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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation

In der nächsten Betrachtung soll herausgefunden werden, welchen Einfluss die Änderung des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben. 

Drehung des Koordinatensystems

Dazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet:

EBZ Transformation Scheibe

Die resultierende Spannungsmatrix ist: 

$\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} \end{bmatrix} $ 

Es wird nun der Einfluss der Drehung des Koordinatensystems [x,y] um den Winkel $\alpha$ auf die Spannungskomponenten untersucht. Hierzu wird das Koordinatensystem im mathematisch positiven Sinn [gegen den Uhrzeigersinn] um den Winkel $\alpha$ gedreht. Es entsteht ein neues Koordinatensystem mit den Richtungen $x^*$ und $y^*$.

Drehung des Koordinatensystems
Drehung des Koordinatensystems

Als nächstes wird ein dreieckförmiges Scheibenelement so herausgeschnitten, dass der Normalenvektor $n$ in $x^*$-Richtung zeigt. Da der Normalenvektor senkrecht (im 90° Winkel) auf der Querschnittsfläche liegt, muss der Schnitt also so erfolgen, dass dieser senkrecht zum Normalenvektor durchgeführt wird. Die Normalspannung $\sigma_x$ steht ebenfalls senkrecht auf der Querschnittsfläche des herausgeschnittenen Dreiecks:

Dreieckförmiges Scheibenelement

Der Winkel $\alpha$ des Dreiecks wurde übernommen, da der Normalenvektor $n$ den Winkel $\alpha$ zur Horizontalen (x-Achse) besitzt und senkrecht auf der Querschnittsfläche $dA$ steht. Somit hat die Vertikale ($y$-Achse) den Winkel $\alpha$ zur Querschnittsfläche $dA$. Die Querschnittsfläche für die Bereiche $\sigma_x$ und $\sigma_y$ muss berechnet werden. Dazu wird die Winkelberechnung Sinus und Kosinus eines Dreiecks herangezogen:

Übersicht zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen
Übersicht zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen

Mittels der obigen Grafik können nun die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden:

  • in Normalenrichtung:

$\nearrow : \sigma_{x^*} \cdot dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) - \sigma_y \sin (\alpha) \cdot dA \sin (\alpha) - \tau_{xy} \sin (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) - \tau_{yx} \cos (\alpha) \cdot dA \sin (\alpha) = 0$

  • in Tangentialrichtung (parallel zu dA):

$\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma_x \sin (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) + \tau_{yx} \sin (\alpha) \cdot dA \sin (\alpha) - \sigma_y \cos (\alpha) \cdot dA \sin (\alpha) - \tau_{xy} \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$


Auflösen der beiden Gleichungen nach $\sigma_{\alpha}$ und nach $\tau_{\alpha}$ ergibt unter Berücksichtigung von $\tau_{xy} = \tau_{yx}$:

$ \sigma_{x^*} =\sigma_x \cos^2 (\alpha) + \sigma_y \sin^2 (\alpha) + 2 \tau_{xy} \sin (\alpha) \cos (\alpha) $ 

$\tau_{x^*y^*} = (-\sigma_x + \sigma_y) \sin (\alpha) \cos (\alpha) + \tau_{xy} (\cos^2 (\alpha) - \sin^2 (\alpha))$

Änderung des Schnittwinkels

In einem nächsten Schritt soll der Schnittwinkel geändert werden. Die Querschnittsfläche soll jetzt so gewählt werden, dass der Normalenvektor in $y^*$-Richtung zeigt. Das bedeutet also, dass das ganze Dreieck um 90° in positive Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) gedreht werden muss. Der Schnitt muss wieder so durchgeführt werden, dass der Normalenvektor senkrecht auf der Querschnittsfläche steht:

Änderung des Schnittwinkels
Änderung des Schnittwinkels

Es soll nun die Normalspannung $\sigma_{y*}$ berechnet werden. Diese wirkt senkrecht auf die neue Schnittfläche. Hierzu setzt man in die obigen Gleichungen $\alpha + 90°$ statt $\alpha$ ein. Unter Berücksichtigung von $\cos (90° + \alpha) = - \sin (\alpha)$ und $\sin (90° + \alpha) = \cos (\alpha)$ folgt:

$\sigma_{y^*} = \sigma_x \sin^2 (\alpha) + \sigma_y \cos^2 (\alpha) - 2\tau_{xy}\cos (\alpha) \sin (\alpha)$

$\tau_{y^*x^*} = (\sigma_x - \sigma_y) \cos (\alpha) \sin (\alpha) + \tau_{xy} (\sin^2 (\alpha) - \cos^2 (\alpha))$


Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehungen erhält man die Spannungskomponenten des gedrehten Koordinatensystems:

Merke

Trigonometrische Umformungen

$ 2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha), \ \ \ \ \ 2 \sin (\alpha) \cos (\alpha) = \sin (2 \alpha), $

$ 2 \sin^2 (\alpha) = 1 - \cos (2 \alpha), \ \ \ \ \ \cos^2 (\alpha) - \sin^2 (\alpha) = \cos (2 \alpha) $

$ \sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y) \cos (2 \alpha) + \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$ \sigma_{y^*}= \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( -\sigma_x + \sigma_y) \cos (2 \alpha) - \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$\tau_{x^*y^*} = \frac{1}{2}(-\sigma_x + \sigma_y) \sin (2 \alpha) + \tau_{xy} \cos (2 \alpha)$

$\tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y) \sin (2 \alpha) - \tau_{xy} \cos (2 \alpha))$

Es ist deutlich zu erkennen, dass $\tau_{x^*y^*} = -\tau_{y^*x^*}$. Zugeordnete Schubspannungen, also jene mit gleichem Index, sind immer gleich und zeigen entweder beide auf eine Ecke hin oder von einer Ecke weg. Beim zweiten Dreieck wurde $\tau_{y^*x^*}$ nach unten gerichtet angenommen. Da $\tau_{y^*x^*}$ aber eigentlich zur Ecke hin zeigen müsste (siehe folgende Grafik), können wir diese Schubspannung mit -1 multiplizieren und erhalten dann:

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*}$

(Alternativ hätte man auch beim ersten Dreieck $\tau_{x^*y^*}$ nach unten gerichtet wählen können und $\tau_{y^*x^*}$ so lassen können, dann würden beide von einer Ecke weg zeigen und somit wären diese auch gleich. Dann hätte man in der unteren Grafik die linke Ecke zur Veranschaulichung gewählt!).

Scheibe im gedrehten Koordinatensystem
Scheibe im gedrehten Koordinatensystem

Die resultierende Spannungsmatrix ist dann: 

$\sigma' = \begin{bmatrix} \sigma_{x^*} & \tau_{x^*y^*} \\ \tau_{x^*y^*} & \sigma_{y^*} \end{bmatrix} $ 

mit $\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*}$ (zugeordnete Schubspannung / zeigen beide auf eine Ecke im Koordinatensystem mit $x^*$, $y^*$-Richtung).

Merke

Ein Vergleich dieser Spannungsmatrix mit der ursprünglichen Spannungsmatrix zeigt, dass die Summe der Hauptdiagonalen und die Determinante der beiden Matrizen unabhängig von der Drehung des Koordinatensystems und damit unabhängig vom Drehwinkel $\alpha $ ist. Diese mathematische Tatsache beschreiben die Invarianten. 

Für I. gilt, dass $\sigma_{x^*}$ und $\sigma_{y^*}$ miteinander addiert werden und es resultiert $\sigma_x + \sigma_y$:

$\ I_\sigma = \sigma_x + \sigma_y = \sigma_{x^*} + \sigma_{y^*} $


Für II. gilt der folgende Zusammenhang:

$\ II_\sigma = \sigma_x \sigma_y - \tau^2_{xy} = \sigma_{x^*} \sigma_{y^*}  - \tau^2_{x^*y^*} $ 

$\\$

Methode

Zusammenfassung:

$ \sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y) \cos (2 \alpha) + \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$ \sigma_{y^*}= \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( -\sigma_x + \sigma_y) \cos (2 \alpha) - \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(-\sigma_x + \sigma_y) \sin (2 \alpha) + \tau_{xy} \cos (2 \alpha)$