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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Widerstandsmoment bei reiner Biegung

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Widerstandsmoment bei reiner Biegung

Für die technische Beurteilung ist häufig nur die betragsmäßig größte Spannung $\sigma_{x,max}$ von Interesse:

$\sigma_{x,max} = \frac{|M_y|}{I_y} \cdot |z_{max}|$

Hierfür wird das Moment als Betrag berücksichtigt und der maximale Abstand $z_1$ oder $z_2$ (je nachdem, welcher der beiden Abstände größer ist) wird als positive Zahl eingesetzt, weil keine Unterscheidung zwischen Minimum und Maximum vorgenommen wird.

Widerstandsmoment neutrale Faser
Maximaler Abstand von der neutralen Faser

In der obigen Grafik ist ein Balken gegeben, welcher einen rechteckigen Querschnitt aufweist. Der Schwerpunkt liegt demnach in der Mitte des Querschnittes bei $\frac{z}{2}$ und $\frac{b}{2}$. Die neutrale Faser verläuft durch diesen Schwerpunkt. Die Abstände von der neutralen Faser zu den Rändern $z_1$ und $z_2$ sind identisch. Daraus folgt $z_{max} = z_1 = z_2$.

Widerstandsmoment neutrale Faser
Maximaler Abstand von der neutralen Faser

In der obigen Grafik ist ein Balken mit einem trapezförmigen Querschnitt gegeben. Der Schwerpunkt liegt hier nicht mehr mittig. Die Abstände von der neutralen Faser in zu den Rändern sind also nicht mehr identisch. Es gilt $z_1

Widerstandsmoment

Zur Vereinfachung wird das Widerstandsmoment $W_b$ gegen Biegung eingeführt. Hiermit ist es möglich das Betragsmaximum der Spannung auszudrücken:

Methode

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$W_b = \frac{I_y}{z_{max}}$                        Widerstandsmoment

Das Widerstandsmoment setzt das Flächenträgheitsmoment $I$ ins Verhältnis zum maximalen senkrechten Abstand $z_{max}$ der Randfaser zur neutralen (spannungsfreien) Faser. In der Randfaser treten die gesuchten maximalen Bauteilbeanspruchungen auf.

Das Widerstandsmoment ist eine allein aus der Geometrie (Form und Maße) eines Balkenquerschnitts abgeleitete Größe. Sie ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei Belastung der Entstehung innerer Spannungen entgegensetzt.

Berechnung mit zulässiger Normalspannung

Ist beispielsweise in der Aufgabenstellung ein $\sigma_{zul}$ gegeben, dann gilt zu prüfen:

$\sigma_{zul} \ge \sigma_{x_{max}}$.

Daraus folgt:

Methode

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$\sigma_{zul} \ge \frac{|M_y|}{W_b}$                       |$M$, $\sigma_{zul}$ und Querschnitt gegeben