Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Kritische Knickkraft

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Kritische Knickkraft

In diesem Abschnitt soll aufgezeigt werden, wie man die kritische Knickkraft $F_K$ bestimmt.

Merke

Bei der kritischen Knickkraft $F_K$ handelt es sich um die kleinst mögliche Druckkraft, bei welcher der Stab knickt.

Zur Berechnung der kritischen Knickkraft $F_K$ müssen folgende Daten gegeben sein:

- Geometrie des Stabes,

- Lagerbedingungen,

- Querschnittsform des Stabes und

- Kenntnis über den Werkstoff [E-Modul].

Mit der Kenntnis über den Werkstoff lässt sich das E-Modul (aus Tabellen) bestimmen. Die Geometrie des Stabquerschnitts kann mittels Flächenträgheitsmoment bestimmt werden. Über die Lagerbedingungen kann der Euler-Fall ermittelt werden und damit die Knicklänge. 

Methode

Die kritische Knickkraft wird berechnet durch:

$\ F_K = \frac{\pi^2 EI}{l_K^2} $

mit

$ F_K = \text{Kritische Kraft} $

$ l_K = \text{Knicklänge} $

$ E =  \text{E-Modul}$

$I = \text{axiales Flächenträgheitsmoment des Querschnitts}$

Beispiel: Bestimmung der kritischen Knickkraft

Beispiel Stabknickung
Beispiel Stabknickung

Beispiel

Gegeben sei der obige Stab mit kreisförmigem Querschnitt. Der Stab ist am Boden fest eingespannt. Die Länge des Stabes sei $l = 750mm$ mit einem Durchmesser von $d = 10mm$. Es handelt sich hierbei um den Werkstoff S235 (St 37). Wie groß ist die kritische Knickkraft?

Es müssen zunächst das axiale Flächenträgheitsmoment des Stabquerschnitts $I$ sowie die Knicklänge $l_k$ bestimmt werden. Die restlichen Werte können der Aufgabenstellung entnommen werden.

Knicklänge

Die Knicklänge kann dem vorherigen Kapitel entnommen werden. In diesem Beispiel handelt es sich um eine feste Einspannung am Boden. Die Knicklänge ist demnach:

$l_k = 2l = 2 \cdot 750mm = 1.500mm$.

Axiales Flächenträgheitsmoment

Die Bestimmung des axialen Flächenträgheitsmoments für den Querschnitt kann man bei einfachen Querschnittsgeometrien aus einer Tabelle ablesen (siehe Abschnitt Flächenträgheitsmomente in Abhängigkeit vom Koordinatensystem). Ist das Flächenträgheitsmoment nicht tabellarisch gegeben, muss dieses berechnet werden.

Da es sich hierbei um einen kreisförmigen Querschnitt handelt, kann man $I$ aus der Tabelle ablesen:

$I = \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi \cdot (5mm)^4}{4} = 490,87 mm^4$

E-Modul

Das E-Modul für den Werkstoff S235 (St 37) kann aus einer Tabelle abgelesen werden. Es handelt sich hierbei um Stahl mit dem E-Wert: $21 \cdot 10^4 N/mm^2$.

Kritische Knickkraft

$\ F_K = \frac{\pi^2 EI}{l_K^2} $

Methode

$F_K = \frac{\pi^2 \cdot 210.000 N/mm^2 \cdot 490,87mm^4}{(1.500mm)^2} = 452,17 N$