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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Beispiel: Mohrscher Spannungskreis

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Beispiel: Mohrscher Spannungskreis

Gegeben seien die folgenden Spannungen:

$\sigma_x = -30 MPa$, $\sigma_y = 20 MPa$ und $\tau_{xy} = -10 MPa$.

Beispiel

Zeichne den Mohrschen Spannungskreis und bestimme

(1) die Hauptspannungen $\sigma_1$ und $\sigma_2$ sowie die Hauptrichtung $\alpha^*$.

(2) Die Hauptschubspannungen,

(3) die Hauptrichtungen zeichnerisch,

(4) die Normalspannung und Schubspannung in einem Drehwinkel $\beta = 40°$ zur x-Achse.

Zeichnung des Mohrschen Spannungskreises

Zeichnen des Mohrschen Spannungskreises aus den gegebenen Werten durch Festlegung eines sinnvollen Maßstabes.

Mohrscher Spannungskreis Beispiel
Beispiel: Mohrscher Spannungskreis

Der Mohrsche Spannungskreis wird wie im vorherigen Abschnitt gelernt, so eingezeichnet, dass die Punkte $P_1 (\sigma_x | \tau_{xy}) = (-30 | -10)$ und $P_2 (\sigma_y | - \tau_{xy}) = (20 | 10)$ miteinander verbunden werden. Dort wo diese Verbindungslinie die $\sigma$-Achse schneidet, liegt der Mittelpunkt und somit die mittlere Normalspannung $\sigma_m$. Der Kreis kann nun vom Mittelpunkt aus durch die beiden Punkte gezeichnet werden.

Ablesen der Werte

Lösung 1

Die Hauptspannungen $\sigma_1$ und $\sigma_2$ befinden sich auf dem äußersten Rand des Kreises auf der $\sigma$-Achse, da dort die Schubspannung $\tau_{xy} = 0$ ist. Es gilt $\sigma_2 < \sigma_1$. Das bedeutet, dass $\sigma_1$ immer rechts von $\sigma_2$ liegt. Die Werte können einfach abgelesen werden und ergeben:

$\sigma_1 \approx 22 MPa$.

$\sigma_2 \approx -32 MPa$

Rechnerische Probe:

$ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $

$\sigma_1 = 21,93 MPa$

$\sigma_2 = -31,93 MPa$

Die Hauptrichtung wird so eingezeichnet, dass von der Verbindungslinie aus zur $\sigma$-Achse der Winkel gemessen wird. Dieser ist:

$2\alpha^* \approx 22°$


Rechnerische Probe:

$\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$    

$2\alpha^* = \tan^{-1} 0,4 = 21,80°$.  

Lösung 2

Die Hauptschubspannung befindet sich dort, wo die mittlere Normalspannung gegeben ist:

$\tau_{max} \approx 27 MPa$.

Rechnerische Probe:

$\tau_{max} = \pm \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} = 27 MPa$.

Lösung 3

Die Hauptrichtungen werden mit dem Winkel $\alpha^*$ wie folgt eingezeichnet. Von $\sigma_1$ aus durch den Punkt $(\sigma_x | \tau_{xy})$ ergibt die Hauptrichtung für $\sigma_2$. Von $\sigma_2$ durch den selben Punkt ergibt die Hauptrichtung für $\sigma_1$ (siehe auch vorherigen Abschnitt).

Merke

Es muss immer durch den Punkt $P_1(\sigma_x | \tau_{xy})$ gezeichnet werden. In diesem Beispiel ist der Punkt der links unten, weil $\sigma_x \le \sigma_y$. Tritt der umgekehrte Fall ein, so befindet sich der Punkt oben rechts und muss für die Einzeichnung der Hauptrichtungen verwendet werden.

Mohrscher Spannungskreis Hauptrichtungen
Hauptrichtungen
Lösung 4

Der Drehwinkel $\beta = 40°$ ist positiv. Es handelt sich also um die Linksdrehung des Ausgangskoordinatensystems um 40° zur x-Achse. Um die Normalspannungen und Schubspannung für den Winkel $\beta = 40°$ zu erhalten, muss der Winkel $2 \beta$ von der Verbindungslinie $P_1(-30/-10)$ zu $\sigma_m$ aus abgetragen werden. Im Mohrschen Spannungskreis erfolgt die Abtragung entgegen der Drehung des Koordinatensystems, also in einer Rechtsdrehung MIT dem Uhrzeigersinn:

Mohrscher Spannungskreis Beispiel

Nachdem der Winkel abgetragen wurde, wird eine Verbindungslinie mit diesem Winkel vom Mittelpunkt aus gezogen. Dort wo die Verbindungslinie den Kreis schneidet, liegt der gesuchte Punkt $(\sigma_{x_{\beta}} | \tau_{{xy}_{\beta}})$:

$\sigma_{x_{\beta}} \approx -19 MPa$

$\tau_{{xy}_{\beta}} \approx 23 MPa$.

Rechnerische Probe:

$\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y) \cos (2 \alpha) + \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$\sigma_{x^*} = -19,19 MPa$.

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(-\sigma_x + \sigma_y) \sin (2 \alpha) + \tau_{xy} \cos (2 \alpha)$

$\tau_{x^*y^*} = 22,88 MPa$.