Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation

In diesem Abschnitt wird gezeigt wie sich die Flächenträgheitsmomente berechnen lassen, wenn das UrsprungsKoordinatensystem um einen mathematisch positiven Winkel $\alpha $ gedreht wird. Zunächst erfolgt die Herleitung der Formeln zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente für das gedrehte Koordinatensystem, danach erfolgt die Zusammenfassung der Formeln und zum Schluss ein Anwendungsbeispiel.

Die Koordinaten aus dem bisherigen ebenen Koordinatensystem $y, z$ werden nun in das Koordinatensystem $\xi \eta $ überführt. Die Lage der Koordinaten im neuen Koordinatensystem lässt sich hierbei in Abhängigkeit der ursprünglichen Koordinaten berechnen. 

Drehung des Koordinatensystems

Die neuen Tensorkomponenten haben formal die Form:

$ I_{\xi \xi} = \int_A \; \eta^2 dA $

$ I_{\eta \eta} = \int_A \; \xi^2 dA $

sowie $ I_{\xi \ \eta} = I_{\eta \ \xi} = - \int_A \; \xi \; \eta \; dA $

Der Zusammenhang zwischen den "alten" und "neuen" Koordinaten ergibt sich durch:

$\xi = z \cos (\alpha) - y \sin (\alpha)$

$\eta_p = y \cos (\alpha) + z \sin (\alpha) $

Zusätzlich benötigt man die Additionstheoreme, die die folgende Form besitzen:

$ 2 \sin (\alpha) \cos (\alpha) = \sin (2\alpha) $

$\ \cos^2 (\alpha) = \frac{1}{2} (1 + \cos (2\alpha)) $

$\ \sin^2 (\alpha) = \frac{1}{2} (1 - \cos (2\alpha)) $

Jetzt sind alle notwendigen Bestandteile zur Koordinatentransformation vorhanden.

Koordinatentransformation

Exemplarisch wird hier auf $ I_{\eta\eta}$ eingegangen:

• Im ersten Schritt setzt man die zuvor aufgestellten Gleichungen bezüglich des Zusammenhangs in die Definitionsgleichungen der Tensorkomponenten ein.

$ I_{\eta\eta} = \int_A \; \xi^2_p \; dA \; \rightarrow  \; I_{\eta\eta} = \int_A  (z \cos (\alpha) - y \sin (\alpha))^2 dA$

Unter Berücksichtigung der binomischen Formel ergibt sich:

$\rightarrow I_{\eta \eta} = \int_A (z^2 \cos^2 (\alpha) - 2 zy \cos (\alpha) \sin (\alpha) + y^2 \sin^2 (\alpha)) \; dA $

$\rightarrow I_{\eta \eta} = \cos^2 (\alpha) \int_A  z^2 \; dA - 2 \cos (\alpha) \sin (\alpha) \int_A  zy \; dA + \sin^2 (\alpha) \int_A  y^2 \; dA $

mit $I_y = \int_A z^2 dA$,   $I_z = \int_A y^2 \; dA$ und $I_{yz} = -\int_A yz \; dA$ ergibt sich:

$\rightarrow I_{\eta \eta} = I_y \cos^2 (\alpha) + I_{xy} \; 2 \cos (\alpha) \sin (\alpha) + I_z \sin^2 (\alpha) $ 

• Im nächsten Schritt wird unter Verwendung der Additionstheoreme die Gleichung umgeschrieben zu: 

$\ I_{\eta\eta} = \frac{1}{2} (I_y + I_z) + \frac{1}{2} (I_y - I_z) \cos (2\alpha) + I_{yz} \sin (2\alpha) $

Diese letzte Gleichung stellt eines der drei Transformationsgesetze für die Trägheitsmomente dar. 

Dasselbe Vorgehen für die anderen beiden Gleichungen ergibt:

$\ I_{\xi\xi} = \frac{1}{2} (I_y + I_z) - \frac{1}{2} (I_y - I_z) \cos (2\alpha) - I_{yz} \sin (2\alpha) $

$\ I_{\xi\eta} = -\frac{1}{2} (I_y - I_z) \sin (2\alpha) + I_{xy} \cos (2\alpha) $

und können auch nach dem oben beschriebenen Schema berechnet werden. 

Die Summe der Flächenträgheitsmomente ist unabhängig vom Drehwinkel gleich:

$I_y + I_z = I_{\eta} + I_{\xi} = I_p$       (1. Invariante)

$\\$

Beispiel: Flächenträgheitsmomente bei Drehung des Koordinatensystems

Wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt und wie aus der Tabelle im Abschnitt Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem zu entnehmen, besitzt das Rechteck die folgenden Flächenträgheitsmomente:

$I_y =\frac{a^3b}{12} = 432 cm^4$

$I_z = \frac{b^3a}{12} = 6912 cm^4$

$I_{yz} = 0$

Es sollen nun die Flächenträgheitsmomente $I_{\eta}$, $I_{\zeta}$ und $I_{\eta\zeta}$ bei einer Drehung des Koordinatensystems um 30° berechnet werden. Dazu werden die obigen Formeln verwendet und die Flächenträgheitsmomente $I_y$, $I_z$ und $I_{xy}$ eingesetzt:

$\ I_{\eta\eta} = \frac{1}{2} (432 + 6912) + \frac{1}{2} (432 - 6912) \cos (2 \cdot 30°) + 0 \cdot \sin (2 \cdot 30°) $

$I_{\eta\eta} = 2052 cm^4$

$\ I_{\xi\xi} = \frac{1}{2} (432 + 6912) - \frac{1}{2} (432 - 6912) \cos (2 \cdot 30°) - 0 \cdot \sin (2 \cdot 30°) $

$\ I_{\xi\xi} = 5292 cm^4$

$\ I_{\xi\eta} = -\frac{1}{2} (432 - 6912) \sin (2 \cdot 30°) + 0 \cdot \cos (2 \cdot 30°)$

$\ I_{\xi\eta} = 2806 cm^4$

Die 1. Invariante besagt $I_y + I_z = I_{\eta} + I_{\xi}$. Ist die Summe aus den Flächenträgheitsmomenten des ungedrehten Koordinatensystems gleich der Summe aus den Flächenträgheitsmomenten des gedrehten Koordinatensystems, dann ist das Ergebnis korrekt:

$432 + 6912 = 7344 cm^4$

$2052 + 5292 = 7344 cm^4$