Kräftegleichgewicht im Raum

Das KräfteGleichgewicht im Raum ist wie beim Kräftegleichgewicht in der Ebene gegeben, wenn die Resultierende verschwindet, d.h. die Summe aller Kräfte gleich Null ist.

$\ R = \sum F_i = 0 $

Hierzu müssen die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen ebenfalls den Wert Null besitzen.

$\sum F_{ix} = 0, \sum F_{iy} = 0, \sum F_{iz} = 0$. 

Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht im Raum

Beispiel: Kräftegleichgewicht im Raum

Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss als erstes ein Kräfteplan aufgestellt werden:

Kräfteplan

Im obigen Kräfteplan wurden die drei Dimensionen $x, \; y $ und $z$ hinzugefügt sowie die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.

Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen

Aus dem gezeichneten Kräfteplan ist es möglich die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Hierzu werden alle Zugkräfte oder Druckkräfte, sowie die Schwerkraft $ G $ entsprechend ihrer Wirkrichtungen und unter Verwendung der zugehörigen Winkel $\alpha, \beta, \gamma $ in die jeweilige Gleichgewichtsbedingung eingetragen.

Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung

Es werden zunächst alle Kräfte die in $x$-Richtung zeigen innerhalb der Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung berücksichtigt:

$\sum F_{ix} = 0 \rightarrow S_2 + S_3 \cdot \cos (\alpha) = 0 $ 

$S_2$ zeigt in Richtung der positiven $x$-Achse, geht also mit einem positiven Vorzeichen und vollem Betrag ein. $S_3$ hat einen Anteil in $x$-Richtung. Die $x$-Komponente dieser Kraft wird mittels $S_3 cos(\alpha)$ bestimmt, wobei diese Kraftkomponente in positive $x$-Richtung zeigt (positives Vorzeichen).

Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung

$\sum F_{iy} = 0 \rightarrow S_1 + S_3 \cdot \cos (\beta)  = 0$

$S_1$ zeigt in Richtung der positiven $y$-Achse, geht also mit einem positiven Vorzeichen und vollem Betrag ein. $S_3$ hat einen Anteil in $x$-Richtung. Die $y$-Komponente dieser Kraft wird mittels $S_3 cos(\beta)$ bestimmt, wobei diese Kraftkomponente in positive $y$-Richtung zeigt (positives Vorzeichen).

Gleichgewichtsbedingung in $z$-Richtung

$\sum F_{iz} = 0 \rightarrow S_3 \cdot \cos (\gamma) - G = 0 $ 

$G$ zeigt in Richtung der negativen $z$-Achse, geht also mit einem negativen Vorzeichen und vollem Betrag ein. $S_3$ hat einen Anteil in $z$-Richtung. Die $z$-Komponente dieser Kraft wird mittels $S_3 cos(\gamma)$ bestimmt, wobei diese Kraftkomponente in positive $y$-Richtung zeigt (positives Vorzeichen).

Mit Hilfe dieser drei Gleichungen ist es möglich die Kräfte $ S_1, S_2, S_3 $ zu bestimmen, auch wenn diese derzeit unbekannt sind. Die Bestimmung der einzelnen Kräfte verläuft schrittweise und beginnt in diesem Beispiel mit der dritten Gleichung, da hier schon eine Kraft gegeben ist, nämlich die Schwerkraft $ G = 10 N$.

Bestimmung der Winkel mittels Winkelsätze

Im Vorfeld müssen jedoch noch die einzelnen Winkel bestimmt werden. Dieser Vorgang erfolgt über die Raumdiagonale mit der Gleichung:

Raumdiagonale berechnen

$AB = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \rightarrow AB = \sqrt{0,3^2 + 0,5^2 + 0,4^2} = \sqrt{0,5}$ 

Mit Hilfe der Winkelsätze erhält man:  

$ \cos \alpha = \frac{a}{AB} \rightarrow \cos \alpha =  \frac{0,3}{\sqrt{0,5}} = 0,42$

$ \cos \beta = \frac{b}{AB} \rightarrow \cos \beta = \frac{0,5}{\sqrt{0,5}} = 0,71$

$ \cos \gamma = \frac{c}{AB}  \rightarrow \cos \gamma = \frac{0,4}{\sqrt{0,5}} = 0,57$

Bestimmung der Kräfte

Da nun alle notwendigen Werte bekannt sind, kann mit der Bestimmung der unbekannten Kräfte begonnen werden.

Zuerst beginnt man mit der Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung:

$ S_3 = \frac{G}{cos \gamma} = \frac{10}{0,57} = 17,54$

Da $ S_3 $ nun bekannt ist, können auch die anderen beiden Gleichungen gelöst werden. 

Einsetzen von $S_3$ in die Gleichungen:

$ S_1 =  - S_3 \cdot cos \beta \rightarrow S_1 = -G \frac{cos \beta}{cos \gamma} = -10 \frac{0,71}{0,57} = -12,46 $, 

$ S_2 = - S_3 \cdot cos \alpha \rightarrow S_2 = - G \frac{cos \alpha}{cos \gamma} = -10 \frac{0,42}{0,57} = -7,37 $. 

Anhand der Gleichungen ist nun klar, dass es sich bei $ S_3 $ um eine Zugkraft und bei $ S_1$ und $ S_2$ um Druckkräfte handelt. Das Minuszeichen bei den Stabkräften soll signalisieren, dass die Kräfte genau entgegengesetzt zur angenommenen Richtung verlaufen. Sie zeigen also nicht vom Körper weg, sondern zum Körper hin (=Druckkräfte).