung
        • Einleitung zu Balkenverformung bei einachsiger Biegung
        • Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
        • Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
        • Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle
          • Einleitung zu Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle
          • Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
          • Biegelinie mit Streckenlast
          • Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
        • Superpositionsprinzip
        • Statisch unbestimmt gelagerte Balken
      • Anhang: Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen
      • Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    • Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    • Gerade und schiefe Biegung mit Zug
  • Torsion
    • Torsion von Wellen
      • Einleitung zu Torsion von Wellen
      • mit Kreisquerschnitt
        • Einleitung zu mit Kreisquerschnitt
        • Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt
      • mit Kreisringquerschnitt
    • Torsion von dünnwandigen, geschlossenen Profile
    • Torsion von dünnwandigen, offenen Profilen
  • Schub
    • Balkenverformung infolge von Schub
    • Schub bei dünnwandigen Profilen
    • Schubspannungsverteilung in dünnwandigen Profilen
    • Schubspannungsverteilung in dünnwandigen offenen Profilen
    • Schubmittelpunkt bei dünnwandigen offenen Profilen
  • Festigkeitshypothesen
    • Einleitung zu Festigkeitshypothesen
    • Hauptnormalspannungshypothese
    • Hauptschubspannungshypothese
    • Gestaltänderungsenergiehypothese
  • Stabilität und Knickung
    • Stabilitätsfälle und Gleichgewichtslagen
    • Eulersche Fälle der Stabknickung
      • Einleitung zu Eulersche Fälle der Stabknickung
      • Kritische Knickkraft
      • Kritische Knickspannung
  • 108
  • 17
  • 132
  • 214
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 14.04.2016:
    "Ich studiere Maschinenbau als Fernstudium und leider sind einige Studienheft lückenhaft und schwer verständlich geschrieben. Dieser Kurs ist das Beste was ich mir vorstellen kann!!! Ich bin so froh, dass ich diesen Kurs zufällig gefunden habe."

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 26.01.2016:
    "Sehr gut, dass man Aufgaben erst selber rechnen kann und danach die Lösung erläutert wird."

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 24.01.2016:
    "Tolles Programm! Super erklärt!"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 07.10.2015:
    "Top"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 01.06.2015:
    "Ich schreibe zwar erst meinen Midterm in Mechanik 2 und war mir beim lernen immer unsicher wie genau ich ran gehen soll. Alte Midterms rechnen oder viel wissen aneignen? Wo kriege ich, dass wissen gut erklärt her? Bei eurem Kurs muss man sich keine Gedanken mehr machen alles ist sehr übersichtlich und gut aufbereitet. Mir macht der Kurs spaß. Danke für eure Arbeit!"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 2: Elastostatik

    Ein Kursnutzer am 11.05.2015:
    "Super!!"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen