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Technische Mechanik 1: Statik - Beispiel 1: Ritterschnittverfahren

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Technische Mechanik 1: Statik

Beispiel 1: Ritterschnittverfahren

Im Folgenden wird das Ritterschnittverfahren an einem statisch bestimmten Fachwerk für alle Stäbe durchgeführt. Das bedeutet, dass zu Anfang zwei Stäbe mit gleichem Knoten geschnitten werden müssen, um dann den Ritterschnitt (drei Stäbe die nicht alle dem gleichen Knoten angehören) durchzuführen. Es werden zunächst die LagerKräfte bestimmt, um dann mit dem Ritterschnittverfahren zu beginnen. 

Beispiel: Ritterschnittverfahren
Beispiel: Ritterschnittverfahren

1. Bestimmung der Auflagerreaktionen

Zur Bestimmung der Auflagerraktionen muss die Momentengleichgewichtsbedingung aufgestellt werden, anhand derer man die Auflagerreaktionen ableiten kann. Zur Überprüfung kann dann die Gleichgewichtsbedingung der Kräfte herangezogen werden.

Begonnen wird mit der Momentengleichgewichtsbedingung im Knoten $K_1$, weil hier die Lagerkraft $A$ keinen Moment besitzt und damit nicht in die Bedingung mit eingeht (Berechnung von Lagerkraft $B$ möglich):

$M_{K_1} = -F_1 \cdot 2m - F_2 \cdot 6m + B \cdot 8 m = 0 $

$0 = -12 \cdot 2m - 20 \cdot 6m + B \cdot 8 m$

$B = 18 kN$

Merke

Eigenschaften bei der Berechnung von Momenten: Drehung im Uhrzeigersinn negativ, ansonsten positiv. Ein Moment wird immer berechnet durch Kraft mal Abstand zum Bezugspunkt (Schnitt mit der Wirkungslinie).

Um die Lagerkraft $A$ zu berechnen, wird als Bezugspunkt der Knoten $K_3$ gewählt, da hier die Lagerkraft $B$ nicht mit eingeht. Da es sich hierbei um ein Festlager handelt, wirkt eine horizontale $A_h$ und eine vertikale $A_v$ Lagerkraft:

$M_{K_3} = F_2 \cdot 2m + F_1 \cdot 6m - A_v \cdot 8 m = 0 $

$0 = 20 \cdot 2m + 12 \cdot 6m - A \cdot 8 m$

$A_v = 14 kN$

Zur Berechnung von $A_h$ kann die Gleichgewichtsbedingung für die horizontalen Kräfte herangezogen werden:

$\rightarrow   A_h = 0$

--> Es existieren keine horizontalen Kräfte, d.h. im Folgenden wird $A_v = A$ verwendet.

Kontrolle

Die Kontrolle erfolgt durch die Gleichgewichtsbedingungen der Teilresultierenden, welche den Wert null annehmen müssen.

$\rightarrow R_x = 0$

$\uparrow R_y = - 12 - 20 + 14 + 18 = 0$

Nachdem die Auflagerreaktionen bestimmt wurden, kann nun das Ritterschnittverfahren angewandt werden.

2. Ritterschnittverfahren

Der Schnitt muss das Fachwerk in zwei Teile zerlegen. Der Schnitt ist möglich:

  • durch zwei Stäbe die zum gleichen Knoten gehören,
  • durch drei Stäbe, die nicht alle an einem Knoten liegen oder

  • durch einen Stab und ein Gelenk.

Die ersten beiden Schnitte werden im Weiteren betrachtet. Begonnen wird damit das Fachwerk mit einem Schnitt zwischen Knoten $1 - 2$ und zwischen Knoten $1 - 4$ zu durchtrennen:

Schnitt 1
Schnitt 1
1. Schnitt

Für den linken Fachwerksteil wird zur Berechnung der zwei Stäbe $S_{12}$ und $S_{14}$ die Momentengleichgewichtsbedingung für die Knoten $K_2$ und $K_4$ angewendet. Zur Kontrolle der ermittelten Stabkräfte wird die Gleichgewichtsbedingung der Teilresultierenden für den Knoten $K_1$ verwendet und auf Richtigkeit überprüft.

Berechnung der Stäbe
Berechnung der Stäbe
Momentengleichgewichtsbedingung im 1. Schnitt

Für die Momentenberechnung an den Knoten $K_2$ und $K_4$ werden alle von außen wirkenden Kräfte, die sich links vom Schnitt befinden, betrachtet (hier: $A$). Außerdem werden diejenigen Stäbe betrachtet, durch die der Schnitt verläuft ($S_{12}$ und $S_{14}$).

Knoten 2

$M_{K_2} = -A \cdot 4m - S_{14} \cdot \sin(45°) \cdot 4m = 0$

$ 0 = -14 \cdot 4m - S_{14} \cdot 2,828m$

$S_{14} = -19,80 kN$.

$S_{12}$ wird nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinie der Kraft den Knoten $K_2$ bereits schneidet und damit kein Moment existiert.

Die Kraft $S_{14}$ ist hierbei in einen horizontalen und einen vertikalen Anteil zerlegt worden. Der horizontale Anteil schneidet den Knoten $K_2$, weshalb dieser wegfällt und nur der vertikale Anteil verbleibt: $S_{14} \cdot \sin(45°) \cdot 4m$.

Für die Berechnung von $S_{14}$ kann man diese auch entlang ihrer Wirkungslinie nach oben verschieben bis zum Knoten $K_4$ und dann parallel zu sich selbst solange nach unten, bis ihre Wirkungslinie den Bezugsknoten $K_2$ schneidet. Den Abstand (rot gestrichelt) gilt es zu berechnen (also die Parallelverschiebung und NICHT die Verschiebung auf der Wirkungslinie). Bei Aufteilung des Dreiecks in zwei Teildreiecke mit je einem 90° Winkel, kann der Satz des Pythagoras angewandt werden (siehe: Bestimmung von Momenten):

Ritterschnitt 4

$l = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2,828$

Knoten 4

$M_{K_4} = -A \cdot 2m + S_{12} \cdot 2m = 0$

$0 = -14 \cdot 2 m + S_{12} \cdot 2m$

$S_{12} = 14 kN$.

Kontrolle am Knoten 1

$R_x = S_{12} + S_{14} \cdot \cos (45°) = 14 kN - 19,80 \cdot \cos (45°) = 0$

$R_y = A + S_{14} \cdot \sin (45)° = 14  - 19,80 \cdot \sin (45°) = 0$

Da die Gleichgewichtsbedingungen beide null werden, sind die ermittelten Stabkräfte korrekt berechnet!

2. Schnitt

Der zweite Schnitt wird an den Stäben $ S_{45}$, $S_{42}$ und $S_{12}$ durchgeführt. Die Momentengleichgewichtsbedingung wird für die Knoten $K_1$ und $K_2$ aufgestellt. Die Kontrolle erfolgt über den Knoten $K_4$.

Schnitt 2
Schnitt 2
Momentengleichgewichtsbedingung im 2. Schnitt

Für die Momentenberechnung an den Knoten $K_2$ und $K_1$ werden alle von außen wirkenden Kräfte, die sich links vom Schnitt befinden, betrachtet (hier: $F_1$ und $A$). Außerdem werden diejenigen Stäbe betrachtet, durch die der Schnitt verläuft ($S_{45}$, $S_{42}$ und $S_{12}$).

$M_{K_2} = -A \cdot 4m - S_{45} \cdot 2m + F_1 \cdot 2m = 0$

$0 = -14 kN \cdot 4m - S_{45} \cdot 2m + 12 kN \cdot 2m = 0$

$S_{45} = -16 kN$.

$S_{42}$ wird nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinie bereits den Knoten $K_2$ schneidet und damit kein Hebelarm existiert.

$M_{K_1} = -F_1 \cdot 2m - S_{45} \cdot 2m - S_{42} \cdot 2,828 = 0$

$0 = -12 \cdot 2 + 16  \cdot 2 - S_{42} \cdot 2,828$

$S_{42} = 2,83 kN$

Kontrolle am Knoten 4

$R_x = F_1 \cdot \cos (270) + S_{45} \cdot \cos (0) + S_{42} \cdot \cos (315°) + S_{14} \cos (225°) $

$R_x = -16 + 2,83 \cdot \cos (315°) + (-19,8)  \cdot \cos (225°) = 0$

Kontrolle

$R_y = F_1 \cdot \sin (270) + S_{45} \cdot \sin (0) + S_{42} \cdot \sin (315°) + S_{14} \sin (225°) $

$R_y = 12 \cdot \sin (270) + 2,83 \cdot \sin (315°) + (-19,8) \sin (225°) $

$R_y = -12 + 2,83 \cdot \sin (315°) + (-19,8) \sin (225°) = 0$

Merke

Die ausführliche Berechnung der Teilresultierenden ist im Abschnitt "Kräftezerlegung (analytisch)" zu finden.

3. Schnitt

Im nächsten Schritt wird das Fachwerk zwischen den Stäben $S_{45}$, $S_{25}$ und $S_{23}$ durchtrennt. Die Momentengleichgewichtsbedingung wird für die Knoten $K_1$ und $K_4$ aufgestellt. Die Kontrolle erfolgt über den Knoten $K_2$.

Schnitt 3
Schnitt 3
Momentengleichgewichtsbedingung im 3. Schnitt

Für die Momentenberechnung an dem Knoten $K_1$ werden alle von außen wirkenden Kräfte, die sich links vom Schnitt befinden, betrachtet (hier: $F_1$ und $A$). Außerdem werden diejenigen Stäbe betrachtet, durch die der Schnitt verläuft ($S_{45}$, $S_{25}$ und $S_{23}$).

$M_{K_1} = -F_1 \cdot 2m - S_{45} \cdot 2m + S_{25} \cdot 2,828 = 0$

$0 = -12 \cdot 2m - (-16) \cdot 2m + S_{25} \cdot 2,828$

$S_{25} = -2,83 kN$.

$M_{K_4} = -A \cdot 2m + S_{25} \cdot 2,828 + S_{23} \cdot 2m = 0$

$0 = -14 \cdot 2m - 2,83 \cdot 2,828 + S_{23} \cdot 2m$

$S_{23} = 18 kN$.

Kontrolle am Knoten 2

Kontrolle am Knoten 2

$R_x = S_{23} + S_{25} \cdot \cos (45°) + S_{42} \cdot \cos (135°) + S_{12} \cos (180°)$

$R_x = 18 - 2,83 \cdot \cos (45°) + 2,83 \cdot \cos (135°) + 14 \cos (180°) = 0$

$R_y =  S_{25} \cdot \sin (45°) + S_{42} \cdot \sin (135°) $

$R_y = - 2,83 \cdot \sin (45°) + 2,83 \cdot \sin (135°) = 0$

4. Schnitt

Das Fachwerk wird an den Stäben $S_{23}$ und $S_{53}$ durchtrennt. Die Momentengleichgewichtsbedingung wird für den Knoten $K_2$ aufgestellt. Die Kontrolle erfolgt über den Knoten $K_5$.

Schnitt 4 - Ritterschnittverfahren
Schnitt 4

Für die Momentenberechnung an dem Knoten $K_2$ werden alle von außen wirkenden Kräfte, die sich links vom Schnitt befinden, betrachtet (hier: $F_1$, $F_2$ und $A$). Außerdem werden diejenigen Stäbe betrachtet, durch die der Schnitt verläuft ($S_{23}$ und $S_{53}$).

$M_{K_2} = -A \cdot 4m + F_1 \cdot 2m - F_2 \cdot 2m - S_{53} \cdot 2,828 = 0$

$0 = -14 \cdot 4m + 12 \cdot 2m - 20 \cdot 2m - S_{53} \cdot 2,828$

$S_{53} = -25,46 kN$.

Kontrolle am Knoten 5

Kontrolle am Knoten 5

$R_x = F_2 \cdot \cos (270°) + S_{45} \cdot \cos (180°) + S_{53} \cdot \cos (315°) + S_{25} \cdot \cos (225°) $

$R_x = -16 \cdot \cos (180°) - 25,46 \cdot \cos (315°)  - 2,83 \cdot \cos (225°) = 0$

$R_y =  F_2 \cdot \sin (270°) + S_{45} \cdot \sin (180°) + S_{53} \cdot \sin (315°) + S_{25} \cdot \sin (225°) $

$R_y = 20 \cdot \sin (270°) - 25,46  \cdot \sin (315°) - 2,83 \cdot \sin (225°) = 0 $

Das Ritterschnittverfahren ist beendet, da alle Stäbe berechnet sind.