Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Hookesches Gesetz mit Wärmedehnungen

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Hookesches Gesetz mit Wärmedehnungen

Neben Spannungen kann auch ein Wärmeeinfluss zu Dehnungen im Bauteil führen. Um dies formal zu erfassen, gilt es das Hookesche Gesetz um einen weiteren (thermischen) Term zu ergänzen. Handelt es sich um ein isotropes Material, ist die thermische Dehnung in alle Richtungen des Raumes identisch. 

Im Folgenden wird das allgemeine Hookesche Gesetz ergänzt und anschließend folgt, wie im vorherigen Abschnitt, eine Auflösung der Gleichungen zu den Spannungen.

1. Ergänzen des allgemeinen Hookeschen Gesetzes um den thermischen Anteil

Dehnungen:

$\epsilon_x = \frac{1}{E}[\sigma_x - \nu (\sigma_y +\sigma_z)] + \fcolorbox{red}{yellow}{$\alpha_{th}\triangle T$} $

$\epsilon_y = \frac{1}{E}[\sigma_y - \nu (\sigma_x +\sigma_z)] + \fcolorbox{red}{yellow}{$\alpha_{th}\triangle T$} $

$\epsilon_z = \frac{1}{E}[\sigma_x - \nu (\sigma_x +\sigma_y)] + \fcolorbox{red}{yellow}{$\alpha_{th}\triangle T$} $

Merke

Der thermische Anteil ist bei jeder Gleichung identisch.

Gleitungen:

$\gamma_{xy} = \frac{ \tau_{xy}}{G}, \gamma_{xz} =\frac{\tau_{xz}}{G}, \gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{G} $

Merke

Hier tritt keine Änderung ein, da sowohl die Schubspannungen, als auch die Gleitungen temperaturunabhängig sind. Die Ursache liegt darin, dass thermischer Einfluss lediglich zu Längenänderungen führt. 

2. Einfluss des thermischen Anteils auf die Spannungen im ebenen Spannungszustand

Normalspannungen:

$ \sigma_x = \frac{E}{1-\nu^2} [\epsilon_x + \nu \epsilon_y - (1+\nu) \alpha_{th} \triangle T] $

$\sigma_y = \frac{E}{1-\nu^2} [\epsilon_y + \nu \epsilon_x  - (1+\nu) \alpha_{th}\triangle T] $

Schubspannungen:

$\tau_{xy} = \frac{G}{\gamma_{xy}}$.

Auch hier zeigt sich erneut, dass der Wärmeeinfluss keine Auswirkungen auf Schubspannungen und Gleitungen hat.