Mohrscher Spannungskreis

Mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises lassen sich Normal- und Schubspannungen innerhalb eines belasteten Querschnitts visuell darstellen. Ferner lässt sich am Spannungskreis direkt ablesen, welcher Winkel zur Hauptrichtung mit der größten Hauptspannung zählt. Zunächst wird gezeigt, wie der Mohrsche Spannungskreis gezeichnet wird und die Hauptspannungen und Hauptschubspannungen abgelesen werden. Außerdem wird ausführlich beschrieben, wie die Hauptrichtungen eingezeichnet werden. Zum Schluss folgt die Herleitung der Kreisgleichung und die Zusammenfassung der wichtigsten Gleichungen. Im nächsten Abschnitt folgt dann ein ausführliches Beispiel zum Mohrschen Spannungskreis. 

Mohrschen Spannungskreis zeichnen 

Sind $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\tau_{xy}$ gegeben, so kann der Mohrsche Spannungskreis gezeichnet werden und die Hauptspannungen ($\sigma_1$, $\sigma_2$), die Hauptschubspannung ($\tau_{max}$) sowie die Richtungen der Hauptspannungen abgelesen werden. Dies soll im nachfolgenden veranschaulicht werden.

Mohrscher Spannungskreis

Die obige Grafik zeigt den Mohrschen Spannungskreis. Um diesen zu zeichnen, geht man folgendermaßen vor:

1. Man trägt den Punkt $P(\sigma_x | \tau_{xy})$ und den Punkt $P´(\sigma_y | -\tau_{xy})$ in das Koordinatensystem ein.

2. Man verbindet die Punkte P und P´ miteinander.

3. Der Schnitt der Verbindungslinie (rot) mit der $\sigma$-Achse ist der Kreismittelpunkt $\sigma_m$.

4. Man zeichnet den Kreis mit dem Mittelpunkt $\sigma_m$ durch die Punkte $P$ und $P´$.

Der Mohrsche Spannungskreis ist nun gezeichnet und es kann begonnen werden die Werte aus diesem abzulesen.

Die Hauptspannungen liegen auf der $\sigma$-Achse, da die Schubspannungen verschwinden $\tau_{xy} = 0$ (vorherige Kapitel). Da die Hauptspannungen die Extremwerte der Normalspannung darstellen, befinden sich diese am äußersten Rand des Kreises. In der Grafik sind die Hauptspannungen eingezeichnet. Der Winkel $2\alpha^*$ befindet sich zwischen Verbindungslinie und $\sigma$_Achse. Der Winkel $\alpha^*$ sagt aus, dass wenn man das Koordinatensystem [xy] entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel $\alpha^*$ dreht, die Normalspannungen dort ihre Extremwerte annehmen. Die Richtungen der Hauptspannungen können wie folgt abgelesen werden:

Die Richtung der Hauptspannungen $\sigma_2$ wird bestimmt, indem $\sigma_1$ mit dem Punkt $P(\sigma_x | \tau_{xy})$ verbunden wird. Die Richtung der Hauptspannung $\sigma_1$ wird bestimmt, indem $\sigma_2$ mit dem Punkt $P(\sigma_x | \tau_{xy})$ verbunden wird. 

Rechnerisch

Man kann den Winkel $\alpha^*$ rechnerisch bestimmen, indem die zwei Dreiecke herangezogen werden und mittels Tangens der Winkel bestimmt wird:

Die Berechnung des Winkels für die Hauptspannung $\sigma_2$ erfolgt durch:

$\tan (\alpha^*) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_x}{\tau_{xy}}$

$\alpha^* = tan^{-1} \frac{\sigma_1 - \sigma_x}{\tau_{xy}}$

Die Berechnung des Winkels für die Hauptspannung $\sigma_1$ muss durch das Dreieck mit dem Winkel $2 \alpha^*$ erfolgen, da nur hier alle Werte existieren, um das Dreieck zu berechnen (für das linke Teildreieck fehlt der Wert für die Gegenkathete). Aus dem Dreieck in der Mitte kann man den Winkel $\alpha^*$ ebenfalls ermitteln und die Richtung bestimmen, da der Winkel ebenfalls zur horizontalen Achse abgetragen wird.

$\tan (2 \alpha^*) = \frac{\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_m}$

$2 \alpha^* =  \tan^{-1} \frac{\tau_{xy}}{2 \sigma_x - \sigma_m}$

Das Ergebnis durch zwei ergibt wieder $\alpha^*$.

Da beide Winkel identisch sind, reicht es eine Formel zu verwenden. Zur Einzeichnung muss beachtet werden, dass die Richtung von $\sigma_1$ bei $\sigma_2$ abgetragen wird und umgekehrt.

Herleitung der Kreisgleichung

In diesem Abschnitt soll dargestellt werden, wie man unter Verwendung der Transformationsregeln aus den vorherigen Abschnitten die Kreisgleichung berechnet.

Zur Erinnerung die Transformationsregeln für die Normal- und Schubspannungen sind (bereits umgestellt):

$\sigma_x^* - \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos (2\alpha) + \tau_{xy} \sin (2\alpha) $

sowie

$\tau_{x^*y^*} = - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin (2\alpha) + \tau_{xy} \cos (2\alpha) $.

2. Als nächstes quadriert man beide Gleichungen (Anwendung der binomischen Formel):

$[\sigma_x^* - \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}]^2 = (\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cdot \cos (2\alpha) + \tau_{xy} \sin (2\alpha) )^2 $                  

Binomische Formel für rechte Seite anwenden:

$[\sigma_x^* - \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}]^2 = \frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{4} \cdot \cos^2 (2\alpha) +(\sigma_x -\sigma_y)\tau_{xy} \cos (2\alpha) \sin (2\alpha) + \tau_{xy}^2 \sin^2 (2\alpha) $

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$\tau_{x^*y^*}^2 = (- \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin (2\alpha) + \tau_{xy} \cos (2\alpha) )^2$                

Binomische Formel für rechte Seite anwenden:

$\tau_{x^*y^*}^2 = - \frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{4} \sin^2 (2\alpha) +(\sigma_x -\sigma_y)\tau_{xy} \cos (2\alpha) \sin (2\alpha) + \tau_{xy}^2 \cos^2 (2\alpha) $

3. Beide Gleichungen miteinander addieren führt zu:

$ [\sigma_x^* - \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}]^2 + \tau_{x^*y^*}^2 = (\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2 $

Einsetzen von $r$ und $\sigma_m$ führt dann zu:

$ (\sigma_x^* - \sigma_m)^2 + \tau^{*2} = r^2 $.

Es gilt: $\sigma_{1/2} = \text{Kreismittelpunkt} \pm \text{Kreisradius} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau^2}$ 

Zusammenfassung der wichtigsten Gleichungen

Hauptspannungen:

$\sigma_{1/2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm r = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau^2}$  

Kreisradius:

$ r = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$    

oder

$r = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}$

Kreismittelpunkt:

$\sigma_m = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2}$

Maximale Schubspannungen (dort wo $\sigma_m$):

$\tau_{max} = \pm r = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$

Videos zum Mohrschen Spannungkreis