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Maschinenelemente 2 - Torsionsbeanspruchung von Federn

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Maschinenelemente 2

Torsionsbeanspruchung von Federn

Nachdem Sie bereits biegebeanspruchte Federn kennengelernt haben, stellen wir Ihnen nun torsionsbeanspruchte Federn vor. Wie bei den bereits vorgestellten Federarten existieren auch bei den torsionsbeanspruchten Federn unterschiedliche Ausführungen. Im Rahmen dieses Kurses werden wir die zwei gängigsten Federtypen näher untersuchen. 

Federtypen

  • Drehstabfedern,
  • Schraubenfedern,

Drehstabfedern:

Die Drehstabfeder, oder wie es Ihnen eher bekannt ist der Torsionstab, ist aus geometrischer Sicht ein Stab, der fest zwischen zwei Bauteilen eingespannt wird und eine Schwenkbewegung um die Drehachse zwischen diesen zulässt. Die Momenteneinleitung erfolgt hierbei an den Stabenden. Als Stabwerkstoff verwendet man meistens warmgewalzten, gehärteten Stahl. 

Merke

Drehstabfedern finden Ihre Anwendung vor allem im Fahrzeugbau.   

Selbst in der Kategorie der Drehstabfedern existieren unterschiedliche Ausführungsformen, die sich in erster Linie durch die Gestaltung der Stabenden voneinander unterscheiden lassen, wohingegen der Stab selbst in den meisten Fällen als Rundprofil gefertigt wird.  In der nächsten Abbildung sehen Sie daher unterschiedliche Ausführungsformen von Drehstabfedern:

Drehstabfedern
Drehstabfedern

Die beiden gängigsten Ausführungsformen sind Drehstabfedern mit Vierkantkopf und Kopf mit Kerbverzahnung.

Berechnungsgleichungen

Für die Berechnung der Festigkeit des Drehstabfedern sind in erster Linie zwei Größen relevant.

  1. Die Länge $ l $ des Stabes,
  2. Der Verdrehwinkel $\varphi $ infolge der Torsionsbeanspruchung $ T $  

Der Verdrehwinkel $\varphi $ errechnet sich durch:

Merke

Verdrehwinkel: $\varphi = \frac{ l }{ G \cdot I_T} \cdot T $ 
  • $l =$ Länge des Stabes
  • $G =$ Zugmodul
  • $I_T = $polares Trägheitsmoment,
  • $T =$ eingeleitetes Torsionsmoment

Unter Kenntnis des Verdrehwinkels $\varphi $ lässt sich anschließend die Federsteifigkeit $ C_{\varphi} $ berechnen mit

Merke

Federsteifigkeit: $\ C_{\phi} = \frac{T}{\varphi} \rightarrow C_{\varphi} = \frac{G \cdot I_T }{l} $

Möchte man letztlich noch die Arbeitsaufnahme berechnen, verwendet man die Gleichung

Merke

Arbeitsaufnahme: $ w = \frac{T^2}{2} \cdot C_{\varphi} $

Methode

Um bestimmte Belastungseigenschaften zu erlangen, lassen sich Drehstabfedern auch parallel oder in Reihe schalten. Die Vorteile einer Reihenschaltung bestehen darin, dass sich der Einbauraum verringern lässt, jedoch zu Lasten der Belastbarkeit durch Querkräfte. Parallelgeschaltete Drehstabfedern wirken hingegen in Bezug auf das Betriebsverhalten weicher als einzelne Drehlstabfedern.

Schraubenfedern

Schraubenfedern sind um einen Dorn gewickelte Drehstabfedern, die in den meisten Fällen aus einem Runddraht hergestellt werden. Die Kraft wird hierbei in Achsrichtung auf die Feder aufgebracht und erzeugt somit im Federdraht ein Torsionsmoment. In der nächsten Abbildung sehen Sie die schematische Darstellung einer Schraubenfeder. 

Schraubenfeder (Schnittansicht)
Schraubenfeder (Schnittansicht)

Wichtig

Im kommenden Kurstext werden wir nochmals ausführlich die konstruktive Gestaltung der Schraubenzugfeder und der Schraubendruckfeder thematisieren.  

Methode

Schraubenfedern werden als Rückführ-, Ausrück- oder Andrückfedern verwendet und finden ihren Einsatz beispielsweise in Kupplungen, Ventilen, Schaltern, sowie als Tragfedern in Fahrzeugen oder Maschinenfundamenten. 

Berechnungsgleichungen

Der Federweg $ s $ errechnet sich durch die nachfolgende Gleichung:

Merke

Federweg: $ s = \frac{8 \cdot i_f}{G} \cdot \frac{d_m^3}{d^4} \cdot F $
  • $ i_f = $ Anzahl der Windungen
  • $ G = $ Schubmodul
  • $ d_m = $ Durchmesser der Feder ( Abstand Drahtmitte durch Mittelpunkt hin zur Drahtmitte auf der gegenüberliegenden Seite)
  • $ d = $ Durchmesser des Drahtes
  • $ F = $ angreifende Kraft

Die Federsteifigkeit $ C $ lässt sich ja bekanntlich durch $ C = \frac{F}{s} $ bestimmen und  durch das entsprechende Umformen der vorherigen Gleichung indem wir den Kehrwert der Gleichung bilden und $ \frac{F}{s}$ auf eine Seite bringen, erhalten wir für die Federsteifigkeit:

Merke

Federsteifigkeit: $ C = \frac{F}{s} \rightarrow C = \frac{G}{8 \cdot i_f} \cdot \frac{d^4}{d_m^3} $

Vielleicht fragen Sie sich jetzt weshalb durch eine Schraubenfeder einem Torsionsmoment unterliegt. Die Antwort sehen Sie in der nachfolgenden Abbildung. 

Torsionsmoment
Torsionsmoment

Die Kraft $ F $ wirkt wie bereits erwähnt vertikal, mittig auf die Feder und mit dem Hebelarm $ r_m $ wird das Torsionsmoment realisiert. 

Merke

Torsionsmoment: $ T = F \cdot r_m $