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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand

Der Zusammenhang zwischen Spannung und elastischer Verformung wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben und wurde für den einachsigen Fall bereits im Kapitel Stabbeanspruchungen behandelt. Das Hookesche Gesetz soll im Folgenden auf den räumlichen Fall ausgeweitet werden.

Dehnungen im Raum

Um die allgemeine Abhängigkeit zwischen Spannungen und Dehnungen zu ermitteln, wird das Hookesche Gesetz für den einachsigen Fall und das Gesetz von Poisson herangezogen und mittels Überlagerungsprinzip (Superposition) entwickelt.

Die Normalspannungen $\sigma_x$ bewirken eine Dehnung in x-Richtung

$\epsilon_{xx} = \frac{\sigma_x}{E}$ 

und eine Querdehnung in y- und z-Richtung:

$\epsilon_{xy} = \epsilon_{xz} = -\nu \frac{\sigma_x}{E}$.


Für die Normalspannung $\sigma_y$ und $\sigma_z$ gilt dann analog:

$\epsilon_{yy} = \frac{\sigma_y}{E}$  und  $\epsilon_{yx} = \epsilon_{yz} = -\nu \frac{\sigma_y}{E}$

$\epsilon_{zz} =  \frac{\sigma_z}{E}$  und  $\epsilon_{zx} = \epsilon_{zy} = -\nu \frac{\sigma_z}{E}$

Werden nun die Normalspannungen $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\sigma_z$ alle gleichzeitig aufgebracht, so ergeben sich die Dehnungen für den räumlichen Spannungszustand durch Superposition der Einzeldehnungen. Die Dehnungen in $x-$,$y-$ und $z$-Richtung ergeben sich dann:

Methode

Dehnungen im Raum

$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E}  -\nu \frac{\sigma_z}{E}$

$\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E}  -\nu \frac{\sigma_z}{E}$

$\epsilon_z = \frac{\sigma_z}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E}  -\nu \frac{\sigma_y}{E}$

Merke

Diese Gleichungen gelten für ein isotropes, linear-elastisches Materialverhalten und für kleine Verformungen.

Sind für die Dehnungen die Ausgangsabmessungen und die Änderungen der Abmessungen gegeben, so kann man die Einzeldehnung auch bestimmen zu (hier anhand von $\epsilon_{xx}$):

Methode

$\epsilon_{xx} = \frac{\triangle l}{l}$

mit

$l$ = Ausgangslänge

$\triangle l$ = Längenänderung

Spannungen im Raum

Aus den Dehnungen im Raum kann man durch Umstellen nach den Normalspannungen das allgemeine Hookesche Gesetz für den räumlichen Dehnungszustand ermitteln:

Methode

Allgemeines Hookesches Gesetz 

$\sigma_x = \frac{E}{(1 + \nu) \cdot (1-2\nu)} \cdot [(1-\nu) \cdot \epsilon_x + \nu (\epsilon_y + \epsilon_z)]$

$\sigma_y = \frac{E}{(1 + \nu) \cdot (1-2\nu)} \cdot [(1-\nu) \cdot \epsilon_y + \nu (\epsilon_x + \epsilon_z)]$

$\sigma_z = \frac{E}{(1 + \nu) \cdot (1-2\nu)} \cdot [(1-\nu) \cdot \epsilon_z + \nu (\epsilon_x + \epsilon_y)]$


Ist die Querschnittsfläche $A$ und die Belastung $F$, welche auf die Querschnittsfläche wirkt, gegeben, so kann man die Normalspannung auch bestimmen durch:

Methode

$\sigma = \frac{F}{A}$.

Für die einzelnen Normalspannungen der unterschiedlichen Richtungen ergibt sich dann:

$\sigma_x = \frac{F_x}{A_{yz}}$

$\sigma_y = \frac{F_y}{A_{xz}}$

$\sigma_z = \frac{F_z}{A_{xy}}$.

Schubspannungen im Raum

Den Zusammenhang zwischen Schubspannungen $\tau$ und Gleitwinkel $\gamma$ erhält man aus dem Hookeschen Gesetz für Schubverformung (Abschnitt Schubverformung):

Methode

Hookesche Gesetz für Schubverformung 

$\tau = G \cdot \gamma \rightarrow $ Schubspannung = Schubmodul $\cdot $ Gleitwinkel.

Für den räumlichen Fall gilt:

Methode

$\tau_{xy} = G \cdot \gamma_{xy}$

$\tau_{yz} = G \cdot \gamma_{yz}$

$\tau_{zx} = G \cdot \gamma_{zx}$


Der Zusammenhang zwischen Schubmodul $G$ und Elastizitätsmodul $E$ ist formal beschrieben durch:

Methode

$\ G = \frac{E}{2\cdot (1 + \nu)} $.

Schubspannungen haben eine Gestaltänderung zur Folge. Normalspannungen eine Volumenänderung.

Beispiel: Hookesches Gesetz für den räumlichen Fall

Spannungen und Dehnungen im Raum Beispiel

Beispiel

Gegeben sei ein Quader unter dreiachsiger Beanspruchung. Die Ausgangslänge betrage $l = 15 mm$, die Ausgangsbreite $b = 8 mm$ und die Ausgangshöhe $h = 4 mm$. Nach der Beanspruchung weist der Quader die Längenänderung $\triangle l = 0,05 mm$, die Breitenänderung $\triangle b = -0,04 mm$ und die Höhenänderung $\triangle h = 0,05 mm$ auf. Das Elastizitätsmodul betrage $E = 200.000 N/mm^2$ und die Querdehnzahl $\nu = 0,4$.

Gesucht werden die Dehnungen $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\epsilon_z$ sowie die Spannungen $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\sigma_z$.

Da die Ausgangsabmessungen und die Änderungen der Abmessungen nach der Beanspruchung gegeben sind, kann man die Einzeldehnungen ganz einfach bestimmen:

$\epsilon_{xx} = \frac{\triangle l}{l} = \frac{0,05 mm}{15 mm} = 0,0033 $

$\epsilon_{yy} = \frac{\triangle h}{h} = \frac{0,05 mm}{4 mm} = 0,0125 $

$\epsilon_{zz} = \frac{\triangle b}{b} = \frac{-0,04 mm}{8 mm} = -0,005 $


Um daraus die Gesamtdehnung zu bestimmen, müssen zunächst die Normalspannungen bestimmt werden. Diese können mit den folgenden Zusammenhängen bestimmt werden:

$\epsilon_{xx} = \frac{\sigma_x}{E} \; \rightarrow \sigma_x = E \cdot \epsilon_{xx} = 200.000 \frac{N}{mm^2} \cdot 0,0033 = 660 \frac{N}{mm^2}$

$\epsilon_{yy} = \frac{\sigma_y}{E} \; \rightarrow \sigma_y = E \cdot \epsilon_{yy} =  200.000 \frac{N}{mm^2} \cdot 0,0125 = 2.500 \frac{N}{mm^2}$ 

$\epsilon_{zz} = \frac{\sigma_z}{E}  \; \rightarrow \sigma_z = E \cdot \epsilon_{zz} =  200.000 \frac{N}{mm^2} \cdot -0,005 = -1.000 \frac{N}{mm^2}$.

Es können nun die Gesamtdehnungen bestimmt werden:

$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E} + -\nu \frac{\sigma_z}{E}$

$\epsilon_x = \frac{660 \frac{N}{mm^2}}{200.000 \frac{N}{mm^2}} - 0,4 \frac{2.500 \frac{N}{mm^2}}{200.000 \frac{N}{mm^2}} -0,4 \frac{-1.000 \frac{N}{mm^2}}{200.000 \frac{N}{mm^2}}$

$\epsilon_x = 0,0003$


Analog für die Dehnungen in $y$- und $z$-Richtung:

$\epsilon_y = 0,01318$

$\epsilon_z = -0,01132$

Ergibt sich eine negative Dehnung, so liegt eine Stauchung des Körpers in dieser Richtung vor. In diesem Fall liegt eine Stauchung des Quaders in $z$-Richtung vor.

Beispiel: Spannungen und Dehnungen im Raum

Spannungen und Dehnungen im Raum Beispiel

Beispiel

Es soll wieder der obige Quader gegeben sein mit $l = 15 mm$, $b = 8mm$ und $h = 4mm$. Diesmal sind anstatt der Änderungen der Abmessungen die Kräfte gegeben, welche auf den Quader wirken mit $F_x = 50 kN $, $F_y = 20 kN $ und $F_z = -30 kN$. Es gilt außerdem wieder $E = 200.000 \frac{N}{mm^2}$ und $\nu = 0,4$.

Gesucht werden die Dehnungen $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\epsilon_z$ sowie die Spannungen $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\sigma_z$.

Man kann zunächst die Normalspannungen bestimmen durch:

$\sigma_x = \frac{F_x}{A_{yz}} = \frac{50.000 N}{8 mm \cdot 4 mm} = 1.562,5 \frac{N}{mm^2}$

$\sigma_y = \frac{F_y}{A_{xz}} = \frac{20.000 N}{15 mm \cdot 8 mm} = 166,67 \frac{N}{mm^2}$

$\sigma_z = \frac{F_z}{A_{xy}} = \frac{-30.000 N}{15 mm \cdot 4 mm} = -500 \frac{N}{mm^2}$


Die Gesamtdehnungen ergeben sich dann aus:

$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E} + -\nu \frac{\sigma_z}{E}$

$\epsilon_x = \frac{1.562,5  \frac{N}{mm^2}}{200.000 \frac{N}{mm^2}} - 0,4 \frac{166,67 \frac{N}{mm^2}}{200.000 \frac{N}{mm^2}} -0,4 \frac{-500 \frac{N}{mm^2}}{200.000 \frac{N}{mm^2}}$

$\epsilon_x = 0,0085$


Analog für die Dehnungen in $y$- und $z$-Richtung:

$\epsilon_y = -0,0013$

$\epsilon_z = -0,006$.

Ergibt sich eine negative Dehnung, so liegt eine Stauchung des Körpers in dieser Richtung vor. In diesem Fall liegt eine Stauchung des Quaders in $y$- und $z$-Richtung vor.