Resultierende grafisch bestimmen

Besitzen zwei oder mehrere Kräfte einen gemeinsamen Angriffspunkt, so lassen sich diese zeichnerisch in Parallelogrammform zu einer resultierenden Kraft zusammensetzen, die den Einzelkräften mechanisch gleichwertig ist. Somit sind die Kräfte unabhängig von einer bestimmten Wahl des Koordinatensystems.

Parallelogrammkonstruktion

Diese geometrische Konstruktion entspricht einer grafischen Vektoraddition. Hierbei werden die auf den Körper wirkenden Kräfte in einer beliebigen Reihenfolge aneinandergereiht. Die Resultierende ergibt sich dann aus dem Anfangspunkt des Anfangsvektors und dem Endpunkt des Endvektors. 

Grafische Vektoraddition

Die grafische Vektoraddition von Kräften wird auch Kräftepolygon genannt. Das Kräftepolygon in einer Ebene ist einfach die zeichnerische Verbindung aller Kräfte zu einem gemeinsamen Gebilde. Umgangssprachlich spricht man auch von einer "Kräfteverkettung". Hierzu wählt man einen beliebigen Kraftvektor aus, welcher als "Start-Kraftvektor" fungiert. Im Anschluss legt man den nächsten Kraftvektor mit dem Anfangspunkt an die Spitze des "Start-Kraftvektors" und führt diesen Schritt immer wieder durch, bis alle Kräfte miteinander verbunden sind. Im letzten Schritt erzeugt man zeichnerisch die Resultierende der Kraftvektoren, indem man einen Vektor einzeichnet, dessen Anfangspunkt den Anfangspunkt des "Start-Kraftvektors" berührt und dessen Spitze die Spitze des zuletzt verwendeten Vektors berührt. Für ein besseres visuelles Verständnis dient die folgende Abbildung:

Kräftepolygon

Die Kräfte $F_1$ bis $F_4$ werden in der bestehenden Richtung "hintereinander" angereiht, wobei die Reihenfolge keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Die Resultierende $R$ erhält man, wenn man eine Verbindung vom Anfangspunkt der ersten Kraft (hier $F_1$ ) zur Spitze der letzten Kraft (hier $F_4$ ) zeichnet. Die Resultierende kann mithilfe von Maßstäben zeichnerisch berechnet werden. Dies geschieht indem die Länge der einzelnen Kraftvektoren ihrem Betrag nach angepasst werden. Nach dem aneinanderreihen wird dann die Resultierende eingezeichnet und die Länge dieser gemessen. 

Räumliches Kräftepolygon

Handelt es sich um räumliche Kräfte, so ist auch das zugehörige Kräftepolygon räumlich. Da sich die grafische Bestimmung jedoch als sehr aufwendig darstellt, ist eine rechnerische Bestimmung vorzuziehen. 

Räumliche Vektoraddition

Anwendungsbeispiel: Grafische Vektoraddition

Beispiel: Grafische Vektoraddition

Zunächst ist es für die grafische Vektoraddition notwendig, dass die Vektoren ihren Beträgen entsprechend Abmessungen erhalten. Größere Kräfte erhalten demnach größere Abmessungen, als kleinere Kräfte. Wir wählen hier den Maßstab:

$1N = 1cm$

Nachdem wir den Maßstab festgelegt haben, müssen wir als nächstes die Kräfte diesem Maßstab entsprechend anpassen. Die Richtung der Kräfte wird dabei nicht verändert, nur die Längen der Kraftvektoren:

Kräfte dem Maßstab anpassen

In einem nächsten Schritt kann die Resultierende mittels grafischer Vektoraddition bestimmt werden. Die Reihenfolge ist dabei beliebig. Begonnen wird hier mit dem Kraftvektor $F = 2N$. Wir betrachten als nächstes den Kraftvektor $3N$ und legen seinen Anfangspunkt an die Spitze des Vektors $2N$. Danach wird der Vektor $4N$ mit dem Anfangspunkt an die Spitze des Vektors $3N$ gelegt usw. Nachdem alle Vektoren miteinander verbunden wurden, resultiert das folgende Bild: 

Ermittlung der Resultierenden

Die Resultierende wird eingezeichnet indem der Anfangspunkt der Resultierenden an den Anfangspunkt der zuerst verwendeten Kraft und die Spitze der Resultierenden an die Spitze der zuletzt verwendeten Kraft gelegt wird. Wir haben also zum einen die Wirkrichtung der Resultierenden und zum anderen den Betrag der Resultierenden gegeben. Die Wirkrichtung ist sofort der Zeichnung zu entnehmen, der Betrag muss nun mittels Lineal zunächst abgemessen werden. Hierzu messen wir die Länge der Resultierenden und verwenden für die Umrechnung den gewählten Maßstab. Die Länge der Resultierenden beträgt 1,8 cm. Mit dem gewählten Maßstab von $1N = 1cm$ ergibt sich demnach der Betrag der Resultierenden mit $ R = 1,8 N$.