Statisch unbestimmte Stabwerke (Dreistab)

Es soll im Folgenden das Problem der statischen Unbestimmtheit anhand eines Dreistab-Problems (auch: Naviersche Problem) gelöst werden. Hierzu werden die folgenden drei Stäbe betrachtet mit dem Winkel $\alpha$. Der Stab $S_1$ hat dieselbe Länge wie der Stab $S_3$, also $l_1 = l_3$. An diese drei Stäbe greift im Knoten $K$ die Kraft $F$ an. Die Dehnsteifigkeit aller Stäbe sei gleich, so dass gilt $E_1A_1 = E_2A_2 = E_3A_3 = EA$. 

Dreistab-Problem

Gleichgewichtsbedingungen

Zunächst werden die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten Körper aufgestellt:

$\rightarrow : S_3 \cdot \sin (\alpha) - S_1 \cdot \sin (\alpha) = 0$

Daraus folgt: $S_3 = S_1$

$\uparrow : -F + S_2 + S_3 \cos (\alpha) + S_1 \cos (\alpha) = 0$

Daraus folgt: $F =  S_2 + (S_3 + S_1) \cos (\alpha)$   |einsetzen von $S_3 = S_1$

$F = S_2 + 2S_1 \cos (\alpha)$

Es ist deutlich zu erkennen, dass die Stabkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen nicht ermittelt werden können.

Es müssen also zusätzlich die geometrischen Bedingungen (Kinematik der Verformung) berücksichtigt werden, um das Problem zu lösen.

Längenänderung

Im ersten Schritt bestimmt man den Zusammenhang der Stablängen:

Zusammenhang der Stablängen

$l_1 \cdot \cos (\alpha) = l_2$

$l_3 \cdot \cos (\alpha) = l_2$

und damit:

Die Längenänderungen ergeben sich wie folgt:

$\triangle l  = \frac{N \cdot l}{EA} + \alpha{_th} \triangle T \cdot l$. 

Für die Stäbe gilt also [thermischer Anteil fällt weg, da keine Erwärmung]:

$\triangle l_1  = \frac{S_1 \cdot l_1}{EA}$

$\triangle l_3  = \frac{S_3 \cdot l_3}{EA}$

$\triangle l_2 = \frac{S_2 \cdot l_2}{EA}$

Da $l_1 = l_3$ folgt:

$\triangle l_1  = \triangle l_3 = \frac{S_1 \cdot l_1}{EA}$

Ersetzen von $l_1$ durch

$l_1 = l_3 = \frac{l_2}{\cos (\alpha)}$

ergibt

(1) $\triangle l_1  = \triangle l_3 = \frac{S_1 \cdot l_2}{EA \cos (\alpha)}$

Verträglichkeitsbedingung

Die Verträglichkeitsbedingung muss aufgestellt werden, da bei den Stäben das Gefüge (da dieses zusammenhängt) in einem gewissen Verhältnis verschoben wird.

Diese wird an dem bereits verschobenen Gefüge ermittelt. Dazu zeichnet man wieder eine Skizze, welche die Verformung der Stäbe darstellt. Dazu sollte man wissen, dass die tatsächlichen Verformungen so klein sind, dass der Winkel $\alpha$ annähernd erhalten bleibt. Zur besseren Übersicht werden die Verformungen aber hinreichend groß dargestellt:

Verträglichkeitsbedingung

In der obigen Grafik wurden alle Stäbe verlängert eingezeichnet (gestrichelte Linien). Die äußeren verlängerten Linien ($\triangle l_3$ und $\triangle l_1$) wurden mit einer weiteren Linie (im rechten Winkel) verbunden. Dort wo sich diese Linien mit der verlängerte $\triangle l_2$ treffen liegt der neue Knoten $K'$. Es sind nun zwei Dreiecke entstanden, die mittels Kosinus berechnet werden können:

1. Dreieck:

$\cos (\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\triangle l_3}{\triangle l_2}$

$\triangle l_3 = \cos (\alpha) \cdot \triangle l_2$

2. Dreieck:

$\cos (\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\triangle l_1}{\triangle l_2}$

$\triangle l_1 = \cos (\alpha) \cdot \triangle l_2$

Das bedeutet:

Berechnung der Stabkräfte

Längenänderung:

$\triangle l_1  = \triangle l_3 = \frac{S_1 \cdot l_2}{EA \cos (\alpha)}$

$\triangle l_2 = \frac{S_2 \cdot l_2}{EA}$

Die Längenänderungen werden in die Verträglichkeitsbedingung eingesetzt:

$\triangle l_1 = \triangle l_3 =  \triangle l_2 \cos (\alpha) $

$\frac{S_1 \cdot l_2}{EA \cos (\alpha)} = \frac{S_2 \cdot l_2 \cdot \cos (\alpha)}{EA}$

Aufgelöst nach $S_1$ ergibt sich:

(1) $S_1 = S_2 \cdot \cos^2 (\alpha)$

Es können damit die Stabkräfte ermittelt werden, indem $S_1$ in die Gleichgewichtsbedingung eingesetzt wird. Die Gleichgewichtsbedingung hat geliefert:

$F = S_2 + 2S_1 \cos (\alpha)$

Einsetzen von $S_1$:

$F = S_2 + 2S_2 \cdot \cos^3 (\alpha)$

$F = S_2 (1 + 2 \cdot \cos^3 (\alpha))$

Um die Stabkräfte $S_1$ und $S_3$ zu ermitteln kann ebenfalls die obige Gleichung (1) herangezogen werden und $S_2$ eingesetzt werden:

$S_1 = S_3 = S_2 \cdot \cos^2 (\alpha)$

Einsetzen von $S_2$:

Vertikalverschiebung

Als letztes ist noch interessant, wie groß die Vertikalverschiebung des Knotens $K$ nach $K'$ ist. Diese ist genau die Verlängerung des Stabes $S_2$: