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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand

In diesem Abschnitt wird der ebene Spannungszustand aufgeführt. Ein ebener Spannungszustand in der (x,y)-Ebene bewirkt einen räumlichen Verzerrungszustand (auch: Dehnungszustand). Das bedeutet, dass die Spannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ die Dehnungen $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\epsilon_z$ zur Folge habe. Dies soll im Weiteren gezeigt werden.

Eines der Ziele des Hookeschen Gesetzes ist es einen Zusammenhang zwischen statischen Größen [Spannungen] und kinematischen Größen [Verzerrungen] herzustellen. Hierzu bedient man sich des Stoffgesetzes. 

Relation Normalspannung - Dehnung

Längsdehnung und Querdehnung
Längsdehnung und Querdehnung

Nimmt man beispielsweise ein viereckiges Bauteil und belastet dieses durch eine Normalspannung $\sigma_x $, so führt diese Spannung zu einer Verlängerung des Bauteils in Richtung der Normalspannung. Diese Verlängerung entspricht der Dehnung $\epsilon_x $ in Richtung der Normalspannung und wird beschrieben mit:

Methode

$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E}$

wobei $E$ das Elastizitätsmodul ist. Näheres dazu im Kapitel Hookesches Gesetz.

Das Bauteil erfährt aber nicht nur eine Verlängerung, sondern zusätzlich auch Stauchung in $y$-Richtung. Diese Dehnung in $y$-Richtung wird Querdehnung genannt. Der Betrag der Querdehnung $\epsilon_y$ ist proportional von der Längsdehnung $\epsilon_x$ abhängig:

Methode

$\epsilon_y = -\nu \epsilon_x = -\nu \frac{\sigma_x}{E}$

Diese proportionale Abhängigkeit gibt die Querkontraktionszahl $\nu$ an, welche dimensionslos ist und meistens den Wert $v \approx 0,3$ [metallische Stoffe] annimmt. Die Querkontraktionszahl wurde anhand von Experimenten für unterschiedliche Werkstoffe bestimmt und ist aus Tabellen abzulesen. Das Minuszeichen zeigt einfach an, dass die Querdehnung negativ ist, also abnimmt, wohingegen die Längsdehnung zunimmt.

Die Normalspannung $\sigma_x$ erzeugt demnach die Dehnungen

$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} ,\ \ \epsilon_y = -\nu \frac{\sigma_x}{E} $

Analog erzeugt die Normalspannung $\sigma_y$ die Dehnungen

$\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} ,\ \ \epsilon_x = -\nu \frac{\sigma_y}{E} $

Für den Fall, dass sowohl $\sigma_x$ als auch $\sigma_y$ wirken erfolgt:

$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E}$  und

$\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E}$.

Anmerkung:

Zwar werden hier die Dehnungen im ebenen Zustand betrachtet und auch weiterhin für diesen ausgeführt, trotzdem soll darauf hingewiesen werden, dass die beiden Spannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ eine Dehnung in $z$-Richtung zur Folge haben:

$\epsilon_z = -\nu \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E} $

Merke

Das bedeutet also, dass ein ebener Spannungszustand immer noch einen räumlichen Verzerrungszustand erzeugt. Die Dehnung $\epsilon_z$ wird ausschließlich durch eine Querdehnung hervorgerufen.

Relation Schubspannung - Gleitung/Gleitwinkel

Nach der Herleitung des Zusammenhangs zwischen Normalspannungen und Dehnungen, gilt es in einem zweiten Schritt auch eine Relation zwischen Schubspannungen $\tau_{xy}$ und Gleitungen $\gamma_{xy}$ herzustellen. Wird das obige viereckige Bauteil nur durch Schubspannung belastet, so ist aus Experimenten ermittelt worden, dass ein linearer Zusammenhang zwischen Gleitung und Schubspannung besteht. Hierzu wird eine Konstante benötigt, um diesen linearen Zusammenhang auszudrücken, das Schubmodul $ G $:

Methode

$\tau_{xy} = G \gamma_{xy}$

Umgeformt ergibt sich:

$\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G} $

Merke

Schon an den Indizees lässt sich erkennen, dass eine Schubspannung nur auf die entsprechende Gleitung einwirkt.


Der Zusammenhang zwischen Elastizitätsmodul, Querkontraktionszahl und Schubmodul ist für isotrope Materialien wie folgt:

Methode

$G = \frac{E}{2(1+v)}$

Merke

Das Hookesche Gesetz ist sowohl für Normalspannungen, als auch für Schubspannungen nur in Bereichen mit kleinen Formänderungen gültig. 

Merke

Normalspannungen verursachen keine Gleitung, und eine Schubspannung verursacht keine Dehnungen.

Zusammenfassung: Ebener Spannungszustand

Methode

Dehnungen im ebenen Spannungszustand

$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E}$  

$\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E}$.

$\epsilon_z = -\nu \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E} $

$\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G} $

$G = \frac{E}{2(1+v)}$


Auflösung der Gleichungen nach den Spannungen liefert:

Methode

$\sigma_x = \frac{E}{1 - \nu^2} (\epsilon_x + \nu \cdot \epsilon_y)$

$\sigma_y = \frac{E}{1 - \nu^2} (\epsilon_y + \nu \cdot \epsilon_x)$

$\sigma_z = 0$

Ein ebener Spannungszustand ($\sigma_z = 0$) bewirkt einen räumlichen Dehnungszustand!