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Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung:

Maximale Normalspannung bei reiner Biegung

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
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In diesem Abschnitt wird das durch die einachsige reine Biegung verursachte Spannungsmaximum und Spannungsminimum aufgeführt. 

Normalspannungen

In Bezug auf Beanspruchungen gilt, dass einem äußeren Moment (reine Biegung) innere Spannungen entgegen wirken. Bevor wir nun mit deren Bestimmung beginnen, treffen wir zuvor zwei Annahmen

  • Annahme nach Bernoulli: Die Querschnitte bleiben bei einer Verformung eben.
  • Annahme nach St. Vernant: Die Krafteinleitungsstelle darf nicht direkt neben einer Einspannung liegen, d.h. es muss ein Abstand eingehalten werden. 

Aus diesen Annahmen können wir ableiten, dass die Normalspannungen über die Querschnittshöhe des Trägers als linear verteilt angenommen werden. 

Merke

Exkurs Technische Mechanik:

Das Verhältnis für die Biegung von Höhe zum frei hängenden Bereich muss 1 zu 5 sein, damit es nicht zur Knickung kommt. $\rightarrow l \ge 5 \cdot h $

In der folgenden Grafik ist ein Balken unter reiner Biegung veranschaulicht. Der Querschnitt des Balkens ist quadratisch: 

Reine Biegung - Querschnitt

Die neutrale Faser verläuft mittig, da der Schwerpunkt des Balkens mit quadratischem Querschnitt genau in der Mitte liegt. Der Verlauf der Normalspannungen wird in der folgenden Grafik veranschaulicht:

Reine Biegung - Spannungsmaximum

Das Spannungsmaximum $\sigma_{max}$ und das Spannungsminimum $\sigma_{min}$ findet man wegen der linearen Verteilung dort, wo der Abstand zur neutralen Faser (die durch den Schwerpunkt festgelegt ist) am größten ist. Die neutrale Faser befindet sich bei dem obigen Balken in der Mitte (Schwerpunkt liegt ebenfalls in der Mitte, da der Balken eine quadratische Fläche aufweist). Das Spannungsmaximum bzw. -minimum befindet sich also an den Rändern. Zudem erfährt der Balken durch die reine Biegung nach oben eine Stauchung an der Oberseite und eine Dehnung an der Unterseite (der Balken wird an den Enden nach oben gebogen).

Die Gleichung für die Spannung ist bei reiner Biegung formal beschrieben durch (vorheriger Abschnitt):

Methode

Spannung: $\sigma_x(z) = \frac{M_y}{I_y} \cdot z $

Dabei steht $ I_y $ für das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts.


Es zeigt sich, dass an der Stelle $ z = z_1 $ die höchsten Beanspruchungen durch Biegung auftreten. Bei einem positiven Biegemoment gilt dann für die maximale Spannung:

Methode

Maximale Spannung: $\sigma_{max} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_1 $

und für die minimale Spannung:

Methode

Minimale Spannung: $\sigma_{min} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_2 $ 

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Maximale Normalspannung bei reiner Biegung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Technische Mechanik 2: Elastostatik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 2: ElastostatikTechnische Mechanik 2: Elastostatik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Technische Mechanik 2: Elastostatik

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    Ein Kursnutzer am 14.04.2016:
    "Ich studiere Maschinenbau als Fernstudium und leider sind einige Studienheft lückenhaft und schwer verständlich geschrieben. Dieser Kurs ist das Beste was ich mir vorstellen kann!!! Ich bin so froh, dass ich diesen Kurs zufällig gefunden habe."

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    Ein Kursnutzer am 01.06.2015:
    "Ich schreibe zwar erst meinen Midterm in Mechanik 2 und war mir beim lernen immer unsicher wie genau ich ran gehen soll. Alte Midterms rechnen oder viel wissen aneignen? Wo kriege ich, dass wissen gut erklärt her? Bei eurem Kurs muss man sich keine Gedanken mehr machen alles ist sehr übersichtlich und gut aufbereitet. Mir macht der Kurs spaß. Danke für eure Arbeit!"

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