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Technische Mechanik 1: Statik - Prinzip der virtuellen Arbeit: Lagerkräfte

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Technische Mechanik 1: Statik

Prinzip der virtuellen Arbeit: Lagerkräfte

Wir wollen in diesem Abschnitt aufzeigen, wie mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit PdvA (auch: Prinzip der virtuellen Verrückungen PdvV) unbekannte Lagerkräfte bestimmt werden können. Dazu sollte die folgenden Vorgehensweise herangezogen werden:

  1. Gesuchte Bindungen lösen.
  2. Hauptpol(e) bestimmen -> Anwendung des Polplans.
  3. Verschiebungsfigur zeichnen.
  4. Prinzip der virtuellen Arbeit anwenden.

Die Vorgehensweise wird im Folgenden an einem Beispiel ausführlich dargestellt.

Beispiel: Prinzip der virtuellen Arbeit 

Prinzip der virtuellen Arbeit
Prinzip der virtuellen Arbeit

 

Beispiel

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Gegeben sei der obige Träger, welcher durch die zwei Einzelkräfte belastet wird. Bestimme die horizontale Auflagerkraft im Lager $A$ mittels Prinzip der virtuellen Arbeit!

1.Bindungen lösen

Prinzip der virtuellen Arbeit, Bindungen lösen
Bindungen lösen

 

Es soll die Lagerkraft $A_x$ bestimmt werden. Diese müssen wir nun lösen und an das System abtragen. Aus dem Festlager wird damit ein Loslager.

2.Polplan aufstellen

In einem nächstes Schritt müssen wir den Hauptpol finden, also den Drehpol, denn jede Scheibe dreht sich um ihren Hauptpol (i) (Drehruhepunkt einer Scheibe). Wir haben hier eine Scheibe I gegeben, d.h. wir haben auch nur einen Hauptpol zu finden, um welchen sich die Scheibe dreht:

Prinzip der virtuellen Arbeit, Polplan
Polplan

 

Insgesamt besteht das System aus einer Scheibe I, die auf zwei Loslagern (=verschiebliche Lager) gelagert ist. 

Methode

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Regel 3: Der Hauptpol (i) einer Scheibe, die auf einem verschieblichen Lager gelagert ist, liegt auf einer Geraden (Polstrahl) senkrecht zur Bewegungsmöglichkeit dieses Lagers.

In unserem Fall: Der Hauptpol (1) der Scheibe I, die auf einem verschieblichen Lager gelagert ist, liegt auf einer Geraden (Polstrahl) senkrecht zur Bewegungsmöglichkeit dieses Lagers. Wir zeichnen die Wirkungslinien beider Lager (je senkrecht zur Verschiebung dieser) ein. Der Schnittpunkt der Wirkungslinien ist der Hauptpol I.

3. Verschiebungsfigur zeichnen

Um die Verschiebungsfigur zeichnen zu können, wird zunächst der Drehsinn festgelegt. Wir wählen einen positiven Drehsinn, also die Drehung des Systems um den Hauptpol (1) in einer Linksdrehung. Danach wird vom Hauptpol (1) ausgehend eine gestrichelte Linie zu den Lagern $A$ und $B$ gezeichnet und im rechten Winkel unter Beachtung des Drehsinns die Verschiebung der Lager vorgenommen. Es ergibt sich die grün eingezeichnete Verschiebungsfigur:

Prinzip der virtuellen Arbeit, Verschiebungsfigur
Verschiebungsfigur

Die Verschiebungsfigur ist in grün eingezeichnet.

4. Prinzip der virtuellen Arbeit anwenden

Prinzip der virtuellen Arbeit anwenden
Prinzip der virtuellen Arbeit anwenden

 

Wir können jetzt das Prinzip der virtuellen Arbeit anwenden, indem wir die Verschiebung der Kräfte $4F$, $F$ und $A_x$ betrachten. Vom Hauptpol (1) ausgehend werden die rechtwinkligen Dreiecke [(1) - Kraft - Verschiebungspunkt] betrachtet. Die Verschiebung der Kräfte wird mit $\delta s$ unter Berücksichtigung der Kraftbezeichnung beschriftet.

Mittels Tangens kann nun anstelle der Verschiebung $\delta s$ die Verschiebung in Abhängigkeit vom Winkel angegeben werden. Dazu bedient man sich des Tangens:

$\tan(\delta \varphi) = \frac{\delta s_{4F}}{a}$

$\tan(\delta \varphi) = \frac{\delta s_{F}}{2a}$

$\tan(\delta \varphi) = \frac{\delta s_{A}}{3a}$

 

Da wir infinitesimale Verschiebungen betrachten, gilt die Vereinfachung:

$\tan(\delta \varphi) = \delta \varphi$

 

Wir erhalten also:

$\delta \varphi = \frac{\delta s_{4F}}{a}$

$\delta \varphi = \frac{\delta s_{F}}{2a}$

$\delta \varphi = \frac{\delta s_{A}}{3a}$



Auflösen nach der Verschiebung:

Methode

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$\delta s_{4F} = a \cdot \delta \varphi $

$\delta s_{F} = 2a \cdot \delta \varphi $

$\delta s_{A} = 3a \cdot \delta \varphi $

 

Anwendung des Arbeitssatzes, wobei dieser gleich Null sein muss:

$dW = \sum F_i \cdot \delta r_i = 0$

$dW = - 4F \cdot \delta s_{4F} + F \cdot \delta s_{F} - A_x \cdot \delta s_{A}  = 0$

$dW = -4F \cdot a \cdot \delta \varphi + F \cdot 2a \cdot \delta \varphi + A_x \cdot 3a \cdot \delta \varphi = 0$

Auflösen nach $A_x$:

$A_x \cdot 3a \cdot \delta \varphi = 4F \cdot a \cdot \delta \varphi  - F \cdot 2a \cdot \delta \varphi $         |: $\delta \varphi$

$A_x \cdot 3a = 4F \cdot a - F \cdot 2a $       |: $3a$

$A_x  = \frac{4F \cdot a - F \cdot 2a}{3a} $    |$a$ kürzen

$A_x = \frac{4F - 2F}{3} $

Methode

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$A_x = \frac{2}{3} F$

 

Natürlich können die Auflagerkräfte -wie bereits bekannt - mit den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. Für diesen Fall würde die Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Auflagerkraft in jedem Fall schneller zum Ergebnis führen. Das Beispiel soll lediglich zeigen, wie das Prinzip der virtuellen Arbeit angewandt wird.