Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Hookesches Gesetz

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Hookesches Gesetz

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Mittels von Zugversuchen wird der Zusammenhang zwischen Dehnung $\epsilon$ und Spannung $\sigma$ untersucht und in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm dargestellt (vorheriger Abschnitt). Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung und Dehnung, das heißt, dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. 

Beispiel

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Zieht man beispielsweise ein Gummiband auseinander, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung ($\triangle l$) zunimmt. 


Im vorherigen Abschnitt (Materialgesetz) wurde kurz die Hookesche Gerade für den linear-elastischen Bereich erwähnt. Das Hookesche Gesetz beschreibt den Zusammenhang von Spannung und Dehnung im linear-elastischen Bereich. Dabei gilt für diesen Bereich der folgende Zusammenhang:

Methode

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$\sigma = E \cdot \epsilon$                         Hookesche Gesetz 

mit

$\sigma = \frac{F}{A_0}$

$\epsilon = \frac{\triangle l}{l_0}$

Hierbei gibt der Elastizitätsmodul $E$ nichts anderes als die Steigung der Hookeschen Geraden wider. Aber dennoch ist er eine notwendige Materialgröße zur Beschreibung des elastischen Verhaltens eines Materials. Dabei ist nicht relevant, ob im Zugbereich oder Druckbereich gemessen wird, da der Wert des E-Moduls dort identisch ist. Die Einheit des E-Moduls ist Kraft pro Fläche [N/mm²].

Linear-elastischer Bereich (Hookesche Gerade)
Linear-elastischer Bereich (Hookesche Gerade)

 

In der nachfolgenden Tabelle sind einige Materialien mit ihrem zugehörigen E-Modulen aufgelistet:

MaterialbezeichnungE-Modul in kN/mm²
Ferritischer Stahl210
Kupfer130
Blei19
Glas70
Beton22-45

$\\$

Merke

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Den Elastizitätsmodul $E$ kann man aus den Messwerten des Zugversuches berechnen.


Zur Berechnung des Elastizitätsmoduls kann man das Hookesche Gesetz auch umschreiben, indem man die Größen

$\sigma = \frac{F}{A_0}$

$\epsilon = \frac{\triangle l}{l_0}$

einsetzt in

$\sigma = E \cdot \epsilon$.

Daraus ergibt sich:

Methode

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$E = \frac{F \cdot l_0}{A_0 \cdot \triangle l} $

mit

$A_0$ = Probenquerschnitt

$F$ = Kraft

$l_0$ = Länge des Probestabes

$\triangle l$ = Verlängerung des Probestabes

Der Elastizitätsmodul nimmt mit dem Widerstand, den ein Material seiner elastischen Verformung entgegensetzt, zu. Ist also ein Bauteil aus einem Material mit großem E-Modul (wie z.B. Stahl), dann ist dieses Bauteil steifer als zum Beispiel ein Bauteil aus Gummi, mit niedrigerem E-Modul.

Anwendungsbeispiel: Berechnung Elastizitätsmodul

Beispiel

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Der Elastizitätsmodul $E$ für einen Stab soll durch einen Zugversuch ermittelt werden. Hierzu wird ein Rundstab mit einem Durchmesser von $d = 10 mm$ und einer Anfangsmesslänge $l_0 = = 50 mm$ verwendet. Auf der geradlinig verlaufenden Stabachse wirkt eine Kraft $F = 10 kN$. Diese Kraft $F$ führt dazu, dass der Stab sich um $\triangle = 0,5 mm$ verlängert.

1) Wie groß ist die Zugspannung $\sigma$ ?

2) Wie groß ist die elastische Dehnung $\epsilon$ ?

3) Welchen Wert besitzt der Elastizitätsmodul $E$ ?

1) Berechnung der Zugspannung 

$\sigma = \frac{F}{A_0}$

Die Querschnittsfläche $A_0$ bei einem Rundstab ist kreisförmig und wird berechnet durch:

$A_0 = r^2 \cdot \pi = (\frac{d}{2})^2 \cdot \pi = (5 \; mm)^2 \cdot \pi = 78,54 \; mm^2$

Die Kraft $F$ ist in $kN$ angegeben und wird umgerechnet in $N$:

$F = 10 kN = 10.000 \; N$

Die Berechnung der Zugspannung erfolgt dann:

$\sigma = \frac{F}{A_0} = \frac{10.000 \; N}{78,54 \; mm^2} = 127,32 \; N/mm^2$

2) Berechnung der Dehnung

$\epsilon = \frac{\triangle l}{l_0} = \frac{0,5 \;  mm}{50 \; mm} = 0,01 = 1$ %.

3) Berechnung des Elastizitätsmoduls

$E = \frac{F \cdot l_0}{A_0 \cdot \triangle l}$

$E = \frac{10.000 \; N \; \cdot 50 \; mm}{78,54 \; mm^2 \cdot 0,5 \; mm} = 12.732,37 \; N/mm^2$

Video: Hookesches Gesetz