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Beispiel 1: Ritterschnittverfahren

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Im Folgenden wird das Ritterschnittverfahren an einem statisch bestimmten Fachwerk für alle Stäbe durchgeführt. Das bedeutet, dass zu Anfang zwei Stäbe mit gleichem Knoten geschnitten werden müssen, um dann den Ritterschnitt (drei Stäbe die nicht alle dem gleichen Knoten angehören) durchzuführen. Es werden zunächst die LagerKräfte bestimmt, um dann mit dem Ritterschnittverfahren zu beginnen. 

Beispiel: Ritterschnittverfahren
Beispiel: Ritterschnittverfahren

1. Bestimmung der Auflagerreaktionen

Zur Bestimmung der Auflagerraktionen muss die Momentengleichgewichtsbedingung aufgestellt werden, anhand derer man die Auflagerreaktionen ableiten kann. Zur Überprüfung kann dann die Gleichgewichtsbedingung der Kräfte herangezogen werden.

Begonnen wird mit der Momentengleichgewichtsbedingung im Knoten $K_1$, weil hier die Lagerkraft $A$ keinen Moment besitzt und damit nicht in die Bedingung mit eingeht (Berechnung von Lagerkraft $B$ möglich):

$M_{K_1} = -F_1 \cdot 2m - F_2 \cdot 6m + B \cdot 8 m = 0 $

$0 = -12 \cdot 2m - 20 \cdot 6m + B \cdot 8 m$

$B = 18 kN$

Merke

Eigenschaften bei der Berechnung von Momenten: Drehung im Uhrzeigersinn negativ, ansonsten positiv. Ein Moment wird immer berechnet durch Kraft mal Abstand zum Bezugspunkt (Schnitt mit der Wirkungslinie).

Um die Lagerkraft $A$ zu berechnen, wird als Bezugspunkt der Knoten $K_3$ gewählt, da hier die Lagerkraft $B$ nicht mit eingeht. Da es sich hierbei um ein Festlager handelt, wirkt eine horizontale $A_h$ und eine vertikale $A_v$ Lagerkraft:

$M_{K_3} = F_2 \cdot 2m + F_1 \cdot 6m - A_v \cdot 8 m = 0 $

$0 = 20 \cdot 2m + 12 \cdot 6m - A \cdot 8 m$

$A_v = 14 kN$

Zur Berechnung von $A_h$ kann die Gleichgewichtsbedingung für die horizontalen Kräfte herangezogen werden:

$\rightarrow   A_h = 0$

--> Es existieren keine horizontalen Kräfte, d.h. im Folgenden wird $A_v = A$ verwendet.

Kontrolle

Die Kontrolle erfolgt durch die Gleichgewichtsbedingungen der Teilresultierenden, welche den Wert null annehmen müssen.

$\rightarrow R_x = 0$

$\uparrow R_y = - 12 - 20 + 14 + 18 = 0$

Nachdem die Auflagerreaktionen bestimmt wurden, kann nun das Ritterschnittverfahren angewandt werden.

2. Ritterschnittverfahren

Der Schnitt muss das Fachwerk in zwei Teile zerlegen. Der Schnitt ist möglich:

  • durch zwei Stäbe die zum gleichen Knoten gehören,
  • durch drei Stäbe, die nicht alle an einem Knoten liegen oder

  • durch einen Stab und ein Gelenk.

Die ersten beiden Schnitte werden im Weiteren betrachtet. Begonnen wird damit das Fachwerk mit einem Schnitt zwischen Knoten $1 - 2$ und zwischen Knoten $1 - 4$ zu durchtrennen:

Schnitt 1
Schnitt 1
1. Schnitt

Für den linken Fachwerksteil wird zur Berechnung der zwei Stäbe $S_{12}$ und $S_{14}$ die Momentengleichgewichtsbedingung für die Knoten $K_2$ und $K_4$ angewendet. Zur Kontrolle der ermittelten Stabkräfte wird die Gleichgewichtsbedingung der Teilresultierenden für den Knoten $K_1$ verwendet und auf Richtigkeit überprüft.

Berechnung der Stäbe
Berechnung der Stäbe
Momentengleichgewichtsbedingung im 1. Schnitt

Für die Momentenberechnung an den Knoten $K_2$ und $K_4$ werden alle von außen wirkenden Kräfte, die sich links vom Schnitt befinden, betrachtet (hier: $A$). Außerdem werden diejenigen Stäbe betrachtet, durch die der Schnitt verläuft ($S_{12}$ und $S_{14}$).

Knoten 2

$M_{K_2} = -A \cdot 4m - S_{14} \cdot \sin(45°) \cdot 4m = 0$

$ 0 = -14 \cdot 4m - S_{14} \cdot 2,828m$

$S_{14} = -19,80 kN$.

$S_{12}$ wird nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinie der Kraft den Knoten $K_2$ bereits schneidet und damit kein Moment existiert.

Die Kraft $S_{14}$ ist hierbei in einen horizontalen und einen vertikalen Anteil zerlegt worden. Der horizontale Anteil schneidet den Knoten $K_2$, weshalb dieser wegfällt und nur der vertikale Anteil verbleibt: $S_{14} \cdot \sin(45°) \cdot 4m$.

Für die Berechnung von $S_{14}$ kann man diese auch entlang ihrer Wirkungslinie nach oben verschieben bis zum Knoten $K_4$ und dann parallel zu sich selbst solange nach unten, bis ihre Wirkungslinie den Bezugsknoten $K_2$ schneidet. Den Abstand (rot gestrichelt) gilt es zu berechnen (also die Parallelverschiebung und NICHT die Verschiebung auf der Wirkungslinie). Bei Aufteilung des Dreiecks in zwei Teildreiecke mit je einem 90° Winkel, kann der Satz des Pythagoras angewandt werden (siehe: Bestimmung von Momenten):

Ritterschnitt 4

$l = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2,828$

Knoten 4

$M_{K_4} = -A \cdot 2m + S_{12} \cdot 2m = 0$

$0 = -14 \cdot 2 m + S_{12} \cdot 2m$

$S_{12} = 14 kN$.

Kontrolle am Knoten 1

$R_x = S_{12} + S_{14} \cdot \cos (45°) = 14 kN - 19,80 \cdot \cos (45°) = 0$

$R_y = A + S_{14} \cdot \sin (45)° = 14  - 19,80 \cdot \sin (45°) = 0$

Da die Gleichgewichtsbedingungen beide null werden, sind die ermittelten Stabkräfte korrekt berechnet!

2. Schnitt

Der zweite Schnitt wird an den Stäben $ S_{45}$, $S_{42}$ und $S_{12}$ durchgeführt. Die Momentengleichgewichtsbedingung wird für die Knoten $K_1$ und $K_2$ aufgestellt. Die Kontrolle erfolgt über den Knoten $K_4$.

Schnitt 2
Schnitt 2
Momentengleichgewichtsbedingung im 2. Schnitt

Für die Momentenberechnung an den Knoten $K_2$ und $K_1$ werden alle von außen wirkenden Kräfte, die sich links vom Schnitt befinden, betrachtet (hier: $F_1$ und $A$). Außerdem werden diejenigen Stäbe betrachtet, durch die der Schnitt verläuft ($S_{45}$, $S_{42}$ und $S_{12}$).

$M_{K_2} = -A \cdot 4m - S_{45} \cdot 2m + F_1 \cdot 2m = 0$

$0 = -14 kN \cdot 4m - S_{45} \cdot 2m + 12 kN \cdot 2m = 0$

$S_{45} = -16 kN$.

$S_{42}$ wird nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinie bereits den Knoten $K_2$ schneidet und damit kein Hebelarm existiert.

$M_{K_1} = -F_1 \cdot 2m - S_{45} \cdot 2m - S_{42} \cdot 2,828 = 0$

$0 = -12 \cdot 2 + 16  \cdot 2 - S_{42} \cdot 2,828$

$S_{42} = 2,83 kN$

Kontrolle am Knoten 4

$R_x = F_1 \cdot \cos (270) + S_{45} \cdot \cos (0) + S_{42} \cdot \cos (315°) + S_{14} \cos (225°) $

$R_x = -16 + 2,83 \cdot \cos (315°) + (-19,8)  \cdot \cos (225°) = 0$

Kontrolle

$R_y = F_1 \cdot \sin (270) + S_{45} \cdot \sin (0) + S_{42} \cdot \sin (315°) + S_{14} \sin (225°) $

$R_y = 12 \cdot \sin (270) + 2,83 \cdot \sin (315°) + (-19,8) \sin (225°) $

$R_y = -12 + 2,83 \cdot \sin (315°) + (-19,8) \sin (225°) = 0$

Merke

Die ausführliche Berechnung der Teilresultierenden ist im Abschnitt "Kräftezerlegung (analytisch)" zu finden.

3. Schnitt

Im nächsten Schritt wird das Fachwerk zwischen den Stäben $S_{45}$, $S_{25}$ und $S_{23}$ durchtrennt. Die Momentengleichgewichtsbedingung wird für die Knoten $K_1$ und $K_4$ aufgestellt. Die Kontrolle erfolgt über den Knoten $K_2$.

Schnitt 3
Schnitt 3
Momentengleichgewichtsbedingung im 3. Schnitt

Für die Momentenberechnung an dem Knoten $K_1$ werden alle von außen wirkenden Kräfte, die sich links vom Schnitt befinden, betrachtet (hier: $F_1$ und $A$). Außerdem werden diejenigen Stäbe betrachtet, durch die der Schnitt verläuft ($S_{45}$, $S_{25}$ und $S_{23}$).

$M_{K_1} = -F_1 \cdot 2m - S_{45} \cdot 2m + S_{25} \cdot 2,828 = 0$

$0 = -12 \cdot 2m - (-16) \cdot 2m + S_{25} \cdot 2,828$

$S_{25} = -2,83 kN$.

$M_{K_4} = -A \cdot 2m + S_{25} \cdot 2,828 + S_{23} \cdot 2m = 0$

$0 = -14 \cdot 2m - 2,83 \cdot 2,828 + S_{23} \cdot 2m$

$S_{23} = 18 kN$.

Kontrolle am Knoten 2

Kontrolle am Knoten 2

$R_x = S_{23} + S_{25} \cdot \cos (45°) + S_{42} \cdot \cos (135°) + S_{12} \cos (180°)$

$R_x = 18 - 2,83 \cdot \cos (45°) + 2,83 \cdot \cos (135°) + 14 \cos (180°) = 0$

$R_y =  S_{25} \cdot \sin (45°) + S_{42} \cdot \sin (135°) $

$R_y = - 2,83 \cdot \sin (45°) + 2,83 \cdot \sin (135°) = 0$

4. Schnitt

Das Fachwerk wird an den Stäben $S_{23}$ und $S_{53}$ durchtrennt. Die Momentengleichgewichtsbedingung wird für den Knoten $K_2$ aufgestellt. Die Kontrolle erfolgt über den Knoten $K_5$.

Schnitt 4 - Ritterschnittverfahren
Schnitt 4

Für die Momentenberechnung an dem Knoten $K_2$ werden alle von außen wirkenden Kräfte, die sich links vom Schnitt befinden, betrachtet (hier: $F_1$, $F_2$ und $A$). Außerdem werden diejenigen Stäbe betrachtet, durch die der Schnitt verläuft ($S_{23}$ und $S_{53}$).

$M_{K_2} = -A \cdot 4m + F_1 \cdot 2m - F_2 \cdot 2m - S_{53} \cdot 2,828 = 0$

$0 = -14 \cdot 4m + 12 \cdot 2m - 20 \cdot 2m - S_{53} \cdot 2,828$

$S_{53} = -25,46 kN$.

Kontrolle am Knoten 5

Kontrolle am Knoten 5

$R_x = F_2 \cdot \cos (270°) + S_{45} \cdot \cos (180°) + S_{53} \cdot \cos (315°) + S_{25} \cdot \cos (225°) $

$R_x = -16 \cdot \cos (180°) - 25,46 \cdot \cos (315°)  - 2,83 \cdot \cos (225°) = 0$

$R_y =  F_2 \cdot \sin (270°) + S_{45} \cdot \sin (180°) + S_{53} \cdot \sin (315°) + S_{25} \cdot \sin (225°) $

$R_y = 20 \cdot \sin (270°) - 25,46  \cdot \sin (315°) - 2,83 \cdot \sin (225°) = 0 $

Das Ritterschnittverfahren ist beendet, da alle Stäbe berechnet sind.

Kommentare zum Thema: Beispiel 1: Ritterschnittverfahren

  • Jessica Scholz schrieb am 11.02.2015 um 17:48 Uhr
    Hallo Frau Pausch, Sie können mittels Satz des Pythagoras immer in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse berechnen. Dabei müssen die anderen beiden Winkel nicht 45° groß sein. Zusammen müssen die beiden Winkel natürlich dann 90° ergeben und mit dem rechten Winkel eingerechnet 180°. Für die Kontrolle wird die horizontale Gleichgewichtsbedinung (in x-Richtung) und die vertikale Gleichgewichtsbedingung (in y-Richtung) verwendet. Wird zum Beispiel der Knoten 5 betrachtet, so stellt dieser den Koordinatenursprung dar. Es werden alle Kräfte berücksichtig, die auf diesen Knoten wirken. Die Kraft F2 im obigen Beispiel ist vertikal nach unten gerichtet (in einem Koordinatensystem würde diese also vom Ursprung in den negativen y-Bereich zeigen). Diese Kraft F2 geht NICHT in die horizontale Gleichgewichtsbedingung mit ein. Die cos(270) legt die Kraft F2 in positive x-Richtung. Das ergibt Null. Also geht diese mit Null in die horizontale und dafür komplett in die vertikale Gleichgewichtsbedingung ein. Für die vertikale Gleichgewichtsbedinung muss die Kraft immer zur positiven x-Achse gelegt werden. Für die vertikale Gleichgewichtsbedinung immer in Richtung der positiven y-Achse. Z.B. die Stabkraft S45. Diese zeigt in negative x-Richtung und muss demnach noch einmal um 180° gedreht werden. Dies geschieht entweder mit cos(180°) oder mit einem Minuszeichen vor der Kraft S45. Denn S45 * cos(180°) = -S45. Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de Team.
  • pausch nancy schrieb am 11.02.2015 um 10:03 Uhr
    Vielen Dank! also kurz und knapp gesagt kann ich bei 45° immer mit der Hypotenuse rechnen, denn das entspricht ja dem sin bzw. cos 45°! Die Kontrollprüfungen beziehen sich immer auf das Koordinatensystem x, y, x-Richtung entspricht dem cos und y-Richtung dem sin, heißt das egal in welcher Richtung eine Kraft angreift man´sich immer auf den Koordinatenursprung bezieht. Ich hatte ein kleines Vorstellungsproblem wenn die Kräfte auf 90° also senkrecht angreifen jedoch zum Ursprung gerechnet mit 270° in die Rechnung eingehen.
  • Jessica Scholz schrieb am 11.02.2015 um 09:30 Uhr
    Hallo Frau Pausch, ich haben die Korrektur vorgenommen. Da sin(45°) = cos(45°) war die Berechnung zwar richtig, allerdings nicht übersichtlich. Ich hoffe ich konnte Ihnen damit weiterhelfen. Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de Team.
  • Jessica Scholz schrieb am 11.02.2015 um 09:16 Uhr
    Hallo Herr Jimenez, können Sie mir bitte Ihre Momentengleichgewichtsbedingung aufschreiben, so dass ich nachvollziehen kann, was genau sie für Berechnungen angestellt haben? Vielen Dank und viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de Team.
  • pausch nancy schrieb am 11.02.2015 um 08:43 Uhr
    K2 Momentengleichgewicht um K2 zur Berechnung von S14, weshalb geht für den vertikalen Anteil von S14 der cos ein, horizontaler Anteil liegt auf der Wirkungslinie von K2. Kontrolle von K1 lässt den horizontalen Anteil von S14 mit cos berechnen, ich verstehe es nicht egal wie ich mein Blatt Papier auch drehe die gegenüberliegende Seite vom Winkel 45° ist bei mir die Gegenkathete.
  • Gabriel Jimenez schrieb am 10.02.2015 um 21:23 Uhr
    S42 = 5,66 KN ich habe mit 2 m gerechnet.
  • Jessica Scholz schrieb am 10.02.2015 um 11:59 Uhr
    Hallo Herr Jimenez, haben Sie andere Werte erhalten? Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de Team.
  • Gabriel Jimenez schrieb am 10.02.2015 um 11:12 Uhr
    S42 = 2,83 ? Ist das richtig ?
  • Jessica Scholz schrieb am 13.01.2015 um 11:39 Uhr
    Hallo Herr Stellke, vielen Dank für den Hinweis. Der Fehler ist behoben worden. Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de Team.
  • Jessica Scholz schrieb am 17.12.2014 um 09:03 Uhr
    Hallo Herr Tacke, vielen Dank für den Hinweis. Der Fehler wurde korrigiert. Wir wünschen weiterhin ein gutes Gelingen. Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de-Team.
  • Manuel Tacke schrieb am 16.12.2014 um 21:13 Uhr
    Hallo bei Knoten 4 beträgt der Abstand 2m und nicht 4m. In der Rechnung wird dann aber mit 2m gerechnet, was auch richtig sein muss.
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Autor: Jessica Scholz

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