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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung

Anwendungsbeispiel: QuerkraftBiegung

Beispiel Widerstandsmoment berechnen
Beispiel Widerstandsmoment berechnen

Beispiel

Gegeben sei der folgende Balken mit quadratischem Kastenquerschnitt der Dicke $b = 20 mm$, der Breite $a$ und der Länge $l = 20m$. Das zulässige $\sigma_{zul}$ sei $150 N /mm^2$ und darf nicht überschritten werden. Die äußere Belastung sei $F = 100kN$. Wie groß müssen die Seitenlängen $a$ dann sein?

Da der Querschnitt vorgegeben ist, gilt folgende Gleichung:

$\sigma_{zul} \ge \frac{|M_y|}{W_b}$  

Berechnung des Biegemoments

Dieses wird aus den Gleichgewichtsbedingungen am geschnittenen Balken berechnet. Zunächst müssen aber die Lagerkräfte (A = Festlager, B = Loslager) berechnet werden:

$\curvearrowleft A: B \cdot l - F \cdot \frac{2}{3} l = 0 \; \rightarrow \; B = \frac{2}{3} F$

$\curvearrowleft B: -A \cdot l + F \cdot \frac{1}{3} l = 0 \; \rightarrow \; A = \frac{1}{3} F$


Nachdem nun die Lagerkräfte bestimmt sind, kann das Biegemoment berechnet werden. Dazu wird der Schnitt bei der äußeren Last $F$ durchgeführt, da hier das Biegemoment am größten ist. Es wird das linke Schnittufer betrachtet:

$\curvearrowleft: M_y - A \cdot \frac{2}{3} \cdot l = 0$

$M_y = A \cdot \frac{2}{3} \cdot l$           |Einsetzen von $A = \frac{1}{3} F$ 

Methode

$M_y = \frac{2}{9} \cdot F \cdot l$

Das Schnittmoment $M_y$ dreht um die $y$-Achse.

Berechnung des Flächenträgheitsmoments: 1.Alternative

Das Widerstandsmoment berechnet sich durch:

$W = \frac{I_{y}}{z_{max}}$

Es muss also zunächst das Flächenträgheitsmoment $I_{y}$ berechnet werden:

Für das dünnwandige Profil gehen wir nun folgendermaßen vor:

Flächenträgheitsmoment dünnwandiges Quadrat

Das dünnwandige Profil wird in der Mitte geteilt. Es wird als erstes die linke Seite betrachtet und das Flächenträgheitsmoment für das große Rechteck (links) und die beiden Teilrechtecke (oben und unten) bestimmt. Das Ganze wird dann am Ende mit zwei multipliziert, um das gesamte Profil zu erhalten.

Da hier b << a gilt, können die Glieder, für welche $b^n$ mit $n > 1$ sind, vernachlässigt werden.

Großes Rechteck

Das Flächenträgheitsmoment wird für das große Rechteck berechnet mit:

$I_{y} = \frac{a^3 b}{12}$  

Da die $y$-Achse durch den Schwerpunkt verläuft, gibt es keinen Steinerschen Anteil für das große Rechteck.

Kleine Rechtecke

Für die beiden kleinen Rechtecke gilt, dass die $y$-Achse nicht durch den Schwerpunkt geht und damit auch der Steinersche Anteil berücksichtigt werden muss. Es wird zunächst ein Rechteck betrachtet:

$I_{y} = \frac{1}{12} b^3 \frac{(a-2b)}{2} +( \frac{a - 2b}{2} + \frac{b}{2})^2 \cdot \frac{a - 2b}{2} \cdot b$

Der erste Summand ist das Flächenträgheitsmoment bezogen auf den eigenen Schwerpunkt. Dieser ist beim Rechteck mittlerweile bekannt. Wichtig ist immer, dass die Seite des Rechtecks, die senkrecht zu der betrachteten Achse zeigt (hier $y$-Achse), das hoch drei erhält.

Der zweite Summand ist der Abstand $z^2$ von dem Koordinatenursprung hin zum Schwerpunkt des betrachteten Rechtecks und das multipliziert mit der Fläche des Rechtecks.

Das Ganze muss nun aufgelöst werden:

$I_{y} =  \frac{1}{12} b^3 \frac{(a-2b)}{2} +( \frac{a - 2b}{2} + \frac{b}{2})^2 \cdot \frac{a - 2b}{2} \cdot b$

$= \frac{b^3a}{24} - \frac{b^4}{12} + \frac{1}{4} (a - b)^2 \cdot \frac{ab}{2} - \frac{2b^2}{2}$

$= \frac{b^3a}{24} - \frac{b^4}{12} + \frac{1}{4} (a^2 - 2ab + b^2) \cdot \frac{ab}{2} - \frac{2b^2}{2}$

$= \frac{b^3a}{24} - \frac{b^4}{12} + \frac{a^3b}{8} - \frac{a^2b^2}{4} - \frac{a^2b^2}{4} +\frac{ab^3}{2} + \frac{b^3a}{8} -\frac{b^4}{4}$

Alle Glieder mit quadratischem $b$ oder größer können vernachlässigt werden:

$I_{y} =  \frac{a^3b}{8}$

Das ganze mal zwei, damit beide kleinen Rechtecke berücksichtigt werden:

$I_{y} = \frac{a^3b}{4}$

Zusammenführung der Rechtecke

Es werden nun die Rechtecke zusammengeführt:

$I_{y} = \frac{a^3 b}{12} + \frac{a^3b}{4} = \frac{a^3b}{3}$

Das ganze noch mal zwei, damit das gesamte quadratische Profil berücksichtigt wird:

Methode

$I_{y} = 2 \cdot \frac{a^3b}{3} = \frac{2}{3} a^3b$

Berechnung des Flächenträgheitsmoments: 2.Alternative

Es besteht auch die Möglichkeit das innere Quadrat vom äußeren Quadrat abzuziehen. Dies ist auch die einfachere und übersichtlichere Methode. 

Für das große Quadrat gilt:

$I_{y} = \frac{a^4}{12}$

Für das kleine Quadrat gilt:

$I_{y} = \frac{(a-2b)^4}{12}$

Das kann man auch schreiben als:

$I_{y} = \frac{1}{12} (a-2b)^2 \cdot (a-2b)^2$

Auflösen mit der binomischen Formel und dann miteinander multiplizieren liefert:

$I_{y} = \frac{1}{12} (a^2 - 4ab + 4b^2) (a^2 - 4ab + 4b^2)$

$I_{y} = \frac{1}{12} (a^4 - 4a^3b + 4a^2b^2 - 4a^3b + 16a^2b^2 -16ab^3 + 4b^2a^2 - 16a^2b^2 + 16b^4)$

Alle Glieder mit quadratischem $b$ oder größer können vernachlässigt werden:

$I_{y} = \frac{1}{12} (a^4 - 4a^3b - 4a^3b)$

$I_{y} = \frac{a^4}{12} - \frac{2a^3b}{3}$ 

Das kleine von dem großen Quadrat abziehen:

$I_y = \frac{a^4}{12} - (\frac{a^4}{12} - \frac{2a^3b}{3})$ 

Methode

$I_{y} =  \frac{2a^3b}{3}$

Berechnung des Widerstandsmoments

$W_b = \frac{I_{y}}{z_{max}}$

Es muss nun der maximale Abstand von der neutralen Faser (verläuft durch den Schwerpunkt, also mittig) zum Rand ermittelt werden. Das maximale $z$ liegt bei $\frac{a}{2}$:

$W_b = \frac{\frac{2a^3b}{3}}{\frac{a}{2}}$

$W_b = \frac{4}{3}a^2b$

Berechnung der Seite

Hier wird wieder die Ausgangsgleichung verwendet:

$\sigma_{zul} \ge \frac{|M_y|}{W_b}$  

Alles eingesetzt und dann auflösen nach der Seite $a$ ergibt:

$150 N/mm^2 \ge \frac{\frac{2}{9}\cdot F \cdot l}{\frac{4}{3}a^2b}$

$150 N/mm^2 \ge \frac{\frac{2}{9} 100.000 N \cdot 20.000 mm}{\frac{4}{3}a^2 \cdot 20 mm}$

$a \ge 333 mm$


In diesem Beispiel wurde eine zulässige Spannung angegeben, welche nicht überschritten werden darf. Es wurde demnach der Balken dort geschnitten, wo die Spannung am größten ist, und dies ist der Fall bei der maximalen Biegung des Balkens. Die Kraft $F$ drückt den Balken nach unten, die maximale Biegung tritt demnach genau dort auf, wo $F$ wirkt. Der Schnitt wurde aufgrunddessen bei $F$ durchgeführt. 

Merke

Hinweis: Die Verformung des Balkens, also die Absenkung $w$ des Balkens aufgrund der Belastung $F$, muss hier in zwei Bereiche unterteilt werden. Der Bereich von $A$ bis $F$ und der Bereich von $F$ bis $B$ (Abschnitt: Lösung von Mehrbereichsaufgaben). Diese Verformung des Balkens bezeichnet man als elastische Biegelinie. In den folgenden Abschnitten wird auf die Berechnung der Verformung mittels Differentialgleichung eingegangen.