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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt

Inhaltsverzeichnis

Torsion Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei der obige einseitig gespannte Stab (homogen), welcher einen kreisförmigen Querschnitt besitzt. Der Stab wird durch die zwei Momente $M_A$ und $M_B$ belastet.

1) Wie groß muss $M_B$ sein ($M_A$ gegeben), damit der Verdrehwinkel am Stabende (2) null wird?

2) Wie groß ist dann die Maximale Schubspannung?

Es sind mehrere Bereiche gegeben mit unterschiedlichen Momentenwirkungen. Im Bereich $\overline{01}$ wirken beide Torsionsmomente $M_A$ und $M_B$. Im Bereich $\overline{12}$ hingegen wirkt nur das Torsionsmoment $M_B$. 

In der Aufgabenstellung ist der Verdrehwinkel am Stabende beschrieben. Dies wird mit der folgenden Formel (bei konstanter Verdrillung $\vartheta) beschrieben:

$\triangle \varphi = \frac{M_T l}{GI_P} $  

Da nun zwei Bereiche existieren, wird erst der 1. Bereich $\overline{01}$ mit der Länge $l = \frac{1}{3}l$ betrachtet:

Methode

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$\triangle \varphi_{01} = \frac{M_A + M_B}{G I_P} \frac{1}{3}l $           1. Bereich


Der 2. Bereich $\overline{12}$ mit der Länge $l = \frac{2}{3}l$ folgt dann mit:

Methode

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$\triangle \varphi_{12} = \frac{M_B}{G I_P} \frac{2}{3}l $                      2. Bereich

Es werden nun beide Bereiche überlagert (addiert), um auf die gesamte Verdrehung am Stabende zu gelangen:

$\triangle \varphi_{02} = \frac{M_A + M_B}{G I_P} \frac{1}{3}l  + \frac{M_B}{G I_P} \frac{2}{3}l$

Der Verdrehwinkel soll laut Aufgabenstellung am Ende (2) gleich null sein. Das bedeutet also, dass die Endverdrehung $\triangle \varphi = 0$ gesetzt werden muss. Es kann dann das Torsionsmoment $M_b$ berechnet werden:

$\triangle \varphi_{02} = \frac{M_A + M_B}{G I_P} \frac{1}{3}l  + \frac{M_B}{G I_P} \frac{2}{3}l = 0$

$\frac{1}{3}l \frac{M_A}{G I_P} + \frac{1}{3}l \frac{M_B}{G I_P} + \frac{2}{3} l  \frac{M_B}{G I_P} = 0$

$\frac{1}{3}l \frac{M_A}{G I_P} + \frac{M_B l}{G I_P} = 0$

$\frac{1}{3}l \frac{M_A}{G I_P} = - \frac{M_B l}{G I_P}$

Methode

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$M_B = - \frac{1}{3} M_A$

Maximale Schubspannung

Die maximale Schubspannung tritt dort auf, wo das Torsionsmoment am größten ist. 

Am Stabende (2) ist $M_B = -\frac{1}{3}M_A$.

Am Punkt (1) ist $M_B = 1 M_A$, da hier das Moment $M_A$ angreift.

Am Stabende ist $M_B$ also $-\frac{1}{3} M_A$. Die Momentenlinie liegt demnach im negativen Bereich. Im Punkt (1) ist $M_B =  M_A$, weil genau hier das Moment $M_A$ angreift. Es muss nun im Bereich 1 die Momentenlinie um $1$ nach oben gezogen werden. Dies führt dazu, dass das Moment am Punkt (0) $\frac{2}{3}M_A$ groß ist.

Momentenverlauf
Momentenverlauf

Das Moment ist also im Punkt $A$ am größten mit $|M_{max}| = \frac{2}{3} M_A$. 

Die Formel für die maximale Schubspannung ist:

Methode

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$ \tau_{max} = \frac{M_T}{W_T} $ 

mit

$W_T = \frac{I_P}{R}$

Das polare Flächenträgheitsmoment $I_P$ wird berechnet mit:

$ I_P = \int_A r^2 dA$


Bei einem Kreisquerschnitt ist $dA = 2 \pi r \; dr$

$ I_P = \int_{r=0}^R r^2 \;  2\pi r \; dr = \frac{\pi R^4}{2} $ 

Dann ist das Widerstandsmoment:

$W_T = \frac{\frac{\pi R^4}{2}}{R} = \frac{\pi R^3}{2}$

Die maximale Schubspannung ist dann:

$ \tau_{max} = \frac{\frac{2}{3} M_A}{\frac{\pi R^3}{2}} $ 

$ \tau_{max} = \frac{2}{3} M_A \cdot \frac{2}{\pi R^3}$

Methode

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$ \tau_{max} =  \frac{4 M_A}{3 \pi R^3}$