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Technische Mechanik 1: Statik - Kräftegleichgewicht im Raum

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Technische Mechanik 1: Statik

Kräftegleichgewicht im Raum

Das KräfteGleichgewicht im Raum ist wie beim Kräftegleichgewicht in der Ebene gegeben, wenn die Resultierende verschwindet, d.h. die Summe aller Kräfte gleich Null ist.

$\ R = \sum F_i = 0 $

Hierzu müssen die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen ebenfalls den Wert Null besitzen.

$\sum F_{ix} = 0, \sum F_{iy} = 0, \sum F_{iz} = 0$. 

Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht im Raum

Beispiel: Kräftegleichgewicht im Raum
Beispiel: Kräftegleichgewicht im Raum

Beispiel

Die obige Grafik zeigt das Gelenk $C$, welches sich im Gleichgewicht befindet. Auf das Gelenk wirken die Stabkräfte 1 und 2, die Seilkraft 3 und die Gewichtskraft G. Die Stab- und Seilkräfte wirken als Zugkräfte. All diese Kräfte bewirken, dass das Gelenk im Gleichgewicht bleibt. Die Gewichtskraft sei gegeben mit 10 Newton. Ebenfalls gegeben sind die Abmessungen an der Wand mit $a = 30 cm, \; b = 50 cm$ und $c = 40 cm$.

Wie groß sind die Seil- und Stabkräfte?

Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss als erstes ein Kräfteplan aufgestellt werden:

Kräfteplan
Kräfteplan

Im obigen Kräfteplan wurden die drei Dimensionen $x, \; y $ und $z$ hinzugefügt sowie die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.

Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen

Aus dem gezeichneten Kräfteplan ist es möglich die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Hierzu werden alle Zugkräfte oder Druckkräfte, sowie die Schwerkraft $ G $ entsprechend ihrer Wirkrichtungen und unter Verwendung der zugehörigen Winkel $\alpha, \beta, \gamma $ in die jeweilige Gleichgewichtsbedingung eingetragen.

x-Achse

$\sum F_{ix} = 0 \rightarrow S_2 + S_3 \cdot \cos (\alpha) + S_1 \cdot \cos (90°) + G \cdot \cos (270°) = 0 $ 

$\rightarrow$ Da $\cos (90°)$ und $\cos (270°)$ null werden, fallen diese weg. Im Weiteren werden diese Terme nicht mehr berücksichtigt. $S_1$ liegt auf der $y$-Achse, welche einen 90° Winkel zur $x$-Achse aufweist, genau wie die $z$-Achse. Da $G$ aber zur negativen $z$-Achse zeigt, ist es noch mit einem 180° Winkel addiert worden.

$\sum F_{ix} = 0 \rightarrow S_2 + S_3 \cdot \cos (\alpha) = 0 $ 

y-Achse

$\sum F_{iy} = 0 \rightarrow S_1 + S_2 \cdot \cos (90°) + S_3 \cdot \cos (\beta) + G \cdot \cos (270°) = 0 $

$\rightarrow$ Da $\cos (90°)$ und $\cos (270°)$ null werden, fallen diese weg. Im Weiteren werden diese Terme nicht mehr berücksichtigt. $S_2$ liegt auf der $x$-Achse, welche einen 90° Winkel zur $y$-Achse aufweist, genau wie die $z$-Achse. Da $G$ aber zur negativen $z$-Achse zeigt, ist es noch mit einem 180° Winkel addiert worden.

$\sum F_{iy} = 0 \rightarrow S_1 + S_3 \cdot \cos (\beta) = 0 $

z-Achse

$\sum F_{iz} = 0 \rightarrow S_3 \cdot \cos (\gamma) + G \cdot \cos (180°) = 0 $ 

$\rightarrow$ $G$ zeigt in Richtung der negativen z-Achse, weshalb $\cos (180°)$ folgt. Denn die Entfernung zur positiven Achse (Drehung) erfolgt mit 180°. Da $\cos (180°) = -1$ folgt:

$\sum F_{iz} = 0 \rightarrow S_3 \cdot \cos (\gamma) - G = 0 $ 


Mit Hilfe dieser drei Gleichungen ist es möglich die Kräfte $ S_1, S_2, S_3 $ zu bestimmen, auch wenn diese derzeit unbekannt sind. Die Bestimmung der einzelnen Kräfte verläuft schrittweise und beginnt in diesem Beispiel mit der dritten Gleichung, da hier schon eine Kraft gegeben ist, nämlich die Schwerkraft $ G = 10 N$.

Bestimmung der Winkel mittels Winkelsätze

Im Vorfeld müssen jedoch noch die einzelnen Winkel bestimmt werden. Dieser Vorgang erfolgt über die Raumdiagonale mit der Gleichung:

Raumdiagonale berechnen
Raumdiagonale berechnen

$AB = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \rightarrow AB = \sqrt{30^2 + 50^2 + 40^2} = 70,71$ 

Mit Hilfe der Winkelsätze erhält man:  

$ \cos \alpha = \frac{a}{AB} \rightarrow \cos \alpha =  \frac{30}{70,71} = 0,42$

$ \cos \beta = \frac{b}{AB} \rightarrow \cos \beta = \frac{50}{70,71} = 0,71$

$ \cos \gamma = \frac{c}{AB}  \rightarrow \cos \gamma = \frac{40}{70,71} = 0,57$

Bestimmung der Kräfte

Da nun alle notwendigen Werte bekannt sind, kann mit der Bestimmung begonnen werden.

Zuerst beginnt man mit der Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung:

$ S_3 = \frac{G}{cos \gamma} = \frac{10}{0,57} = 17,54$

Da $ S_3 $ nun bekannt ist, können auch die anderen beiden Gleichungen gelöst werden. 

Einsetzen von $S_3$ in die Gleichungen:

$ S_1 =  - S_3 \cdot cos \beta \rightarrow S_1 = -G \frac{cos \beta}{cos \gamma} = -10 \frac{0,71}{0,57} = -12,46 $, 

$ S_2 = - S_3 \cdot cos \alpha \rightarrow S_2 = - G \frac{cos \alpha}{cos \gamma} = -10 \frac{0,42}{0,57} = -7,37 $. 

Anhand der Gleichungen ist nun klar, dass es sich bei $ S_3 $ um eine Zugkraft und bei $ S_1$ und $ S_2$ um Druckkräfte handelt. Das Minuszeichen bei den Stabkräften soll signalisieren, dass die Kräfte in entgegengesetzter Richtung zu den positiven Achsen laufen.