Inhaltsverzeichnis
Beispiel
1) Wie groß muss $M_B$ sein ($M_A$ gegeben), damit der Verdrehwinkel am Stabende (2) null wird?
2) Wie groß ist dann die maximale Schubspannung?
Es sind mehrere Bereiche gegeben mit unterschiedlichen Momentenwirkungen. Im Bereich $\overline{01}$ wirken beide Torsionsmomente $M_A$ und $M_B$. Im Bereich $\overline{12}$ hingegen wirkt nur das Torsionsmoment $M_B$.
In der Aufgabenstellung ist der Verdrehwinkel am Stabende beschrieben. Dies wird mit der folgenden Formel (bei konstanter Verdrillung $\vartheta) beschrieben:
$\triangle \varphi = \frac{M_T l}{GI_P} $
Da nun zwei Bereiche existieren, wird erst der 1. Bereich $\overline{01}$ mit der Länge $l = \frac{1}{3}l$ betrachtet:
Methode
$\triangle \varphi_{01} = \frac{M_A + M_B}{G I_P} \frac{1}{3}l $ 1. Bereich
Der 2. Bereich $\overline{12}$ mit der Länge $l = \frac{2}{3}l$ folgt dann mit:
Methode
$\triangle \varphi_{12} = \frac{M_B}{G I_P} \frac{2}{3}l $ 2. Bereich
Es werden nun beide Bereiche überlagert (addiert), um auf die gesamte Verdrehung am Stabende zu gelangen:
$\triangle \varphi_{02} = \frac{M_A + M_B}{G I_P} \frac{1}{3}l + \frac{M_B}{G I_P} \frac{2}{3}l$
Der Verdrehwinkel soll laut Aufgabenstellung am Ende (2) gleich null sein. Das bedeutet also, dass die Endverdrehung $\triangle \varphi = 0$ gesetzt werden muss. Es kann dann das Torsionsmoment $M_b$ berechnet werden:
$\triangle \varphi_{02} = \frac{M_A + M_B}{G I_P} \frac{1}{3}l + \frac{M_B}{G I_P} \frac{2}{3}l = 0$
$\frac{1}{3}l \frac{M_A}{G I_P} + \frac{1}{3}l \frac{M_B}{G I_P} + \frac{2}{3} l \frac{M_B}{G I_P} = 0$
$\frac{1}{3}l \frac{M_A}{G I_P} + \frac{M_B l}{G I_P} = 0$
$\frac{1}{3}l \frac{M_A}{G I_P} = - \frac{M_B l}{G I_P}$
Methode
$M_B = - \frac{1}{3} M_A$
Maximale Schubspannung
Die maximale Schubspannung tritt dort auf, wo das Torsionsmoment am größten ist.
Am Stabende (2) ist $M_B = -\frac{1}{3}M_A$.
Am Punkt (1) ist $M_B = 1 M_A$, da hier das Moment $M_A$ angreift.
Am Stabende ist $M_B$ also $-\frac{1}{3} M_A$. Die Momentenlinie liegt demnach im negativen Bereich. Im Punkt (1) ist $M_B = M_A$, weil genau hier das Moment $M_A$ angreift. Es muss nun im Bereich 1 die Momentenlinie um $1$ nach oben gezogen werden. Dies führt dazu, dass das Moment am Punkt (0) $\frac{2}{3}M_A$ groß ist.
Das Moment ist also im Punkt $A$ am größten mit $|M_{max}| = \frac{2}{3} M_A$.
Die Formel für die maximale Schubspannung ist:
Methode
$ \tau_{max} = \frac{M_T}{W_T} $
mit
$W_T = \frac{I_P}{R}$
Das polare Flächenträgheitsmoment $I_P$ wird berechnet mit:
$ I_P = \int_A r^2 dA$
Bei einem Kreisquerschnitt ist $dA = 2 \pi r \; dr$
$ I_P = \int_{r=0}^R r^2 \; 2\pi r \; dr = \frac{\pi R^4}{2} $
Dann ist das Widerstandsmoment:
$W_T = \frac{\frac{\pi R^4}{2}}{R} = \frac{\pi R^3}{2}$
Die maximale Schubspannung ist dann:
$ \tau_{max} = \frac{\frac{2}{3} M_A}{\frac{\pi R^3}{2}} $
$ \tau_{max} = \frac{2}{3} M_A \cdot \frac{2}{\pi R^3}$
Methode
$ \tau_{max} = \frac{4 M_A}{3 \pi R^3}$
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Torsionsbeanspruchung von Federn
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Torsionsbeanspruchung von Federn (Elastische Verbindungselemente - Federn) aus unserem Online-Kurs Maschinenelemente 2 interessant.
-
Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken (Schnittmethode und Schnittgrößen) aus unserem Online-Kurs Technische Mechanik 1: Statik interessant.
