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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen

In diesem Abschnitt werden die Hauptdehnungen und Hauptspannungen für den ebenen Spannungszustand aufgezeigt.

Hauptdehnungen

Die Hauptdehnung für den ebenen Spannungszustand [xy-Ebene] erhält man, indem man $\sigma_1$, $\sigma_2$ in die Dehnungsgleichungen (aus dem vorherigen Abschnitt) einsetzt:

$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E}$  

$\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E}$.

Methode

Die Hauptdehnungen sind

$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \nu\sigma_2] $

$\epsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \nu\sigma_1] $

Hauptspannungen

Hierzu löst man eine der Hauptdehnungsgleichungen nach $\sigma_1$ und die andere Hauptdehnungsgleichung nach $\sigma_2 $ auf und setzt diese anschließend in die jeweils andere Gleichung ein, um eine Abhängigkeit allein von den Dehnungen zu erhalten. Die Hauptspannungen ergeben sich dann zu:

Methode

Die Hauptspannungen sind

$\sigma_1 = \frac{E}{1-\nu^2} [\epsilon_1 + \nu \epsilon_2] $

$\sigma_2 = \frac{E}{1-\nu^2} [\epsilon_2 + \nu \epsilon_1] $