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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes

Zug-Druckstab

Beim Zug- bzw. Druckstab liegt nur eine Normalspannung $\sigma_x$ vor (für Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung):

ESZ Sonderfälle Zug/Druck

Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung von

ESZ Sonderfälle Dreiecksberechnung

führt zu:

$\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$

$\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$

Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$

Methode

$\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} \sigma_x + \frac{1}{2} \sigma_x  \cos (2 \alpha) $

$\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma_x \sin (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha)$

$\tau_{x^*y^*} = -\sigma_x \sin (\alpha) \cos (\alpha) $

Anwendung von $2 \sin (\alpha) \cos (\alpha) = \sin (2 \alpha)$:

Methode

$\tau_{x^*y^*} = -\frac{1}{2} \sigma_x \sin (2 \alpha) = \tau_{y^*x^*}$

Drehung des Dreiecks um 90° führt zu:

ESZ Sonderfälle Drehung Dreieck

$\nwarrow : \sigma_{y^*} dA - \sigma _x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$

$\sigma_{y^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$

Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$

Methode

$ \sigma_{y^*}= \frac{1}{2}  \sigma_x - \frac{1}{2}  \sigma_x \cos (2 \alpha) $

Allseitiger Zug/Druck

Die Spannungen seien $\sigma_x = \sigma_y = \sigma$:

ESZ Sonderfall allseitiger Zug/Druck

$\nearrow : \sigma_{x^*} \cdot dA - \sigma \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) - \sigma \sin (\alpha) \cdot dA \sin (\alpha) = 0$

Methode

$\sigma_{x^*} = \sigma (\cos^2 (\alpha) + \sin^2 (\alpha)) = \sigma$

$\nwarrow : \tau_{x^*y^*} dA + \sigma \sin (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) - \sigma \cos (\alpha) \cdot dA \sin (\alpha) = 0$

Methode

$\tau_{x^*y^*} = 0 = \tau_{y^*x^*}$.


Drehung des Dreiecks um 90°:

ESZ Sonderfälle Drehung Dreieck

$\sigma_{y^*} dA - \sigma \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) - \sigma \sin (\alpha) \cdot dA \sin (\alpha) = 0$

Methode

$\sigma_{y^*} = \sigma (\cos^2 (\alpha) + \sin^2 (\alpha)) = \sigma$

Für die nähere Erläuterung wie man die Gleichgewichtsbedingungen aufstellt und wie die Fläche berechnet wird, siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung.