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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Beispiel 1: Koordinatentransformation

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Beispiel 1: Koordinatentransformation

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Gegeben sei folgendes Metallstück mit den dazugehörigen Richtungen der Schub- und Normalspannungen.

Beispiel Schnittwinkeländerung

Beispiel

Die Spannungen seien $\sigma_x = -70 MPa$, $\sigma_y = 35 MPa$ und$ \tau_{xy} = \tau_{yx} = -28 MPa$.

Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $65°$ zur $x$-Achse!

Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf dem Schnitt. Dort wurde der Winkel zur Drehung des Koordinatensystems vorgegeben und dann der Schnitt durchgeführt (senkrecht zum Normalenvektor und damit zur Normalspannung, der auf der neuen Achse $x^*$ liegt). In diesem Beispiel hingegen wird der Winkel für den Schnitt vorgegeben und der Winkel für die Drehung ist noch zu ermitteln. Folgende Grafik zeigt den Schnitt im 65°-Winkel zur $x$-Achse:

Beispiel Hauptspannungen

Die Normalspannung $\sigma_x^*$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche. Als nächstes muss nun das neue Koordinatensystem $[x^*, y^*]$ eingeführt werden. Die $x^*$-Achse liegt parallel zur Normalspannung $\sigma_x^*$:

image

Da $\sigma_x^*$ parallel zur $x^*$-Achse verläuft und senkrecht auf dem Schnitt steht, verläuft die $y^*$-Achse parallel zum Schnitt. Die beiden Achsen bilden einen 90°-Winkel und somit ist die Drehung des Koordinatensystems um 25° IM Uhrzeigersinn. Das bedeutet der Winkel muss negativ in die nachfolgenden Formeln eingehen, da diese für einen positiven Winkel bei Drehung gegen den Uhrzeigersinn berechnet worden sind (siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung): 

$ \sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y) \cos (2 \alpha) + \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(-\sigma_x + \sigma_y) \sin (2 \alpha) + \tau_{xy} \cos (2 \alpha)$

Einsetzen von $\alpha = -25°$ ergibt:

$ \sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (-70 + 35) + \frac{1}{2} ( -70 - 35) \cdot \cos (-50) - 28 \cdot \sin (-50)$

$\sigma_x^* = -29,8 MPa$

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(70 + 35) \cdot \sin (-50) - 28 \cdot \cos (-50)$

$\tau_{x^*y^*} = -58,22 MPa$

Die Spannungen sind beide negativ und demnach auch so einzuzeichnen wie es in der obigen Grafik geschehen ist. Die Formeln $\sigma_x^*$ und $\tau_{x^*y^*}$ wurden für Spannungen aufgestellt, die zu den positiven Achsen zeigen. Da nun negative Spannungen ermittelt worden sind, müssen diese in die entgegengesetzte Richtung zeigen.

Video: Bestimmung der Normal- und Schubspannungen

Video: Beispiel 1: Koordinatentransformation

Video: Beispiel 1: Koordinatentransformation