ZU DEN KURSEN!

Technische Mechanik 2: Elastostatik - Maximale Normalspannung bei reiner Biegung

Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Maximale Normalspannung bei reiner Biegung

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Maximale Normalspannung bei reiner Biegung

Inhaltsverzeichnis

In diesem Abschnitt wird das durch die einachsige reine Biegung verursachte Spannungsmaximum und Spannungsminimum aufgeführt. 

Normalspannungen

In Bezug auf Beanspruchungen gilt, dass einem äußeren Moment (reine Biegung) innere Spannungen entgegen wirken. Bevor wir nun mit deren Bestimmung beginnen, treffen wir zuvor zwei Annahmen

  • Annahme nach Bernoulli: Die Querschnitte bleiben bei einer Verformung eben.
  • Annahme nach St. Vernant: Die Krafteinleitungsstelle darf nicht direkt neben einer Einspannung liegen, d.h. es muss ein Abstand eingehalten werden. 

Aus diesen Annahmen können wir ableiten, dass die Normalspannungen über die Querschnittshöhe des Trägers als linear verteilt angenommen werden. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Exkurs Technische Mechanik:

Das Verhältnis für die Biegung von Höhe zum frei hängenden Bereich muss 1 zu 5 sein, damit es nicht zur Knickung kommt. $\rightarrow l \ge 5 \cdot h $

In der folgenden Grafik ist ein Balken unter reiner Biegung veranschaulicht. Der Querschnitt des Balkens ist quadratisch: 

Reine Biegung - Querschnitt

Die neutrale Faser verläuft mittig, da der Schwerpunkt des Balkens mit quadratischem Querschnitt genau in der Mitte liegt. Der Verlauf der Normalspannungen wird in der folgenden Grafik veranschaulicht:

Reine Biegung - Spannungsmaximum

Das Spannungsmaximum $\sigma_{max}$ und das Spannungsminimum $\sigma_{min}$ findet man wegen der linearen Verteilung dort, wo der Abstand zur neutralen Faser (die durch den Schwerpunkt festgelegt ist) am größten ist. Die neutrale Faser befindet sich bei dem obigen Balken in der Mitte (Schwerpunkt liegt ebenfalls in der Mitte, da der Balken eine quadratische Fläche aufweist). Das Spannungsmaximum bzw. -minimum befindet sich also an den Rändern. Zudem erfährt der Balken durch die reine Biegung nach oben eine Stauchung an der Oberseite und eine Dehnung an der Unterseite (der Balken wird an den Enden nach oben gebogen).

Die Gleichung für die Spannung ist bei reiner Biegung formal beschrieben durch (vorheriger Abschnitt):

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Spannung: $\sigma_x(z) = \frac{M_y}{I_y} \cdot z $

Dabei steht $ I_y $ für das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts.


Es zeigt sich, dass an der Stelle $ z = z_1 $ die höchsten Beanspruchungen durch Biegung auftreten. Bei einem positiven Biegemoment gilt dann für die maximale Spannung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Maximale Spannung: $\sigma_{max} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_1 $

und für die minimale Spannung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Minimale Spannung: $\sigma_{min} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_2 $