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Maschinenelemente 1

Grenzen durch Rutschen

In diesem Kurstext wenden wir uns der Auslegung einer Welle-Nabe-Verbindung zu. Die Grenze der Übertragung infolge von Rutschen muss bekannt sein und lässt sich durch das maximale Torsionsmoment ausdrücken. Ein Überschreiten dieses Wertes führt dann zum Rutschen. Hierzu benötigen wir das Coulombsche Reibungsgesetz.

Es können drei Möglichkeiten ausgewählt werden, mit deren Hilfe das maximale Torsionsmoment berechnet werden kann:

  1. Passfugendruck
  2. Schrumpfmaß
  3. kombinierte Belastung

Maximales Torsionsmoment durch Passfugendruck

Das maximal übertragbare Torsionsmoment ergibt sich aus der nachfolgenden Gleichung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappenmaximales Torsionsmoment: $ T_{max} = \mu_H \cdot N \cdot r_p $

Die Gleichung drückt das maximale Torsionsmoment durch eine Tangentialkraft aus, die durch unseren Haftreibbeiwert $\mu_H $ und die Normalkraft $ N $ ausgedrückt wird und einen Hebelarm $ r_p $ aus.

Das maximale Torsionsmoment ist das Produkt aus Haftreibbeiwert $ \mu_H $ und einer Tangentialkraft, die durch die Normalkraft $ N $ und die Länge des Hebelarms $ r_p $ ausgedrückt wird. Die Normalkraft lässt sich durch die Flächenpressung abbilden, die im zylindrischen Bereich anliegt:

Methode

Hier klicken zum AusklappenNormalkraft: $ N = p \cdot 2 \,  \pi \cdot r \cdot l $

$ p $ = Pressdruck

$ 2 \, \pi \cdot r $ = Kreisumfang

$ l $ = Zylinderlänge (Welle)

$ ( 2 \, \pi \cdot r ) \cdot l $ = Mantelfläche

Diese Bestandteile drücken die gesamt anliegende Kraft aus. Somit können wir unsere Gleichung für das maximale Torsionsmoment umschreiben zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappenmaximales Torsionsmoment (Passfugendruck): $ T_{max} = \mu_H \cdot N \cdot r_p = \mu_H \cdot ( p \cdot 2 \, \pi \cdot r \cdot l) \cdot r_p $

Maximales Torsionsmoment durch Schrumpfmaß

Anstelle des Passfugendrucks kann man auch das Schrumpfmaß nutzen, um das maximale Torsionsmoment zu bestimmen. Die Gleichung erinnert dich bestimmt ein wenig an die Gleichung zu Bestimmung des Übermaßes. Hier wurde der mittlere Bereich der Gleichung zur Bestimmung des Übermaßes verwendet und als Kehrwert verwendet. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappenmaximales Torsionsmoment (Schrumpfmaß): $\ T_{max} = \mu_H \cdot (2 \, \pi \cdot r_p \cdot l) \cdot S \cdot \frac{1}{ \frac{1}{E_N} \cdot [ \frac{1 + q_n}{1 - q_n} + \nu_N] + \frac{1}{E_W} \cdot [ \frac{1 + q_W}{1 - q_W} + \nu_W]} $ 

Merke

Hier klicken zum AusklappenDie Gleichung umfasst physikalische Größen $ (2 \, \pi \cdot \mu_H) $ und geometrische Größen $ (r_p \cdot l) $, mit deren Hilfe du die Pressverbindung auslegen kannst.  

Maximales Torsionmoment bei kombinierter Belastung

Merke

Hier klicken zum AusklappenWirken Drehmoment und Axialkraft gleichzeitig, kannst du diese Größen entsprechend geometrisch addieren.

In der nächsten Abbildung siehst du eine Pressverbindung bei der eine Kombination von Kräften wirkt:

Kombinierte Belastung
kombinierte Belastung

Eingetragen sind die Umfangskraft $ F_u $ und eine anliegende Axialkraft $ F_{ax} $. Aus diesen beiden Kräften lässt sich eine Resultierende $ F_{res} $ erzeugen, die entsprechend der geometrischen Addition bestimmt werden kann. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Resultierende: $ F_{res} = \sqrt{F_u^2 + F_{ax}^2} $ 

Die in der Gleichung enthaltene Umfangskraft ist bestimmt durch den Quotient aus dem Torsionsmoment $ T $ und dem Hebelarm $ r_P $ (also dem Radius der Pressfuge):

Methode

Hier klicken zum AusklappenUmfangskraft: $ F_u = \frac{T}{r_p} $

Führt man beide Gleichungen zusammen, in dem man $ F_u $ in die Gleichung der Resultierenden einsetzt und setzt anschließend $ F_{res} $ in die Gleichung für $ T_{max} $ ein, so erhält man letztlich:

Methode

Hier klicken zum Ausklappenmaximales Torsionsmoment (kombinierte Belastung):  $ T_{max} = F_{res} \cdot r_p = r_p \cdot \sqrt{(\frac{T}{r_p})^2 + F_{ax}^2} $