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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve

In diesem Kurstext stellen wir Ihnen drei Anwendungsbeispiele zum Thema Geschwindigkeitsvektor vor.

Beispiel zum Geschwindigkeitsvektor

Beispiel

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Gegeben sei die folgende Bahnkurve: $r(t) = (2t, 4t, 0t)$. Wie sieht der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t = 1$ aus? 

Der Punkt um den es sich hier handelt ist: $P(2,4,0)$   (Einsetzen von $t = 1$).

$ \rightarrow $ Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch die Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} = \dot{r} = (2,4,0)$. 

Man weiß nun also, in welche Richtung der Geschwindigkeitsvektor zeigt (auf den Punkt 2,4,0). Da nach der Ableitung nach $t$ keine Abhängigkeit von der Zeit mehr besteht, ist der angegebene Geschwindigkeitsvektor in diesem Beispiel für alle Punkte auf der Bahnkurve gleich, d.h. auch unabhängig von der Zeit.

Der Geschwindigkeitsvektor ist ebenfalls ein Ortsvektor, d.h. er beginnt im Ursprung und zeigt auf den Punkt (2,4,0). Man kann diesen dann (ohne seine Richtung zu verändern, also parallel zu sich selbst) in den Punkt verschieben, welcher gerade betrachtet wird. In diesem Beispiel exsitiert nur ein Geschwinigkeitsvektor für alle Punkte. D.h. der angegebene Geschwindigkeitsvektor tangiert die Bahnkurve in jedem Punkt.

Geschwindigkeitsvektor

In der obigen Grafik ist die Bahnkurve $r(t) = (2t, 4t, 0t)$ angegeben. Die einzelnen Punkte befinden sich je nach Zeit an einem unterschiedlichen Ort auf der Bahnkurve. Der Geschwindigkeitsvektor $v$ (rot) zeigt vom Ursprung auf den Punkt (2,4,0). Man sieht ganz deutlich, dass die Steigung konstant ist und deshalb der Geschwindigkeitsvektor für jeden Punkt auf der Bahnkurve gilt. Legt man den Geschwindigkeitsvektor nun (wobei seine Richtung beibehalten werden muss) in einen der Punkte, so tangiert dieser die Bahnkurve in jedem dieser Punkte.

Beispiel 2 zum Geschwindigkeitsvektor

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die folgende Bahnkurve, wobei wieder eine Koordinate null gesetzt wird, um das Problem grafisch zu veranschaulichen: $r(t) = (2t^2, 5t, 0t)$. Wie sieht der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t = 2$ aus?

Der Punkt um den es sich hier handelt ist: $P(8,10,0)$   (Einsetzen von $t = 2$).

Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} = \dot{r} = (4t,5,0)$. 

Es ist deutlich zu sehen, dass der berechnete Geschwindigkeitsvektor nicht in jedem Punkt gleich ist, da eine Abhängigkeit von der Zeit $t$ gegeben ist. Zur Zeit $t = 2$ ist der Geschwindigkeitsvektor dann:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} = (8,5,0)$.

D.h. also, dass der Geschwindigkeitsvektor $v$ für unterschiedliche Zeitpunkte auch unterschiedlich aussieht. Für $t = 2$ ergibt sich demnach ein Vektor von $\vec{v} = (8,5,0)$, welcher im Punkt $P(8,10,0)$ tangential an der Bahnkurve liegt. Zur Zeit $t = 3$ liegt der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v} = (12,5,0)$ im Punkt $P(18,15,0)$ tangential an der Bahnkurve.

Die Bahnkurve und die Punkte zu unterschiedlichen Zeitpunkten sieht wie folgt aus:

Geschwindigkeit eines Massenpunktes

Es wird nun der Geschwindigkeitsvektor für die Zeit $t=2$ eingezeichnet. Dieser zeigt vom Ursprung auf den Punkt $(8,5,0)$ so wie oben berechnet. Der Geschwindigkeitsvektor muss dann noch in den Punkt $(8,10,0)$ verschoben werden. Dabei darf die Richtung des Geschwindigkeitsvektors nicht verändert werden:

Geschwindigkeit eines Massenpunktes

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass der berechnete Geschwindigkeitsvektor (rot) für $t=2$ tangential an der Bahnkurve liegt, in dem Punkt für welchen $t=2$ gilt. Für alle anderen Punkte ($t \neq 2$) gilt dieser Geschwindigkeitsvektor nicht. Für andere Zeitpunkte muss auch ein anderer Geschwindigkeitsvektor bestimmt werden. Der allgemeine Vektor wurde berechnet durch die Ableitung der Bahnkurve:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} = \dot{r} = (4t,5,0)$. 

Für $t=3$ ist der Geschwindigkeitsvektor dann:

$\vec{v} = (12,5,0)$. Dieser gilt dann aber auch nur für den Punkt mit $t =3$ und liegt demnach auch nur in diesem Punkt tangential an der Bahnkurve.

Beispiel 3 zum Geschwindigkeitsvektor

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Bahnkurve: $r(t) = (2t^2, 5t, 7t)$. Diesmal wird keine Koordinate null gesetzt, d.h. es handelt sich hier um eine Bahnkurve durch den dreidimensionalen Raum. Wie sieht der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t=5$ aus?

Der Punkt um den es sich hier handelt ist: $P(50,25,35)$   (Einsetzen von $t = 5$).

Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch die Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} = \dot{r} = (4t,5,7)$. 

Es ist deutlich zu sehen, dass der berechnete Geschwindigkeitsvektor nicht in jedem Punkt gleich ist, da eine Abhängigkeit von der Zeit vorliegt. Zur Zeit $t$ ist der Geschwindigkeitsvektor dann:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} = (20,5,7)$.

D.h. also, dass der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ für unterschiedliche Zeitpunkte auch unterschiedlich aussieht. Für $t = 5$ ergibt sich demnach ein Vektor von $\vec{v} = (20,5,7)$, welcher im Punkt $P(50,25,35)$ tangential an der Bahnkurve liegt. Zur Zeit $t = 6$ liegt der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v} = (24,5,7)$ im Punkt $P(72,30,42)$ tangential an der Bahnkurve.