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Technische Mechanik 1: Statik - Resultierende grafisch bestimmen

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Technische Mechanik 1: Statik

Resultierende grafisch bestimmen

Besitzen zwei oder mehrere Kräfte einen gemeinsamen Angriffspunkt, so lassen sich diese zeichnerisch in Parallelogrammform zu einer resultierenden Kraft zusammensetzen, die den Einzelkräften mechanisch gleichwertig ist. Somit sind die Kräfte unabhängig von einer bestimmten Wahl des Koordinatensystems.

Parallelogrammkonstruktion
Parallelogrammkonstruktion

Diese geometrische Konstruktion entspricht einer grafischen Vektoraddition. Hierbei werden die auf den Körper wirkenden Kräfte in einer beliebigen Reihenfolge aneinander gereiht. Die Resultierende ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt des Anfangsvektors und dem Endpunkt des Endvektors. 

Vektoraddition
Grafische Vektoraddition

Die grafische Vektoraddition von Kräften wird auch Kräftepolygon genannt. Das Kräftepolygon in einer Ebene ist einfach die zeichnerische Verbindung aller Kräfte zu einem gemeinsamen Gebilde. Umgangssprachlich spricht man auch von einer "Kräfteverkettung". Hierzu wählt man einen beliebigen Kraftvektor aus welcher als "Start-Kraftvektor" fungiert. Im Anschluss legt man den nächsten Kraftvektor mit dem Ende an die Spitze des "Start-Kraftvektors" und führt diesen Schritt immer wieder durch bis alle Kräfte miteinander verbunden sind. Im letzten Schritt erzeugt man zeichnerisch die Resultierende der Kraftvektoren, indem man einen Vektor einzeichnet, dessen Ende das Ende des "Start-Kraftvektors" berührt und dessen Spitze die Spitze des letzten Vektors berührt. Für ein besseres visuelles Verständnis dient die folgende Abbildung:

Kräftepolygon
Kräftepolygon

Die Kräfte $F_1$ bis $F_4$ werden in der bestehenden Richtung "hintereinander" angereiht, wobei die Reihenfolge keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Die Resultierende $R$ erhält man, wenn man eine Verbindung vom Beginn der ersten Kraft (hier $F_1$ ) zur Spitze der letzten Kraft (hier $F_4$ ) zeichnet. Die Resultierende kann mithilfe von Maßstäben zeichnerisch berechnet werden. Dies geschieht indem die Länge der einzelnen Kraftvektoren ihrem Betrag nach angepasst werden. Nach dem aneinanderreihen wird dann die Resultierende eingezeichnet und die Länge dieser gemessen. 

Räumliches Kräftepolygon

Handelt es sich um räumliche Kräfte, so ist auch das zugehörige Kräftepolygon räumlich. Da sich die grafische Bestimmung jedoch als sehr aufwendig darstellt, ist eine rechnerische Bestimmung vorzuziehen. 

räumliche Vektoraddition
Räumliche Vektoraddition

Anwendungsbeispiel: Grafische Vektoraddition

Beispiel grafische Vektoraddition Resultierende
Beispiel: Grafische Vektoraddition

Beispiel

 Gegeben seien die obigen 5 Vektoren. Für diese soll mittels grafischer Vektoraddition die Resultierende bestimmt werden. 

Zunächst ist es für die grafische Vektoraddition notwendig, dass die Vektoren ihren Beträgen entsprechend Abmessungen erhalten. Das bedeutet also, dass wir nun einen geeigneten Maßstab wählen müssen, um die Kräfte einzuzeichnen. Größere Kräfte erhalten demnach größere Abmessungen, als kleinere Kräfte. Wir wählen hier den Maßstab:

$1N = 1cm$

Nachdem wir den Maßstab festgelegt haben, müssen wir als nächstes die Kräfte diesem Maßstab entsprechend anpassen. Die Richtung der Kräfte wird dabei nicht verändert, nur die Länge des Kraftvektors:

grafische Vektoraddition Maßstab
Kräfte dem Maßstab anpassen

Nachdem die Kräfte dem Maßstab entsprechend angepasst worden sind, wird als nächstes die grafische Vektoraddition durchgeführt. Die Reihenfolge ist dabei beliebig. Begonnen wird hier mit dem Kraftvektor $F = 2N$. Wir betrachten als nächstes den Kraftvektor $3N$ und legen seinen Anfangspunkt an die Spitze des Vektors $2N$. Danach wird der Vektor $4N$ mit dem Anfangspunkt an die Spitze des Vektors $3N$ gelegt usw. Nachdem alle Vektoren einmal an der Reihe waren, erhalten wir das folgende Bild:

Grafische Vektoraddition Resultierende
Ermittlung der Resultierenden

Die Resultierende wird nun eingezeichnet indem der Anfangspunkt der Resultierenden an den Anfangspunkt der zuerst verwendeten Kraft und die Spitze der Resultierenden an die Spitze der zuletzt verwendeten Kraft gelegt wird. Wir haben also zum einen die Wirkrichtung der Resultierenden und zum anderen den Betrag der Resultierenden gegeben. Die Wirkrichtung ist sofort der Zeichnung zu entnehmen, der Betrag muss nun mittels Lineal zunächst abgemessen werden. Hierzu messen wir die Länge der Resultierenden und verwenden für die Umrechnung den gewählten Maßstab. Die Länge der Resultierenden beträgt 1,8 cm. Mit dem gewählten Maßstab von $1N = 1cm$ ergibt sich demnach der Betrag der Resultierenden mit $ R = 1,8 N$.