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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Arten der Biegung

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Arten der Biegung

In der technischen Mechanik ist die Biegung eine der Belastungsarten, welche am häufigsten auftritt. Hierbei werden Bauteile betrachtet, dessen Längsabmessungen um einiges größer sind als deren Querschnitte, also z.B. Balken und Bögen. In diesem Abschnitt werden die verschiedenen Arten der Biegung aufgezeigt. 

Es werden die zwei folgenden Arten der Biegung anhand der Art der Belastung voneinander unterschieden:

  1. Die reine Biegung: Bei der reinen Biegung erfolgt die Biegung des Bauteils durch das Aufbringen von zwei Biegemomenten am Ende des Bauteils. 

  2. Die Querkraft-Biegung: Bei der Querkraftbiegung erfolgt die Biegung des Bauteils durch Kräfte, welche als Querkräfte auf den Balken wirken. Dabei entsteht ein Biegemoment (wie bei der reinen Biegung) und zusätzlich dazu eine Querkraft, welche zu Schubspannungen im Bauteil führen. Diese zusätzliche Querkraft muss bei der Berechnung berücksichtigt werden. 
Reine Biegung und Querkraft-Biegung


Zusätzlich werden die zwei folgenden Arten der Biegung anhand der Wirklinie der Belastung unterschieden:

  1. Gerade Biegung (auch: einachsige Biegung): Eine gerade Biegung ist dann gegeben, wenn ein Moment um eine der Hauptachsen wirkt. Dies geschieht, wenn die äußere Belastung am Bauteil nur in die Richtung einer Hauptachse vorliegt. 

  2. schiefe Biegung (auch: zweiachsige Biegung): Bei der schiefen Biegung liegen Momente um beide Hauptachsen vor. Dies ist der Fall, wenn die äußere Kraft nicht in Richtung einer der Hauptachsen wirkt. Dann treten Momente um beide Hauptachsen auf.

Merke

Hauptachsen (Hauptrichtungen) sind diejenigen Achsen, bei denen die Flächenträgheitsmomente ihre Extremwerte annehmen. Bei symmetrischen Körpern sind dies alle Symmetriachsen bzw. die zu den Symmetrieachsen senkrecht stehenden Achsen. Bei unsymmetrischen Körpern existieren zwei Hauptachsen. Die Berechnung erfolgt im Kapitel Hauptträgheitsmomente.

Bei der geraden und schiefen Biegung muss zwischen einem symmetrischen und asymmetrischen Querschnitt unterschieden und die Wirkrichtung der Belastung berücksichtigt werden.

Merke

Die Symmetrie wird immer in Abhängigkeit vom $y,z$-Koordinatensystem des Querschnitts bestimmt. Das bedeutet, ein Querschnitt wird als asymmetrisch betrachtet, wenn die $y$- und $z$-Achse keine Symmetrieachsen des Querschnittes darstellen.

Arten der Biegung anhand der Wirklinie der Belastung

Besitzt der Balken den obigen rechteckigen Querschnitt, so ist dieser symmetrisch bezüglich der $y,z$-Achsen. Beide Achsen stellen in diesem Fall Symmetrieachsen dar. Die Hauptachsen sind also gleichzeitig die $y,z$-Achsen und verlaufen durch den Schwerpunkt des rechteckigen Querschnittes. Wirkt nun die Kraft $F$ in Richtung einer der beiden Hauptachsen, so liegt eine gerade Biegung vor.

Beim obigen linken Querschnitt wirkt die Belastung in Richtung der $z$-Achse. Es liegt ein Moment um die $y$-Achse vor, welche eine Hauptachse darstellt. Es handelt sich um eine gerade Biegung. Wirkt die Kraft nicht in Richtung einer der beiden Hauptachsen, so liegt die schiefe Biegung vor. Im obigen Fall tritt für den rechten Querschnitt eine Durchbiegung in positive $z$-Richtung und in negative $y$-Richtung auf. Es handelt sich demnach um eine zweiachsige Biegung (= schiefe Biegung). Die Kraft kann auch zerlegt werden in eine Kraft in $y$-und in $z$-Richtung. Es erfolgt also eine Belastung um beide Hauptachsen (= zweiachsige bzw. schiefe Biegung).

Arten der Biegung schiefe, gerade

Betrachtet man nun Querschnitte, welche asymmetrisch bezüglich der $y,z$-Achsen ist, so fallen die Hauptachsen nicht mehr mit den $y,z$-Achsen zusammen. Ein Kraftangriff in Richtung der $z$-Achse zum Beispiel führt dann zwar zur Biegung des Balkens in $z$-Richtung bzw. zu einem Moment um die $y$-Achse, allerdings sind die Hauptachsen relevant. Die Kraftwirkung in $z$-Richtung führt zur Balkenbiegung in Richtung der beiden Hauptachsen (siehe rote gestrichelte Linie). Es liegt demnach eine schiefe Biegung vor. Für den rechten Querschnitt liegt hingegen eine gerade Biegung vor, weil die Kraft in Richtung einer der Hauptachsen wirkt.


Bevor nun aber die einachsige und schiefe Biegung behandelt wird, werden zunächst die Flächenträgheitsmomente betrachtet, welche für die spätere Berechnung der Normalspannung bei einachsiger und schiefer Biegung benötigt werden.