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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)

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In diesem Abschnitt werden die Spannungen zunächst für einen geraden Stab mit konstanter Querschnittsfläche betrachtet, welcher auf Zug belastet wird. Es soll gezeigt werden, wie sich die Spannungen bei der Betrachtung von unterschiedlichen Schnittwinkeln ändern. 

Spannung im Stab / senkrechter Schnitt

Man stelle sich einen Stab vor, der durch die Zugkraft $F$ belastet wird. Der Stab besitzt eine konstante Querschnittsfläche $A$. Die Wirkungslinie der Kräfte ist die Stabachse. Die Stabachse stellt den Schwerpunkt der Querschnittsfläche vom Stab dar. Da man sich nicht für die äußeren Kräfte, sondern stattdessen für die Spannungen im Inneren interessiert, wird nach dem Schnittprinzip der Stab in zwei Bestandteile zerlegt.

Senkrechter Schnitt am Balken
Senkrechter Schnitt am Balken

Im ersten Schnitt wird angenommen, dass der Schnitt im Winkel von 90° [senkrecht] zur Stabachse durchgeführt wird. Es wird sich zeigen, dass bei einem Zugstab (bzw. Druckstab) durch welchen ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird, nur Spannungen in Richtung der Stabachse (= Normalspannungen) auftreten. Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass die Normalkraft die Zusammenfassung der Normalspannungen darstellt und senkrecht auf der Schnittfläche steht. Im Gegensatz dazu, stellt die Tangentialkraft $T$ die Zusammenfassung der Schubspannung $\tau$ dar und verläuft parallel zur Schnittfläche:

Geschnittener Balken
Geschnittener Balken

Normalspannung

Es soll nun zunächst die Normalspannung bestimmt werden. Dies geschieht, indem der linke oder rechte Teilbalken betrachtet wird und die Gleichgewichtsbedingungen angewandt werden. Häufig wird zur Berechnung der linke Teilbalken betrachtet. Auch hier wird zur Berechnung der linke Teilbalken verwendet. Die Normalspannung bestimmt sich durch:

Methode

$ \sigma = \frac{N}{A} $.                                   Normalspannung

Es wird davon ausgegangen, dass $F$ bekannt ist. Um nun die Normalspannung zu bestimmen, muss man zunächst die Normalkraft $N$ bestimmen. Diese bestimmt sich aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung:

$\rightarrow : N - F = 0 \; \rightarrow N = F$

Die Normalspannung bestimmt sich also durch:

$\sigma = \frac{F}{A}$.

Merke

Ist die Normalkraft positiv (Zug), so ist die Spannung $ \sigma > 0 $ auch positiv.

Ist die Normalkraft hingegen negativ (Druck), so ist die Spannung $\sigma < 0 $ negativ.

Im ersten Fall handelt es sich im Zugspannungen und im umgekehrten Fall um Druckspannungen. Dabei ist es unerheblich, ob die Geometrie der Querschnittsfläche rechteckig, oval oder kreisförmig ist, sofern ein identischer Flächeninhalt vorliegt.

Schubspannung

Wie bereits oben erwähnt, wird gezeigt, dass bei einem Zug- bzw. Druckstab mit senkrechtem Schnitt keine Schubspannungen auftreten. Dazu betrachtet man die vertikale Gleichgewichtsbedingung:

$\uparrow : -T = 0 \rightarrow T = 0$

$\tau = \frac{T}{A} = \frac{0}{A} = 0$.

Da ansonsten keine Kräfte in vertikale Richtung wirken, existiert keine Schubspannung.

Video: Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)

Spannungen im Stab und infolgedessen Dehnungen treten bei Stäben unter äußerer Belastung auf. Neben den äußeren Kräften stehen Spannungen zudem im direkten Zusammenhang mit Querschnittsfläche und Schnittwinkel.