Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes

Zug-Druckstab

Beim Zug- bzw. Druckstab liegt nur eine Normalspannung $\sigma_x$ vor (für Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung):

Zug- und Druckstab

Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung von

Gleichgewichtsbedingungen

führt zu:

$\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$

$\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$

Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$

$\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma_x \sin (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha)$

$\tau_{x^*y^*} = -\sigma_x \sin (\alpha) \cos (\alpha) $

Anwendung von $2 \sin (\alpha) \cos (\alpha) = \sin (2 \alpha)$:

Drehung des Dreiecks um 90° führt zu:

Drehung des Dreiecks um 90°

$\nwarrow : \sigma_{y^*} dA - \sigma _x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$

$\sigma_{y^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$

Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$

Allseitiger Zug/Druck

Die Spannungen seien $\sigma_x = \sigma_y = \sigma$:

Allseitiger Zug und Druck

$\nearrow : \sigma_{x^*} \cdot dA - \sigma \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) - \sigma \sin (\alpha) \cdot dA \sin (\alpha) = 0$

$\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma \sin (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) - \sigma \cos (\alpha) \cdot dA \sin (\alpha) = 0$

Drehung des Dreiecks um 90°:

Drehung des Dreiecks um 90°

$\sigma_{y^*} dA - \sigma \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) - \sigma \sin (\alpha) \cdot dA \sin (\alpha) = 0$

Für die nähere Erläuterung wie man die Gleichgewichtsbedingungen aufstellt und wie die Fläche berechnet wird, siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung.