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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Hauptdehnungen

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Hauptdehnungen

Die Bestimmung der HauptDehnungen erfolgt analog zur Bestimmung der Hauptspannungen (siehe Kapitel Hauptspannungen). Es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, da beides Tensoren sind. Jeder beliebige Dehnungszustand in einem bestimmten Punkt eines festen Körpers lässt sich durch die HauptDehnungen bestimmen, die jeweils an einem durch diesen Punkt gelegten Flächenelement angreifen.

Die Hauptdehnungen liegen in den Hauptdehnungsrichtungen und sind durch einen Winkel $\tan (2\alpha^*) $ gegeben. Dieser ist durch folgende Gleichung beschrieben:

Methode

$\tan (2 \alpha^*) = \frac{\gamma_{xy}}{(\epsilon_x - \epsilon_y)} $    Hauptdehnungsrichtungen

Die Hauptdehnungen haben die Form:

Methode

$\epsilon_{1/2} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2})^2 + (\frac{1}{2}\gamma_{xy})^2} $     Hauptdehnungen


Es gelten auch die gleichen Zusammenhänge für die Invarianten der Hauptdehnungen wie bei den Hauptspannungen:

$I_1 = \epsilon_1 + \epsilon_2 = \epsilon_{x^*} + \epsilon_{y^*} = \epsilon_x + \epsilon_y$

$I_2 = \epsilon_1 \epsilon_2 = \epsilon_{x^*} \epsilon_{y^*} - \gamma_{x^*y^*} =  \epsilon_x \epsilon_y - \gamma_{xy}$

Die Invarianten besagen ganz einfach, dass die Summe der Dehnungen immer konstant bleibt!

Merke

Handelt es sich um ein isotropes Material, so fallen die Hauptachsen des Verzerrungs- und des Spannungstensors zusammen. 

Anwendungsbeispiel: Hauptdehnungen und Hauptrichtung

Hauptdehnungen DMS Beispiel

Beispiel

Innerhalb eines Metallblechs werden mittels DMS-Rosette die folgenden Dehnungen gemessen:

$\epsilon_a = 50 \cdot 10^{-6}$ , $\epsilon_b = 10 \cdot 10^{-6}$, $\epsilon_c = -3 \cdot 10^{-6}$. 

Es handelt sich um eine 45°-Rechtwinkel-Rosette mit drei jeweils um 45° gedrehten Gittern.

Wie groß sind die Hauptdehnungen, die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen?

Es handelt sich hierbei um eine rechtwinklige Rosette, das bedeutet, dass hier ein neues $x^*y^*$-Koordinatensystem eingeführt werden kann. Man legt die $x^*$-Achse auf den Messstreifen $a$, das bedeutet die $y^*$-Achse liegt dann auf dem Messstreifen $c$ (Achsen liegen im 90° Winkel zueinander). Das $x,y$-Koordinatensystem wird also um $\alpha = 45°$ (positiv, da gegen den Uhrzeigersinn) gedreht:

Hauptdehnung DMS Beispiel
Bestimmung der Hauptdehnungen

Die Formel zur Berechnung der Hauptdehnungen lautet:

$\epsilon_{1/2} = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2})^2 + (\frac{1}{2}\gamma_{xy})^2} $.

Folgende Dehnungen sind bereits gegeben:

$\epsilon_{x^*} = \epsilon_a =  50 \cdot 10^{-6}$

$\epsilon_{y^*} = \epsilon_c = -3 \cdot 10^{-6}$

$\epsilon_y = \epsilon_b = 10 \cdot 10^{-6}$.


Aus den Invarianten der Hauptdehnungen kann nun die Dehnung $\epsilon_x$ bestimmt werden:

$I_1 = \epsilon_1 + \epsilon_2 = \epsilon_{x^*} + \epsilon_{y^*} = \epsilon_x + \epsilon_y$

bzw.

$\epsilon_{x^*} + \epsilon_{y^*} = \epsilon_x + \epsilon_y$


Auflösen nach $\epsilon_x$:

$\epsilon_x = \epsilon_{x^*} + \epsilon_{y^*} - \epsilon_y$

$\epsilon_x = 50 \cdot 10^{-6}  -3 \cdot 10^{-6} - 10 \cdot 10^{-6} = 3,7 \cdot 10^{-5}$

Bevor nun mit der Berechnung begonnen werden kann, muss zunächst noch $\gamma_{xy}$ bestimmt werden. Hierzu werden die Formeln für die Dehnungen bei Koordinatentransformation herangezogen und nicht wie bei der 1. Invariante miteinander addiert, sondern voneinander subtrahiert (Gleichungen siehe Abschnitt Transformation der Verzerrungskomponenten):

$\epsilon_x^* = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2} \cos (2\alpha) + (\frac{1}{2}\gamma_{xy}) \sin (2\alpha) $

$\epsilon_y^* = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} - \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2} \cos (2\alpha) + (\frac{1}{2}\gamma_{xy}) \sin (2\alpha) $


Es verbleibt dann der folgende Zusammenhang:

$\epsilon_{x^*} - \epsilon_{y^*} = \gamma_{xy}$.

$ \gamma_{xy} = 50 \cdot 10^{-6} - (-3 \cdot 10^{-6}) = 5,3 \cdot 10^{-5}$

Es können nun die Hauptdehnungen bestimmt werden:

$\epsilon_{1/2} = \frac{ 3,7 \cdot 10^{-5} + 10 \cdot 10^{-6} }{2} \pm \sqrt{(\frac{3,7 \cdot 10^{-5} -  10 \cdot 10^{-6}}{2})^2 + (\frac{1}{2} \cdot 5,3 \cdot 10^{-5})^2} $ 

$\epsilon_1 = 5,32 \cdot 10^{-5}$

$\epsilon_2 = -6,24 \cdot 10^{-6}$

Da die Dehnungen in Summe gleich bleiben müssen, gilt:

$I_1 = \epsilon_1 + \epsilon_2 = \epsilon_{x^*} + \epsilon_{y^*} = \epsilon_x + \epsilon_y = 4,7 \cdot 10^{-5}$

Bestimmung der Hauptrichtungen

Die Hauptrichtungen bestimmen sich mit der Formel:

$\tan (2 \alpha^*) = \frac{5,3 \cdot 10^{-5}}{(3,7 \cdot 10^{-5} - 10 \cdot 10^{-6})} $ 

$\tan (2 \alpha^*) = 1,963$

$2 \alpha^* = \tan^{-1} (1,963) = 63°$

$\alpha^* = 31,5°$.

Um herauszufinden, welche Hauptdehnung zu dieser Hauptrichtung gehört, verwendet man die Transformationsgleichungen:

$\epsilon_x^* = \frac{\epsilon_x + \epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x - \epsilon_y}{2} \cos (2\alpha) + (\frac{1}{2}\gamma_{xy}) \sin (2\alpha) $

Einsetzen aller Werte:

$\epsilon_x^* = \frac{ 3,7 \cdot 10^{-5} + 10 \cdot 10^{-6}}{2} + \frac{ 3,7 \cdot 10^{-5} - 10 \cdot 10^{-6}}{2} \cos (2 \cdot 31,5°) + (\frac{1}{2} 5,3 \cdot 10^{-5}) \sin (2 \cdot 31,5°) $

$\epsilon_x^* = 5,32 \cdot 10^{-5} = \epsilon_1$

Die ermittelte Hauptrichtung gehört zur Hauptdehnung $\epsilon_1$. Da die Hauptrichtungen für $\epsilon_1$ und $\epsilon_2$ senkrecht zueinander liegen, ist die Hauptrichtung für $\epsilon_2$:

$\alpha^* + 90° = 31,5 ° + 90° = 121,5°$.