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Maschinenelemente 1 - Grenzen durch Rutschen

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Maschinenelemente 1

Grenzen durch Rutschen

In diesem Kurstext wenden wir uns der Auslegung einer Welle-Nabe-Verbindung zu. Die Grenze der Übertragung infolge von Rutschen muss bekannt sein und lässt sich durch das maximale Torsionsmoment ausdrücken. Ein Überschreiten dieses Wert führt dann zum Rutschen. Hierzu benötigen wir das Coulombsche Gesetz.

Es können drei Möglichkeiten ausgewählt werden, mit deren Hilfe das maximale Torsionsmoment berechnet werden kann:

  1. Passfugendruck
  2. Schrumpfmaß
  3. Kombinierte Belastung

Maximales Torsionsmoment durch Passfugendruck

Das maximal übertragbare Torsionsmoment, ergibt sich aus der nachfolgenden Gleichung:

Merke

Maximales Torsionsmoment: $ T_{max} = \mu_H \cdot N \cdot r_p $

Die Gleichung drückt das maximale Torsionsmoment durch eine Tangentialkraft, die durch unseren Haftreibbeiwert $\mu_H $ und die Normalkraft $ N $ ausgedrückt wird, und einen Hebelarm $ r_p $ aus.  Die Normalkraft lässt sich abbilden durch die Flächenpressung die im zylindrischen Bereich anliegt. Also

Merke

Normalkraft: $ N = p \cdot 2 \pi \cdot r \cdot l $ 

$ p =$ Pressdruck

$ 2 \cdot \pi \cdot r = $ Kreisumfang

$ l =$ Zylinderlänge ( Welle)

$ ( 2 \cdot \pi \cdot r ) \cdot l = $ Mantelfläche

Diese Bestandteile drücken die gesamtanliegende Kraft aus und somit können wir unsere Gleichung für das maximale Torsionsmoment umschreiben zu: 

Merke

Maximales Torsionsmoment [Passfugendruck]: $ T_{max} = \mu_H \cdot N \cdot r_p = \mu_H ( p \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l ) \cdot r_p $

Maximales Torsionsmoment durch Schrumpfmaß

Anstelle des Passfugendrucks kann man auch das Schrumpfmaß nutzen um das maximale Torsionsmoment zu bestimmen. Die Gleichung erinnert Sie bestimmt ein wenig an die Gleichung zu Bestimmung des Übermaßes. Hier wurde der mittlere Bereich der Gleichung zur Bestimmung des Übermaßes verwendet und als Kehrwert genommen. 

Merke

Maximales Torsionsmoment [Schrumpfmaß]: $\ T_{max} = 2 \cdot \pi \cdot \mu_H \cdot r_p \cdot l \cdot S \cdot \frac{1}{ \frac{1}{E_N} \cdot [ \frac{1 + q_n}{1 - q_n} + \nu_N] + \frac{1}{E_W} \cdot [ \frac{1 + q_W}{1 - q_W} + \nu_W]} $ 

Methode

Die Gleichung umfasst physikalische Größen [$ \ 2 \cdot \pi \cdot \mu_H $]und geometrische Größen [$\ r_p \cdot l $ ] mit deren Hilfe Sie die Pressverbindung auslegen können.  

Maximales Torsionmoment bei kombinierter Belastung

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Wirken Drehmoment und Axialkraft gleichzeitig, können Sie diese Größen entsprechend der geometrischen Addition zusammenführen. Hierzu ein Beispiel:

In der nächsten Abbildung sehen Sie eine Pressverbindung bei der eine Kombination von Kräften wirkt: 

Kombinierte Belastung
Kombinierte Belastung

Eingetragen sind die Umfangskraft $ F_u $, eine anliegende Axialkraft $ F_{ax} $. Aus diesen beiden Kräften lässt sich eine Resultierende $ F_{res} $ erzeugen, die entsprechend der geometrischen Addition bestimmt werden kann. 

Merke

 Resultierende: $ F_{res} = \sqrt{F_u^2 + F_{ax}^2} $ 

Dabei können wir die Umfangskraft weiter umformen zu:

Merke

Umfangskraft: $ F_u = \frac{T}{r_p} $

$\rightarrow $ Quotient aus unserem Torsionsmoment $ T $ und dem Hebelarm $ r_P $, also dem Radius der Pressfuge. 

Führt man beide Gleichungen zusammen, in dem man $ F_u $ in die Gleichung der Resultierenden einsetzt und setzt anschließend $ F_{res} $ in die Gleichung für $ T_{max} $ ein, so erhält man letztlich:

Merke

Maximales Torsionsmoment [kombinierte Belastung]:  $ T_{max} = F_{res} \cdot r_p = r_p \cdot \sqrt{(\frac{T}{rp})^2 + F_{ax}^2} $