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Schiefe bzw. zweiachsige Biegung

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In den vorherigen Abschnitten wurde gezeigt, wie die Normalspannungen und die Biegelinie für die einachsige Biegung bestimmt werden können. Bei der einachsigen Biegung (Belastung in der $x,z$-Ebene) erfolgte die Durchbiegung in Richtung der Hauptachse $z$. Das Biegemoment $M_y$ wirkte demnach um die Hauptachse $y$ des Querschnitts.

In den folgenden Abschnitten wird nun die zweiachsige bzw. schiefe Biegung betrachtet (ohne Zug-/Druckkraft). Hierbei wirkt das Moment nicht mehr nur um eine Hauptachse, sondern um beide Hauptachsen.

Merke

Eine zweiachsige Biegung liegt vor, wenn Momente um beide Hauptachsen auftreten. Dies ist der Fall, wenn die Summe aller auf einen Balken wirkenden Kräfte nicht in Richtung einer der Hauptachsen zeigt.

Für die folgenden Betrachtungen werden hierzu Balken mit symmetrischen und asymmetrischen Querschnittsprofilen betrachtet. Dabei sei auf die Herleitung der Formeln verzichtet.

Symmetrische Querschnittsprofile

Für symmetrische Querschnittsprofile bezüglich der $y,z$-Achsen stellen diese Achsen auch gleichzeitig die Hauptachsen dar. Eine schiefe Biegung liegt also dann vor, wenn Momente um die beiden $y,z$-Hauptachsen vorliegen. Dies ist der Fall, wenn Kräfte gegeben sind, die sowohl in $y$-Richtung als auch in $z$-Richtung wirken. Fasst man diese Kräfte zu einer einzigen Kraft zusammen (Resultierende), so erhält man eine Kraft die in keine der beiden Achsen wirkt. Die Definition für schiefe Biegung im Abschnitt Arten der Biegung ist dann also erfüllt: "Dies ist der Fall, wenn die Summe aller äußeren Kräfte nicht in Richtung einer der Hauptachsen wirkt."

Schiefe Biegung bei symmetrischen Querschnitten

In der obigen Grafik ist ein einfach symmetrischer Querschnitt abgebildet ($z$-Achse ist Symmetrieachse). Die $y,z$-Achsen stellen also die Hauptachsen des Querschnitts dar. Die Belastungen erfolgen in $y,z$-Richtung. Es liegen demnach Momente um beide Achsen vor (=zweiachsige bzw. schiefe Biegung).

Asymmetrische Querschnittsprofile

Für asymmetrische Querschnittsprofile bezüglich der $y,z$-Achsen gilt, dass die $y,z$-Achsen, die durch den Schwerpunkt des Querschnittes verlaufen nicht gleichzeitig die Hauptachsen des Querschnittes darstellen. Hier tritt schiefe Biegung auf, wenn bereits eine Kraft in Richtung einer der $y,z$-Achsen verläuft. Das bedeutet also, dass für asymmetrische Querschnitte schiefe Biegung vorliegt, wenn die Belastung in $y$-Richtung oder in $z$-Richtung oder in beiden stattfindet. Auch hier gilt wieder: "Schiefe Biegung liegt vor, wenn die Summe aller äußeren Kräfte nicht in Richtung einer der Hauptachsen wirkt."

Merke

Bei asymmetrischen Querschnittsprofilen kann auch gerade Biegung auftreten. Dies ist der Fall, wenn die Summe aller äußeren Kräfte in Richtung einer der Hauptachsen des Querschnittes wirkt. Da dies aber eher selten ist, wird dieser Fall nicht betrachtet. 

Um dies zu zeigen, wird der folgende Balken mit asymmetrischer Querschnittsfläche betrachtet, welche durch Kräfte in $y$- und $z$-Richtung belastet wird:

Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
Schiefe Biegung

Es würde bereits ausreichen, dass Kräfte in einer Richtung angreifen, damit schiefe Biegung vorliegt. Die $y,z$-Achsen stellen nicht die Hauptachsen dar. Die Hauptachsen $I_1$ und $I_2$ sind in der rechten Abbildung gegeben. Treten nur Kräfte in $z$-Richtung auf, so erfolgen Momente um beide Hauptachsen $I_1$ und $I_2$. Dies kann man sich vorstellen, indem man die Kräfte in $z$-Richtung zu einer einzigen Kraft zusammenfasst. Diese Kraft kann dann in Richtung $I_1$ und $I_2$ zerlegt werden. Demnach liegt schiefe Biegung vor, da beide Hauptachsen betroffen sind. Dasselbe gilt für die Kräfte, die in $y$-Richtung angreifen. Nun greifen aber Kräfte in beide Richtungen an. Wenn man nun alle angreifenden Kräfte zu einer einzigen Kraft zusammenfasst und diese nicht in Richtung einer der beiden Hauptachsen zeigt, dann liegt schiefe Biegung vor. Zeigt die zusammengefasste Kraft in Richtung einer der Hauptachsen, dann liegt gerade Biegung vor.

Normalspannungen bei schiefer Biegung ohne Zug-/Druckkraft

Die Normalspannung bei schiefer Biegung ohne Zug- / Druckkraft ($N = 0$) ergibt sich zu:

Methode

$\sigma_x = \frac{(M_y \cdot I_z - M_z \cdot I_{yz}) z - (M_z \cdot I_y - M_y \cdot I_{yz}) y}{I_y \cdot I_z - I_{yz}^2}$    Normalspannung bei asymmetrischem Querschnitt

Methode

$\sigma_x = \frac{M_y \cdot I_z \cdot z - M_z \cdot I_y \cdot y}{I_y \cdot I_z}$    Normalspannung bei symmetrischem Querschnitt ($I_{yz} = 0$)

Wird nur in $z$-Richtung belastet, so fällt das Moment $M_y$ weg. Erfolgt die Belastung nur in $y$-Richtung, so wird $M_z = 0$.

Differentialgleichung der Biegelinie

Für asymmetrische Querschnitte ergibt sich:

Methode

$Ew'' = -\frac{M_y \cdot I_z - M_z \cdot I_{yz}}{I_y \cdot I_z - I_{yz}^2}$   Verbiegung in $z$-Richtung

Methode

$Ev'' = -\frac{M_z \cdot I_y - M_y \cdot I_{yz}}{I_y \cdot I_z - I_{yz}^2}$   Verbiegung in $y$-Richtung


Für symmetrische Querschnitte gilt ($I_{yz} = 0$):

Methode

$Ew'' = -\frac{M_y}{I_y}$   Verbiegung in $z$-Richtung

Methode

$Ev'' = -\frac{M_z}{I_z}$   Verbiegung in $y$-Richtung

Erfolgt die Belastung nur in $z$-Richtung, wird $M_y = 0$. Bei Belastung nur in $y$-Richtung ergibt sich $M_z = 0$. Für symmetrische Querschnitte wird gleich sichtbar, dass die einachsige Biegung vorliegt, wenn die Belastung nur in eine Richtung erfolgt. Für asymmetrische Querschnitte wird sichtbar, dass die Balkenbiegung sowohl in $y$- als auch in $z$-Richtung erfolgt, auch wenn die Belastung nur in eine Richtung stattfindet.

Die Vorgehensweise zur Bestimmung der Biegelinie ist identisch mit der Berechnung für die einachsige Biegung. Die Differentialgleichung muss zweimal integriert werden. Die anfallenden Integrationskonstanten können dann aus den Rand- und Übergangsbedingungen entnommen werden. 

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Schiefe bzw. zweiachsige Biegung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Technische Mechanik 2: Elastostatik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 2: ElastostatikTechnische Mechanik 2: Elastostatik
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

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